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Categoria I - Modello 10

Ellissoide con assi in rapporto 1:2:3

Un ellissoide generico è una quadrica che possiede tre piani di simmetria; questi sono tra loro perpendicolari e la superficie stacca sulle loro rette comuni tre segmenti di lunghezze differenti, che sono gli assi maggiore, medio, minore dell'ellissoide.
L'equazione cartesiana che descrive un ellissoide di asse maggiore 2A, asse medio 2B, e asse minore 2C, è:

In coordinate sferiche polari l'ellissoide viene descritto dall'equazione:

Una delle possibili parametrizzazioni dell'ellissoide è data dalle equazioni parametriche:

x(u, v)=
y(u, v)=	con ;
z(u, v)=

Se due degli assi di un ellissoide hanno la stessa lunghezza, abbiamo un ellissoide di rotazione, a volte chiamato anche sferoide; se tutti e tre gli assi hanno uguale lunghezza la superficie è una sfera.

Si osserva spesso che i ciottoli, in riva al mare, hanno approssimativamente la forma di un ellissoide di rotazione. In seguito all'azione levigatrice delle onde, ogni pietra, qualunque sia la sua forma, finisce col rassomigliare sempre più ad un ellissoide.

Un ellissoide è tagliato da un piano sempre secondo un'ellisse oppure una circonferenza. In particolare, su ogni ellissoide ci sono due schiere di circonferenze parallele (come si vede nei modelli ripiegati I-5-a ed I-5-b) che nell'ellissoide di rotazione coincidono. Infatti ([HC pg 26-27]),  se consideriamo tutti i piani passanti per l'asse medio b, essi tagliano l'ellissoide secondo ellissi che hanno in comune un asse, e precisamente l'asse b; passando dal piano che contiene gli assi b e c dell'ellissoide al piano che contiene gli assi a e b, l'altro asse dell'ellisse sezione ha una lunghezza variabile da 2C < 2B a 2A > 2B. Esiste quindi un piano passante per l'asse medio b dell'ellissoide, tale che l'ellisse sezione di questo piano con l'ellissoide ha l'altro asse di lunghezza pari a 2B, e quindi è una circonferenza. Poichè il piano passante per b e c è di simmetria per l'ellissoide, l'immagine speculare di rispetto a tale piano è un piano passante per b, che taglia anch'esso l'ellissoide secondo una circonferenza. Infine si può dimostrare che ogni sezione piana parallela ad una sezione circolare dell'ellissoide è ancora una sezione circolare.

Esistono altre possibili equazioni parametriche che descrivono un ellissoide di assi 2A, 2B, 2C, sono la Parametrizzazione Stereografica

x(u, v)=

y(u, v)=

z(u, v)=

e la Parametrizzazione di Mercatore

x(u, v)=
y(u, v)=	con ;
z(u, v)=

•   Equazione usata per il modello virtuale

L'equazione usata per disegnare l'applet è la forma parametrica (1), con parametri A = 1, B = 2, C = 3:

x(u, v)=
y(u, v)=	con ;
z(u, v)=