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"Appello" di maggio: chi volesse sostenere l'esame alla fine di maggio è pregato di "iscriversi" contattando direttamente il docente per telefono o (meglio) e-mail possibilmente entro venerdì 23 (così da poter fissare in tempo utile un calendario).
La data proposta è martedì 27/5 in Aula Beltrami a partire dalle 9.30.

Esami: Non saranno fissati appelli d'esame. La data d'esame si stabilirà previo accordo personale col docente (è tuttavia preferibile organizzarsi in piccoli gruppi, anche perché può essere interessante seguire la parte "seminariale" degli orali dei propri compagni). Al momento il docente è disponibile a svolgere orali nei seguenti periodi (tuttavia si noti che potranno esserci variazioni):
13 - 15 maggio,
26 - 30 maggio,
23 giugno - 4 luglio.
14 - 18 luglio,
25 agosto - 19 settembre.

Per ulteriori informazioni si può contattare direttamente il docente. Materiale didattico relativo al corso degli anni precedenti (ma utile anche per il corso di quest'anno) può essere trovato sulla pagina web del corso 2006/07, tenuto da Ulisse Stefanelli. In particolare, vi si trova una raccolta di esercizi.

Calendario e riassunto delle lezioni:

1. 03/03/08. Richiami: calcolo differenziale per funzioni di più variabili (derivate direzionali, gradiente, matrice Jacobiana, differenziazione di funzioni composte); multiindici e loro uso, teorema multinomiale, formula di Taylor per funzioni di più variabili; superficie in R³, vettori tangenti e vettori normali.
2. 05/03/08. Richiami: integrazione su superficie; superficie e ipersuperficie in dimensioni superiori, elemento di volume per ipersuperficie e integrazione su ipersuperficie, formula di Cauchy-Binet; teorema delle funzioni implicite e teorema della funzione inversa; cenni sulla formula di coarea, applicazione all'integrazione su sfere; calcolo del volume della sfera n-dimensionale.
3. 10/03/08. Richiami: teorema della divergenza; teorema di Stokes (in R³). Introduzione alle equazioni alle derivate parziali. Classificazione (lineari, semilineari, quasilineari, completamente non lineari). Principali problemi (esistenza, unicità, regolarità). Tipi di soluzioni e possibili approcci ("classico" e "variazionale"). Alcune equazioni importanti.
4. 12/03/08. Equazioni del primo ordine. Equazione del trasporto lineare in R² e sua risoluzione. Equazioni quasilineari del primo ordine in R². Linee caratteristiche e caratteristiche proiettate. Costruzione della soluzione tramite risoluzione del sistema delle caratteristiche. Dati iniziali caratteristici e non caratteristici. Generalizzazione al caso n-dimensionale. Un esempio.
5. 17/03/08. Derivate normali e tangenziali del primo ordine e di ordine superiore. Decomposizione di un operatore differenziale in componenti tangenziale e normale. Dati caratteristici e non caratteristici per equazioni del secondo ordine.
6. 19/03/08. Dimostrazione del fatto che le derivate tangenziali su S sono determinate dalla conoscenza dei dati su S stessa. Classificazione delle equazioni quasilineari del secondo ordine. Motivazione della terminologia. Geometria delle caratteristiche nei casi ellittico, parabolico, iperbolico. Teorema di Cauchy-Kovalevskaja (enunciato e commenti).
7. 31/03/08. Metodo di separazione delle variabili per un'equazione ellittica. Motivazione e derivazione fisica delle equazioni di Laplace e del calore (campi elettrici e gravitazionali, fluidi incomprimibili, diffusione termica). Armoniche coniugate. Problemi di Dirichlet, di Neumann e di altro tipo.
8. 02/04/08. Invarianza del Laplaciano rispetto a rototraslazioni. Funzioni armoniche radiali in dimensione 2 e in dimensione qualunque. Motivazioni per non affrontare l'equazione di Laplace sotto le ipotesi del teorema di Cauchy-Kovalevskaja: sovradeterminazione, mancanza di dipendenza continua. Principio del massimo debole, dimostrazione e osservazioni. Funzioni subarmoniche e superarmoniche. Relazioni tra subarmonicità e convessità . Stima di dipendenza continua nella norma uniforme.
9. 07/04/08. Soluzione fondamentale dell'operatore di Laplace. Soluzione dell'equazione di Laplace nell'intero spazio. Definizione di funzione di Green. Dimostrazione del fatto che se sono note la funzione di Green e la soluzione del problema di Dirichlet per l'equazione di Poisson, allora vale la formula di rappresentazione. Proprietà della funzione di Green: unicità, simmetria.
10. 09/04/08. Proprietà della funzione di Green: positività. Determinazione della funzione di Green per la sfera. Dimostrazione del fatto che sulla sfera la formula di rappresentazione tramite la funzione di Green fornisce la soluzione del problema di Dirichlet per l'equazione di Laplace. Corollario: formula di Poisson per le funzioni armoniche. Proprietà delle funzioni armoniche: proprietà della media, principio del massimo forte, infinita differenziabilità.
11. 14/04/08. Stime di crescita per le derivate di funzioni armoniche. Analiticità. Teorema di Liouville. Disuguaglianza di Harnack. Successioni di funzioni armoniche. Funzioni subarmoniche.
12. 16/04/08. Proprietà delle funzioni subarmoniche e loro possibili caratterizzazioni. Metodo di Perron per la determinazione dell'esistenza di una soluzione del Problema di Dirichlet per l'equazione di Laplace su un dominio limitato regolare.
13. 21/04/08. Esercizi sull'equazione di Laplace. Introduzione all'equazione del calore. Derivazione della soluzione fondamentale. Risoluzione del problema ai valori iniziali su tutto lo spazio (enunciato).
14. 23/04/08. Risoluzione del problema ai valori iniziali su tutto lo spazio (dimostrazione). Risoluzione del problema non omogeneo su tutto lo spazio (enunciato e dimostrazione).
15. 28/04/08. Proprietà della media e principio del massimo per l'equazione del calore. Conseguenze: unicità. Regolarità C infinito della soluzione
16. 30/04/08. Metodi variazionali applicati all'equazione del calore: unicità, unicità all'indietro. Esercizi. Introduzione all'equazione delle onde: motivazione fisica in dimensione uno.
17. 05/05/08. Motivazione fisica dell'equazione delle onde in dimensione maggiore di uno. Richiami sull'equazione del trasporto omogenea e non omogenea. Risoluzione dell'equazione delle onde in dimensione uno (formula di D'Alembert). Equazione unidimensionale sulla semiretta (corda vincolata) e formula risolutiva. Derivazione dell'equazione di Eulero-Poisson-Darboux.
18. 07/05/08Risoluzione dell'equazione delle onde in dimensione tre e in dimensione due. Cenni sul problema in dimensione maggiore di tre. Considerazioni fisiche. Principio di Huygens.
19. 12/05/08Equazione delle onde non omogenea. Metodi variazionali applicati all'equazione delle onde: unicità, disuguaglianza di osservabilità. Un esercizio.

