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Categoria VI - Modello 6

Linee di curvatura su un paraboloide ellittico

[T], [HC], [MWC], [F]

Come descritto nella sezione generale di questa categoria, ogni quadrica è contenuta in una famiglia ad un parametro di quadriche confocali che può essere descritta da un'equazione di secondo grado ad un parametro. Per le quadriche non a centro questa famiglia è un sistema triplamente ortogonale di superficie quadriche e, secondo un classico teorema di Dupin, le superficie di un sistema triplamente ortogonale si tagliano reciprocamente lungo linee di curvatura, cioè la curva intersezione di due superficie della famiglia è una linea di curvatura su entrambe le superficie.

[MWC] Teorema di Dupin: in un sistema triplamente ortogonale di superficie le linee di curvatura su ogni superficie del sistema sono le sue intersezioni con le altre superficie del sistema.

Abbiamo usato questo teorema per disegnare il modello ruotabile VI-6.
Per descrivere analiticamente il sistema di quadriche confocali non a centro, formato da paraboloidi ellittici e paraboloidi iperbolici di asse comune, possiamo usare l'equazione ad un parametro:

      con  A, B, D;  

Fissato D, otteniamo l'equazione di un paraboloide ellittico con la concavità rivolta verso l'alto.
Fissato D, otteniamo l'equazione di un paraboloide iperbolico.
Fissato D, otteniamo l'equazione di un paraboloide ellittico con la concavità rivolta verso il basso.
Ovviamente abbiamo scelto il sistema di coordinate cartesiane in modo opportuno.
Possiamo riscrivere l'equazione eliminando i denominatori:

Per D = otteniamo il piano , nel quale si trova una parabola confocale di equazione:

Per D = otteniamo il piano , nel quale si trova l'altra parabola confocale di equazione:

L'intersezione di questi due piani è l'asse z, asse comune a tutte le quadriche della famiglia.
Le due parabole confocali sono caratteristiche di una famiglia di quadriche confocali non a centro, e sono tali che hanno lo stesso asse di simmetria e il vertice di una è il fuoco dell'altra.

Per trovare le linee di curvatura su di una quadrica si considera la sua intersezione con la famiglia di quadriche triplamente ortogonale a cui appartiene; essa sarà una famiglia di curve nello spazio, descritte al variare di un parametro. Per il teorema di Dupin queste sono le linee di curvatura sulla quadrica considerata.

•   Equazione usata per il modello virtuale

Per il modello ruotabile VI-6 abbiamo scelto di disegnare le linee di curvatura sul paraboloide ellittico (con concavità verso l'alto) di equazione

(1)         cioè  A = , B =

Esso appartiene al sistema di quadriche confocali non a centro, formato da paraboloidi ellittici ed iperbolici, di equazione:

(2)         con  D

e si ottiene ponendo D = 0.
Possiamo riscrivere l'equazione eliminando i denominatori:

Per D = otteniamo il piano , nel quale si trova una parabola confocale di equazione:

; in forma canonica è:  

Per D = otteniamo il piano , nel quale si trova l'altra parabola confocale di equazione:

; in forma canonica è:  

L'intersezione di questi piani è l'asse z, asse comune a tutte le quadriche della famiglia.

Fissato D, otteniamo l'equazione di un paraboloide iperbolico. Noi abbiamo intersecato il paraboloide ellittico (1) con sei paraboloidi iperbolici corrispondenti ai seguenti valori di D:

, ,  , , , ,

ottenendo dodici linee di curvatura non chiuse.
Fissato D, otteniamo l'equazione di un paraboloide ellittico con concavità verso il basso. Noi abbiamo intersecato il paraboloide ellittico (1) con sette paraboloidi ellittici, corrispondenti ai seguenti valori di D:

, ,  , , , ,

ottenendo sette linee di curvatura chiuse.
L'intersezione del paraboloide ellittico (1) con la parabola confocale corrispondente a D = identifica i due punti ombelicali del paraboloide ellittico, che sono:

= , =