IN EVIDENZA:

Esami. Durante il mese di luglio i docenti saranno presenti rispettivamente fino al 17/7 (Schimperna) e fino al 26/7 (Negri).
Durante il mese di settembre, a causa di vari impegni da parte dei docenti del corso, sarà possibile sostenere l'esame soltanto nei giorni 3/9 e 23/9.
Per sostenere l'esame, si raccomanda in ogni caso di prendere accordi con i docenti con ragionevole anticipo. Occorre inoltre iscriversi presso l'area riservata d'ateneo (le date indicate in tale sede sono puramente indicative; per l'effettivo svolgimento dell'esame si rimanda a quanto sopra).

Contatti:

• Giulio Schimperna: homepage, 0382/985654 (telefono), e-mail.

Il docente riceve su appuntamento (mandare un e-mail o telefonare).

Orario delle lezioni:

• Lunedì, 15.15-17.
• Mercoledì, 12.15-13.
• Giovedì, 14.15-16.

Tutte le lezioni si svolgeranno in Aula E9.

Testi di riferimento:

W. Rudin, "Functional Analysis", Mc Graw-Hill.

H. Brezis, "Analisi Funzionale", Liguori Editore

S. Kesavan, "Topics in Functional Analysis and Applications", John Wiley & Sons.

A. Pratelli, Dispense del corso di "Analisi Funzionale ed Equazioni Differenziali" 2009/10.

Calendario delle lezioni e riassunto degli argomenti trattati:

1. 04/03/13. Introduzione al corso. Due motivazioni per introdurre concetti più deboli di derivata e di soluzione di un'equazione differenziale: equazione di Burgers ed equazione di Poisson con dato irregolare.
2. 06/03/13 (un'ora). Ulteriori commenti sulla formulazione debole di equazioni alle derivate parziali. Concetto intuitivo di derivata debole. Osservazioni sulla struttura degli spazi funzionali delle funzioni continue su un aperto e delle test-funzioni. Richiami di topologia generale.
3. 07/03/13. Spazi vettoriali topologici. Insiemi convessi, bilanciati, limitati. Tipi di spazi vettoriali toplogici. Proprietà di separazione. Metrizzabilità, metriche invarianti. Esistenza di basi locali bilanciate. Funzionali lineari e continui.
4. 11/03/13. Ulteriori osservazioni sulla metrizzabilità nell'ambito degli spazi vettoriali topologici. Completezza. Spazi di dimensione finita. Funzionali lineari e continui tra spazi topologici. Seminorme.
5. 13/03/13 (un'ora). Proprietà delle seminorme. Insiemi assorbenti. Funzionali di Minkowski e loro proprietà
6. 14/03/13. Topologie generate da famiglie di seminorme. Caso di una famiglia numerabile di seminorme. Proprietà dello spazio C(Ω).
7. 18/03/13. Proprietà dello spazio C(Ω) (continuazione). Spazi C^∞(Ω), D(K) e loro proprietà. Spazi L^p(Ω) con p<1.
8. 20/03/13 (un'ora). Svolgimento dell'esercizio 1.13 del Rudin.
9. 21/03/13. Concetto di distribuzione. Costruzione della topologia sullo spazio D(Ω) delle test-funzioni.
10. 04/04/13. Proprietà della topologia dello spazio delle test funzioni. Operatori lineari e continui in D(Ω). Definizione di distribuzione ed esempi. Ordine di una distribuzione.
11. 08/04/13. Esempi di distribuzioni. Derivate distribuzionali. Relazioni tra derivate distribuzionali e derivate classiche. Moltiplicazione di una distribuzione per una funzione C^∞.
12. 10/04/13 (un'ora). Topologia e convergenza nello spazio delle distribuzioni. Localizzazione. Costruzione di una partizione dell'unità localmente finita. Supporto di una distribuzione.
13. 11/04/13. Proprietà del supporto di una distribuzione. Ogni distribuzione con supporto compatto ha ordine finito. Caratterizzazione delle distribuzioni aventi supporto costituito da un solo punto. Esercizi.
14. 15/04/13. Ulteriori esercizi. Convoluzione di una distribuzione con una funzione test. Approssimazione di una test funzione e di una distribuzione tramite mollificatori. Convoluzione di una distribuzione a supporto compatto con una funzione C^∞. Convoluzioni e δ di Dirac.
15. 17/04/13 (un'ora). Continuità dell'operazione di convoluzione con una distribuzione data, vista come operatore da D(R^N) a C^∞(R^N). Convoluzione di due distribuzioni di cui una a supporto compatto. Soluzioni fondamentali.
16. 18/04/13 Soluzioni fondamentali degli operatori di Laplace e del calore. Proprietà del nucleo del calore.

Modalità d'esame:

L'esame si svolgerà in forma orale.