Modalità e argomenti d'esame

L'esame si svolgerà in forma solo orale. L'orale riguarderà l'intero programma trattato a lezione e potrà comprendere la risoluzione di esercizi. Non si insisterà sui dettagli delle dimostrazioni più tecniche. La prima domanda è in ogni caso a scelta del candidato.

La domanda a scelta per l'esame può essere sostituita da un argomento collegato al programma del corso, ma non svolto a lezione (non portare un argomento a scelta non è penalizzante riguardo al voto finale; tuttavia portare un argomento a scelta corposo può essere vantaggioso...).

Possibili argomenti a scelta per l'esame (la lista sarà progressivamente aggiornata; ove possibile viene proposta una referenza):

• Formula dell'area e misure di Hausdorff (vedi la dispensa di Gianni Gilardi, in particolare i paragrafi 3, 5 e 6 - possono essere omessi i dettagli tecnici della dimostrazione);
• Metodo di separazione delle variabili per l'equazione del calore (dettagli da svolgere personalmente sulla falsariga del Paragrafo 1.7 della dispensa di Acquistapace);
• Metodo di separazione delle variabili per l'equazione delle onde (dettagli da svolgere personalmente sulla falsariga del Paragrafo 1.7 della dispensa di Acquistapace);
• Equazione dei mezzi porosi (Esempio 2, p. 170 e Paragrafo 4.2.2, p. 180 del libro di Evans);
• Dimostrazione del fatto che la formula di rappresentazione tramite la funzione di Green fornisce la soluzione del problema di Dirichlet per l'equazione di Poisson sulla sfera (Teorema 2.5.1 della dispensa di Acquistapace);
• Derivazione delle soluzioni fondamentali delle equazioni di Laplace e del calore utilizzando la trasformata di Fourier (pagina 188-189 del libro di Evans);
• Teorema di Cauchy-Kovalevskaja (Paragrafo 4.6 del libro di Evans).
• Applicazione della teoria delle equazioni ellittiche alla ricostruzione di campi vettoriali (Paragrafo 4.4 del libro di Salsa, "Equazioni a Derivate Parziali", Springer Italia);
• Equazione di Black-Scholes e determinazione di una soluzione esplicita;
• Equazioni dell'elasticità lineare;
• Applicazione della teoria delle equazioni ellittiche alla risoluzione di problemi legati all'elettromagnetismo (equazioni di Maxwell);
• Equazioni di Navier Stokes (limitandosi alla derivazione e al significato fisico e a un inquadramento nella teoria delle equazioni paraboliche non lineari).