Scopo del corso è quello di riprendere i contenuti del corso di Analisi Matematica 1 e di sviluppare la teoria, in particolare per quanto riguarda le derivate di ordine superiore e le tecniche di calcolo integrale per funzioni di più variabili. Vengono inoltre svolte le dimostrazioni di quei risultati che nel corso precedente erano stati solo enunciati. In questo corso vengono dati anche gli elementi fondamentali riguardanti le equazioni differenziali ordinarie. L'ultima parte (che è riservata ai soli studenti di Matematica e non fa parte del programma di Complementi di Analisi Matematica I del corso di laurea in Fisica) riguarda le successioni e le serie di funzioni, le serie di potenze, le forme differenziali lineari. Una certa attenzione viene rivolta alla scelta degli esempi significativi, spesso tratti dalle scienze applicate.
Contenuti
Il primo argomento trattato riguarda le proprietà globali delle funzioni continue nell'ambito degli spazi euclidei e le loro applicazioni principali, quali l'esistenza di massimi e minimi per funzioni continue di una o più variabili e l'integrabilità di tali funzioni (nello stesso contesto unitario, usato nel corso di Analisi Matematica 1, che comprende anche integrali di linea e di superficie).
Il secondo argomento consiste nello sviluppo del calcolo differenziale e si basa sui teoremi del valor medio, usati in innumerevoli applicazioni, sia nel caso di funzioni di una variabile (studi di funzione, Teoremi di De L'Hôpital) sia nel contesto di funzioni di più variabili (ad esempio integrali dipendenti da parametri). Gli stessi teoremi del valor medio vengono poi utilizzati per lo sviluppo del calcolo differenziale di ordine superiore (questioni di convessità, formule di Taylor, massimi e minimi liberi e vincolati e Teorema dei moltiplicatori di Lagrange).
Il calcolo integrale, ancora nella forma astratta seguita nel corso di Analisi Matematica 1, viene ripreso per lo sviluppo delle tecniche di integrazione per funzioni di più variabili. I risultati principali che vengono trattati sono la riduzione degli integrali multipli e il cambiamento di variabile, questo in una forma sufficientemente generale da comprendere i cambiamenti di variabile in integrali multipli e la riduzione a integrali su intervalli o su regioni piane di integrali di linea e di superficie rispettivamente.
Il capitolo delle equazioni differenziali ordinarie tratta principalmente delle problematiche generali per equazioni e sistemi. Vengono introdotti i principali risultati sul problema di Cauchy per equazioni e sistemi non lineari e le prime proprietà delle equazioni e dei sistemi lineari. Per quanto riguarda invece le tecniche di calcolo delle soluzioni, ci si limita alle situazioni più semplici, rimandando quelle più complesse e la trattazione sistematica di equazioni e sistemi lineari ai corsi specializzati.
Nell'ultima parte del corso, rivolta ai soli studenti di Matematica, vengono dati i concetti e i risultati fondamentali relativi a successioni e serie di funzioni, alle serie di potenze e alle trascendenti elementari in campo complesso. Vengono dati inoltre i concetti e i risultati fondamentali sulle forme differenziali lineari.
Nota
Parte integrante del corso sono le attività didattiche collaterali previste in orario.
Bibliografia
G. Gilardi: "Analisi Matematica di Base", 2a edizione, McGraw-Hill, 2011.