Anno Accademico 2007/2008

Analisi D (CDL in Matematica)

secondo modulo, docente Giulio Schimperna

1. Riassunto degli argomenti trattati a lezione
2. Contatta il docente e i tutori

• Forme differenziali lineari: cammini e circuiti. Integrazione di una forma differenziale. Forme chiuse e forme esatte. Domini stellati e domini semplicemente connessi.
• Funzioni di variabile complessa: derivata e integrale di una funzione di variabile complessa. Funzioni olomorfe. Formula integrale di Cauchy. Analiticit� delle funzioni olomorfe. Serie di Laurent. Singolarit� isolate e loro classificazione. Teorema dei residui. Applicazione al calcolo di integrali.

• 05/12/07:  Funzioni di variabile complessa. Derivabilità in senso complesso. Legame tra derivabilità in senso complesso e differenziabilità delle componenti: condizioni di Cauchy-Riemann. Richiami sulle serie di potenze in campo complesso. Funzioni elementari: potenze a esponente intero, esponenziale, funzioni trigonometriche e iperboliche e loro regolarità. Curve e cammini. Integrazione delle funzioni di variabile complessa. Legame tra l'integrale di una funzione di variabile complessa e quello delle forme differenziali ad essa associate.
• 10/12/07:  Forme differenziali. Problema della ricerca del potenziale. Forme chiuse e forme esatte. Lemma di Poincaré (esattezza delle forme C¹ chiuse in aperti stellati) e dimostrazione. Un esempio di forma chiusa non esatta in un aperto non stellato. Un esempio di calcolo esplicito del potenziale.
• 12/12/07:  Teorema di caratterizzazione delle forme esatte a coefficienti continui tramite l'annullamento dell'integrale su ogni circuito di Omega. Richiami su omotopia e semplice connessione. Teorema di esistenza del numero di Lebesgue. Invarianza dell'integrale di forme chiuse su coppie di cammini Omega-omotopi.
• 13/12/07 (1 ora):  Esercizi sulle forme differenziali.
• 17/12/07:  Teorema integrale di Cauchy: versione sui triangoli, versione sugli aperti stellati. Qualche richiamo su serie di potenze in campo complesso, raggio di convergenza, funzioni analitiche. Formula di rappresentazione dei coefficienti di una funzione analitica. Formula integrale di Cauchy. Enunciato del teorema di analiticità delle funzioni olomorfe, commenti.
• 19/12/07:  Dimostrazione del teorema di analiticità delle funzioni olomorfe. Osservazioni sul procedimento seguito per la dimostrazione. Conseguenze: Teorema di Morera, Teorema di Liouville, Teorema fondamentale dell'algebra. Definizione di singolarità isolata. Classificazione delle singolarità isolate. Teorema dello sviluppo in serie di Laurent. Teorema di rimozione della singolarità.
• 20/12/07 (1 ora):  Principio di identità e Teorema del prolungamento analitico. Osservazioni. Ordine di uno zero isolato e di un polo. Teorema di Casorati-Weierstrass.
• 07/01/08:  Definizione di indice di avvolgimento e indipendenza di questo dalla parametrizzazione (senza dimostrazione). Calcolo esplicito dell'indice di avvolgimento e sue proprietà. Definizione di residuo. Esempi di calcolo del residuo per un polo e per una singolarità essenziale. Teorema dei residui. Residuo all'infinito e teorema sull'annullamento della somma dei residui (cenni).

• Giulio Schimperna:  telefono 0382 985654, homepage, email.
• Francesca Bonizzoni:  email.
• Gloria Della Noce:  email.