Lo scopo del corso è quello di fornire tutti i concetti basilari dell'analisi matematica per funzioni di una e più variabili e le techiche di calcolo per funzioni di una variabile. Una certa attenzione viene rivolta alla scelta degli esempi significativi, spesso tratti dalle scienze applicate. Lo sviluppo della teoria è in gran parte lasciato al corso di Analisi Matematica 2, strettamente collegato con questo.
Contenuti
Introdotti brevemente alcuni argomenti propedeutici, quali i numeri reali e complessi, si passa a una trattazione succinta delle successioni e delle serie di numeri reali, con rapidi cenni sul caso dei termini complessi e vettoriali.
Si entra quindi nel vivo del programma e all'introduzione di tutti i concetti fondamentali dell'analisi matematica: limiti, continuità, derivate, integrali. Questo viene fatto, in forma unitaria, per funzioni di una o più variabili, sia pure partendo dal caso guida delle funzioni di una sola variabile.
Le nozioni di limite e di continuità vengono presentate nell'ambito delle funzioni che operano fra spazi euclidei, privilegiando negli esempi e negli esercizi, senza tuttavia trascurare completamente il contesto generale, il caso delle funzioni reali di variabile reale.
La parte teorica del calcolo differenziale si incentra sui concetti di differenziabilità e di differenziale. Questo motivo conduttore offre lo spunto per la precisazione rigorosa del concetto di tangenza e per l'introduzione dei vari tipi di derivate del primo ordine (derivate ordinarie, direzionali, parziali, gradiente, matrice jacobiana), con le loro proprietà principali e le principali regole di calcolo, dunque con il risalto che tutti i tipi di derivate meritano. Viene introdotto e usato sistematicamente il concetto di funzione implicita, con relativo calcolo differenziale del primo ordine. Al caso delle funzioni di una variabile, poi, è dato un rilievo particolare anche nella parte pratica (ad esempio negli studi di funzione, limitatamente alle questioni legate alle derivate del primo ordine, come la determinazione di massimi e minimi e degli intervalli di monotonia), mentre viene rimandata al corso successivo l'acquisizione dell'analoga manualità relativa a funzioni di più variabili e a questioni che fanno intervenire derivate di ordine superiore.
La teoria dell'integrazione viene introdotta alla Riemann, ma attraverso una formulazione astratta, che estende i casi dell'integrale su un intervallo o su un rettangolo del piano introdotti come prototipi. Il quadro è sufficientemente generale da comprendere, accanto agli integrali di funzioni di una variabile e agli integrali multipli, gli integrali di linea e di superficie. In questo contesto unitario vengono introdotte tutte le proprietà fondamentali degli integrali e la teoria della misura secondo Peano-Jordan. Per quanto riguarda il calcolo effettivo, invece, ci si limita agli integrali sull'intervallo e alle tecniche derivanti direttamente dal Teorema fondamentale del calcolo (integrazione per parti e per sostituzione). Sugli integrali con integrando o dominio non limitati viene dato solo un cenno, dato che questi casi costituiscono uno degli argomenti principali di un corso successivo. Nell'ultima parte di questo capitolo vengono introdotti per via integrale i concetti di divergenza e di rotore, con le regole per il loro calcolo effettivo, e viene dato un cenno sui Teoremi di Gauss e di Stokes.
Nota
Parte integrante del corso sono le attività didattiche collaterali previste in orario.
Bibliografia
G. Gilardi: "Analisi Matematica di Base", 2a edizione, McGraw-Hill, 2011.