Programma del corso di Analisi funzionale

Il corso ha uno scopo molteplice:

a) fornire gli elementi più importanti della teoria degli spazi di Banach e di Hilbert, con particolare riguardo agli spazi di Banach;
b) dare applicazioni significative dell'Analisi Funzionale a problemi di un certo rilievo nell'Analisi Matematica;
c) evidenziare l'interazione fra problematiche concrete e teoria astratta con la presentazione parallela di concetti, risultati e applicazioni;
d) far acquisire agli studenti una certa manualità nella risoluzione degli esercizi.

Gli argomenti che verranno trattati sono elencati di seguito.

1. Richiami su norme e prodotti scalari. Metriche e topologie indotte. Spazi vettoriali topologici. Alcune costruzioni canoniche.

2. Completezza e spazi di Banach e di Hilbert. Completamenti. Esempi significativi, quali gli spazi di funzioni continue, di Lebesgue e di Sobolev.

3. Operatori lineari e continui. Duale di uno spazio normato. Risultati di rappresentazione del duale.

4. Richiami sulla teoria elementare degli spazi di Hilbert, già stata svolta nei corsi della laurea triennale. Convergenza debole in uno spazio normato e compattezza debole sequenziale degli spazi di Hilbert.

5. Forme analitiche dei teoremi di Hahn-Banach e loro innumerevoli applicazioni: la mappa di dualità, il biduale, l'isomorfismo canonico e la nozione di spazio riflessivo, la convergenza debole* nel duale, il problema della compattezza debole sequenziale, l'aggiunto di un operatore lineare e continuo.

6. Forme geometriche dei teoremi di Hahn-Banach e alcune loro applicazioni: funzioni convesse e sottodifferenziali.

7. Alcuni dei teoremi fondamentali della teoria degli spazi di Banach: i teoremi di Banach-Steinhaus, dell'applicazione aperta e del grafico chiuso con le loro conseguenze. L'aggiunto di un operatore non limitato e le relazioni di ortogonalità. Operatori chiusi e operatori a immagine chiusa.

8. Riflessività: costruzioni canoniche di spazi riflessivi e classi importanti di spazi riflessivi.

9. Famiglie di seminorme, spazi localmente convessi, spazi di Fréchet. Le topologie debole e debole*: teoremi di compattezza debole e di compattezza debole*. Esempi importanti di spazi di Fréchet.


Ultimo aggiornamento: 16 gennaio 2024 alla pagina della didattica     alla home page di Gianni Gilardi