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Modelli da I-11 a I-18

Proiezioni di una curva gobba
11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18

[F, p.24]

Una curva in uno spazio di dimensione n é un'applicazione differenziabile

f : I , t f(t) = ((t), ... (t))

dove I é un intervallo. L'applicazione f si dice regolare in se il vettore tangente non è il vettore nullo; se f non è regolare, essa viene anche detta singolare. Questa è una proprietà della parametrizzazione, non solo dell'immagine f(I).
H. Von Staudt nella sua opera Geometrie der Lage, del 1847, diede una classificazione geometrica delle singolaritá delle curve in . La relazione fra le singolarità della curva nello spazio e le singolarità delle sue proiezioni nel piano fu studiata da C. Weiner nel lavoro Die Abhängigkeit der Rückkehrelemente der Projektionen einer unebenen Kurve von denen der Kurve selbst, Z. Math. & Physik 25 (1880), pg. 95-97 . Per illustrare i suoi risultati egli fece costruire dei modelli in metallo che vennero disposti in scatole di legno, così come possiamo vederli nelle foto.
Di seguito riportiamo la descrizione analitica della classificazione di Von Staudt come si trova nei lavori di H. B. Fine "On the singularities of Curves of Double Curvature", Amer. J. of Math, 8 (1886), pg. 156-177, e di P. Saurel "On the singularities of Tortuous Curve", Annals of Math. 7 (1905), pg. 3-9 .
Consideriamo la curva  f : I con = 0 e supponiamo che le funzioni siano date da serie di potenze che convergono per t piccoli, cioè la curva sia analitica in 0. Inoltre supponiamo che per t piccoli la curva non sia contenuta in nessun piano. Successivamente, dopo aver fatto un appropriato cambiamento affine di coordinate in , (qui si suppone che in la f presenti un sol "ramo"),  f  ha la seguente forma normale:

	+ termini di ordine superiore
	+ termini di ordine superiore
	+ termini di ordine superiore

Gli interi 0 sono determinati univocamente da  f calcolata in 0 e vengono chiamati invarianti numerici locali.
Gli otto modelli da I-11 a I-18  forniscono degli esempi tipici delle possibili singolarità. Il parametro t è compreso fra -1 e 1, , e nei modelli la scala dei valori nella direzione è stata moltiplicata per un fattore 2. Il Tipo indica la parità degli interi : + indica pari, e -  indica dispari.

Modello N.							Tipo
11	t			0	0	0
12	t			0	0	1
13	t			0	1	2
14	t			0	1	5
15				1	0	2
16				1	0	5
17				1	1	2
18				1	1	3

Gli invarianti numerici  hanno diverse interpretazioni geometriche. La curva è regolare in t = 0 se e solo se ; è questo il caso delle curve da I-11 a I-14.  Nei casi singolari invece (da I-15  a I-18) si ha ; tuttavia le direzioni delle tangenti = 0 nei casi singolari tendono ad una direzione limite per t che tende a 0. Nella forma normale questa retta limite è la direzione dell'asse . Se pensiamo ad un punto che si muove lungo la curva, la direzione in cui si muove da t = 0 è determinata da . Quando t si avvicina a 0, il punto f(t) può continuare il suo moto nella stessa direzione, oppure fermarsi e iniziare a muoversi nella direzione opposta. Abbiamo

(1)    pari il punto continua a muoversi nella stessa direzione

Come nel caso della tangente, anche il piano osculatore tende ad un limite per t che tende a 0. Nella forma normale questo piano è dato da . Poniamo ora l'attenzione sul movimento della linea tangente quando t passa per 0. Per determinare il tipo di movimento basta considerare la proiezione della tangente sul piano osculatore. La tangente potrebbe continuare la sua rotazione nella stessa direzione attorno al punto f(t), oppure potrebbe fermarsi e cominciare a ruotare nella direzione opposta. A questo proposito si può dimostrare che

(2)    pari la tangente continua a ruotare nella stessa direzione

Guardando ora al movimento del piano osculatore, quando t arriva a 0 il piano osculatore può continuare a ruotare nella stessa direzione, oppure si può fermare e cominciare a ruotare nella direzione opposta. Poiché il tipo di moto del piano osculatore è determinato dalla seconda e terza componente del suo vettore normale, si può verificare che

(3)    pari il piano osculatore continua a ruotare nella stessa direzione

Le proprietà (1), (2), (3), forniscono una semplice interpretazione geometrica dei tipi di singolarità. Felix Klein, nell'opera Von der Versinnlichung idealer Gebilde durch Zeichnungen und Modelle, in Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus, Band 3, Springer, Berlin, 1928, ha fornito una diversa caratterizzazione degli otto tipi di curve: nella forma normale la curva lascia l'origine nell'ottante positivo per t positivi. Ci sono otto possibili ottanti da cui avvicinarsi all'origine dai t negativi, e questo corrisponde agli otto tipi di curve.

Oltre al piano osculatore ci sono altri due piani distinti: il piano rettificante e il piano normale . Le proiezioni della curva in questi piani si vedono nei modelli.

Come una curva nello spazio ha tre invarianti numerici locali, una curva piana ne ha due. Denotiamo con (i = 1, 2 e j = 1, 2, 3) gli invarianti delle proiezioni della curva gobba nel piano . Si può vedere come questi invarianti siano legati agli invarianti , , della curva nello spazio dalle seguenti relazioni:

Esistono quattro tipi di singolarità per le curve piane. I tipi delle proiezioni sono segnate nei modelli, e sono state studiate in modo approfondito da G. Veronese nell'opera classica Behandlung der projektivischen  Verhältnisse der Räume von verschiedenen Dimensionen durch das Prinzip des Projicirens und Schneidens, Math. Ann. 14 (1882), 161-234.

•   Equazioni usate per i modelli virtuali

Le equazioni usate per i disegni ruotabili di questi modelli sono le equazioni in forma normale, le cui componenti sono descritte nella prima tabella; inoltre è stato scelto come asse x la direzione , come asse y la direzione e come asse z la direzione , e poi si è ruotato il disegno per dare la direzione quale direzione verticale di visualizzazione. Le proiezioni della curva (in nero) sui tre piani sono: curva rossa nel piano osculatore , curva verde nel piano rettificante , curva blu nel piano normale .