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Categoria I

Modelli Elementari
[HC, p.19], [MWC], [GC]

In questa categoria sono raggruppati sia modelli di superficie quadriche (da I-1 a I-5, da I-7 a I-10, e il I-19) che modelli di curve gobbe (da I-11 a I-18). Il modello I-6 non fa parte di questi due gruppi, è una rappresentazione prospettica e non abbiamo fonti che ne diano una descrizione in particolare.
La categoria delle curve gobbe viene trattata globalmente nei testi collegati ai singoli modelli (da I-11 a I-18). Per quanto riguarda le superficie quadriche, è possibile darne un'introduzione generale.

Una superficie quadrica è una superficie di secondo ordine, cioè tale che i suoi punti, in coordinate cartesiane spaziali, soddisfano ad una equazione di secondo grado del tipo:

A partire da un'equazione in questa forma, è possibile riconoscere il tipo di quadrica che essa descrive studiando alcune quantità legate ai coefficienti. Definiamo:

e =

E =

= rango(e)

= rango(E)

= det(E)

Siano , , le radici di   (autovalori di e)

definiamo k =

Siano , , le radici di   (autovalori di E)

definiamo K =

La seguente tabella elenca i possibili 17 tipi di quadriche con i relativi valori delle quantità caratteristiche appena definite:

Superficie quadrica	Equazione canonica				k	K
Ellissoide reale		3	4	-	1
Ellissoide immaginario		3	4	+	1
Iperboloide ad una falda		3	4	+	0
Iperboloide a due falde		3	4	-	0
Cono reale		3	3		0
Cono immaginario		3	3		1
Paraboloide ellittico		2	4	-	1
Paraboloide iperbolico		2	4	+	0
Cilindro ellittico reale		2	3		1	0
Cilindro ellittico immaginario		2	3		1	1
Cilindro iperbolico		2	3		0
Piani reali secanti		2	2		0
Piani immaginari secanti		2	2		1
Cilindro parabolico		1	3
Piani reali paralleli		1	2			0
Piani immaginari paralleli		1	2			1
Piani coincidenti		1	1

Le prime sei equazioni corrispondono a quadriche a centro, hanno cioè un centro di simmetria; nella forma cartesiana data il centro è l'origine (0, 0, 0). Le quantità positive A, B, C sono i semiassi della quadrica.
Fra le quadriche elencate in tabella ce ne sono 5 che sono quadriche reali non degeneri, e sono l'ellissoide, gli iperboloidi ad una ed a due falde, i paraboloidi ellittico e parabolico. Quando nell'equazione canonica due delle tre quantità A, B, C sono uguali, una quadrica non degenere è una superficie di rotazione. In tal caso il riferimento cartesiano è supposto ortogonale e monometrico.

Le quadriche sono le uniche superficie che posseggono una delle seguenti proprietà, fra loro equivalenti:
(i) i loro punti soddisfano ad un'equazione di secondo grado
(ii) vengono tagliate da ogni piano secondo una conica (propria o degenere): cerchio, ellisse, iperbole o parabola
(iii) se conduciamo da un punto qualunque tutte le tangenti alla superficie, otteniamo un cono, che è tagliato da ogni piano secondo una conica. Il cono è inoltre tangente alla superficie nei punti di una conica.

Un'altra proprietà delle quadriche, che segue dalla proprietà (i), è che una retta, se non ha tutto un segmento sulla superficie, può al massimo avere due punti in comune con essa. Ci sono però, oltre alle superficie di secondo ordine, molte altre superficie che si comportano nello stesso modo rispetto ad una retta, per esempio un cubo o, più in generale, una superficie convessa.