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Categoria IV - Modello 17

Superficie Romana dello Steiner

[MWC], [F], [GC]

É una superficie di quarto ordine, fa parte della serie di superficie di Kummer con simmetria tetraedrale e si può descrivere usando l'equazione   con   e  . Per il modello in gesso costruito da Kummer il valore di k nelle equazioni dei piani del tetraedro definito da

p = z  -  k +  x

q = z  -  k  -  x

r = z +  k +  y

s = z +  k  -  y

e nell'equazione della sfera definita da

è k = 50 mm.
Le proprietà della Superficie Romana dello Steiner legate alla simmetria tetraedrale sono:
• la sfera è tangente ai sei spigoli del tetraedro p q r s nei loro punti medi.
• la superficie possiede 6 punti doppi biplanari ()
Una sua proprietà caratteristica è di possedere tre rette singolari (costituite da punti doppi) lungo le quali la superficie interseca sé stessa. Queste tre rette si intersecano in un unico punto della superficie, nel quale si trova una singolarità complicata: un punto triplo ordinario.
La superficie romana dello Steiner non è di tipo K3 ma è una superficie razionale. Essa può essere vista come immagine di una particolare immersione locale del piano proiettivo reale nello spazio euclideo a 3 dimensioni. Uno dei metodi (analitico, riportato in T. Banchoff, Differential geometry and computer graphics, Perspectives of Mathematics, Basel, 1984) per costruire questo tipo di superficie è il seguente:
consideriamo tre polinomi omogenei , , , di grado pari d 2, da usare nell'applicazione f : ,  f = (, , ). La restrizione di f alla sfera unitaria ha la proprietà di mandare punti antipodali di nello stesso punto immagine; quindi ogni applicazione  f : di questo tipo definisce un'applicazione : . Scegliendo f (x, y, z) = (xy, yz, xz) otteniamo proprio la Superficie Romana dello Steiner. Tramite la f viene attribuita alla Superficie di Steiner la topologia di , ciò serve a distinguere tale topologia da quella relativa alla superficie in quanto sottospazio di .
Due possibili equazioni analitiche sono:

Si può passare da una all'altra scambiando x con - x.
Una possibile equazione parametrica è:

	con    e

Questa superficie fu studiata per la prima volta dal geometra Jacob Steiner durante il suo soggiorno a Roma, da cui ne viene il nome. Essa è interessante geometricamente anche perchè è la superficie duale della superficie cubica con 4 punti doppi ordinari che si vede nel modello III-3. Sul modello sono segnati 4 cerchi che delimitano la zona a curvatura negativa da quella a curvatura positiva; questi cerchi sono anche l'intersezione della sfera con le quattro facce del tetraedro.
Scegliendo altri polinomi , , , otteniamo superficie diverse, fra cui possiamo nominare la superficie chiamata crosscap (IV-21) e le superficie di Boy.

•   Equazione usata per il modello virtuale

L'equazione usata per disegnare il modello IV-17 della superficie romana dello Steiner è la forma parametrica citata sopra.