Cenni sul principio di massimo

Lemma 1. Se M^{t} = M^{−1} allora tr A = tr(M^{t}AM) . Dimostrazione. Si ha subito

tr(M^{t}AM) = ∑_{ijk} m_{ij}^{t}a_{jk}m_{ki} = ∑_{jk} a_{jk} ∑_{i} m_{ki}m_{ij}^{t} =

∑_{jk} a_{jk}δ_{kj} = ∑_{j} a_{jj} = tr A.

Lemma 2. Siano A e B semidefinite positive con B simmetrica. Allora tr(AB) ≥ 0 . Dimostrazione. Siano M ortogonale e D = diag(λ_{1}, …, λ_{n}) tali che B = M^{t}DM . Allora λ_{i} ≥ 0 per ogni i e

AB = M^{t}MAM^{t}DM  da cui  tr(AB) = tr(MAM^{t}D).

Posto C = MAM^{t} , anche C è semidefinita positiva. In particolare c_{ii} ≥ 0 ∀i. Dunque

tr(AB) = tr(CD) = ∑_{ij} c_{ij}(λ_{i}δ_{ji}) = ∑_{i} λ_{i}c_{ii} ≥ 0.

Principio di massimo classico. Posto

(1)  Lu = − ∑_{ij} a_{ij}D_{ij}u + ∑_{i} β_{i}D_{i}u + γu

si supponga che (a_{ij}) sia uniformemente ellittica con costante di ellitticità α e che tutti i coefficienti a_{ij} , β_{i} e γ siano continui. Sia u ∈ C^{2}(Ω) ∩ C^{0}(\overline{Ω}) tale che

(2)  \{ \begin{matrix}Lu = & f & in Ω \\ u = & g & su Γ \end{matrix}

ove f e g sono continue. Se

(3)  f ≥ 0 in Ω, g ≥ 0 su Γ e γ ≥ 0 in Ω,

allora u ≥ 0 in Ω . Dimostrazione. Supponiamo dapprima f > 0 in Ω e sia x_{0} ∈ \overline{Ω} un punto di minimo di u: dobbiamo dimostrare che u(x_{0}) ≥ 0 .

Se x_{0} ∈ Γ , allora u(x_{0}) = g(x_{0}) ≥ 0 . Se invece x_{0} ∈ Ω , allora ∇u(x_{0}) = 0 e l’hessiano Hu(x_{0}) di u in x_{0} è semidefinito positivo. Per il Lemma 2 segue allora

∑_{ij} a_{ij}(x_{0})D_{ij}u(x_{0}) = tr (A(x_{0})Hu(x_{0})) ≥ 0,

da cui

0 < f(x_{0}) = − ∑_{ij} a_{ij}(x_{0})D_{ij}u(x_{0}) + ∑_{i} β_{i}(x_{0})D_{i}u(x_{0}) + γ(x_{0})u(x_{0}) ≤ γ(x_{0})u(x_{0}).

Dunque γ(x_{0})u(x_{0}) > 0 . Segue γ(x_{0}) ≠ 0 , cioè γ(x_{0}) > 0 , e quindi u(x_{0}) > 0 .

Supponiamo ora solo f ≥ 0 , come è nell’ipotesi. Per λ > 0 , da scegliere opportunamente in seguito, poniamo

w(x) = 1 − e^{−λ(x_{1}−x̃_{1})}

ove x̃_{1} è scelto in modo che x_{1} > x̃_{1} in Ω , così che w > 0 . Si ha:

Lw(x) = e^{−λ(x_{1}−x̃_{1})} (a_{11}(x)λ^{2} + β_{1}(x)λ) + γ(x)w(x) ≥
e^{−λ(x_{1}−x̃_{1})} (a_{11}(x)λ^{2} + β_{1}(x)λ) ≥ e^{−λ(x_{1}−x̃_{1})}λ(αλ − ∥β_{1}∥_{L^{∞}})

in quanto a_{11} = e_{1}^{t}Ae_{1} ≥ α|e_{1}|^{2} = α. Scegliamo allora λ > 0 in modo che l’ultimo membro sia > 0 , ad esempio λ = 2 ∥β_{1}∥_{L^{∞}} /α. Per ε > 0 si ha allora

L(u + εw) > 0 in Ω e u + εw > 0 su Γ

e la prima parte implica u + εw ≥ 0 in Ω . Prendendo il limite per ε → 0^{+} , deduciamo allora u ≥ 0 in Ω .

Osservazioni. Sempre nell’ipotesi γ ≥ 0 , supponiamo che, con una certa costante M′ , siano soddisfatte le disuguaglianze g ≥ M′ e g ≥ M′γ . Allora, applicando il Principio di massimo a u − M′ , deduciamo che u − M′ ≥ 0 . Ragionando analogamente su M′′ − u, otteniamo una disuguaglianza analoga, che riuniamo alla precedente nell’implicazione:

(4)  se  M′ ≤ g ≤ M′′ e M′γ ≤ f ≤ M′′γ,  allora  M′ ≤ u ≤ M′′.

In particolare, se γ = 0 , possiamo prendere M′ = min g e, rispettivamente, M′′ = max g separatamente nel discorso precedente. Otteniamo le due proprietà seguenti:

(5)  min_{\overline{Ω}} u = min_{Γ} u se f ≥ 0  e  max_{\overline{Ω}} u = max_{Γ} u se f ≤ 0.

Sono queste le formulazioni che più spesso vengono dette “Principio di massimo” e, più precisamente, “Principio di massimo debole”, dato che si riserva il nome di “Principio di massimo forte” a enunciati che escludono punti di massimo stretto interni a Ω .

Veniamo al Principio di massimo variazionale, che si riferisce al caso in cui l’operatore L è scritto in forma di divergenza, cioè come Lu = − div(…) + …, senza che le derivate seconde compaiano esplicitamente. Poniamo come d’abitudine

(6)  a(u, v) = ∫_{Ω} ((A∇u) · ∇v + (b · ∇u)v + cu · ∇v + duv),  u, v ∈ H^{1}(Ω),

supponendo i coefficienti in L^{∞} e A uniformemente ellittica. L’equazione che consideriamo è ancora l’equazione Lu = f , ma scritta nel modo seguente

(7)  a(u, v) = ∫_{Ω} fv  ∀v ∈ H_{0}^{1}(Ω)

Nel caso in cui i coefficienti siano regolari, tale equazione si scrive ancora nella forma precedente (cioè non in forma di divergenza) con la stessa matrice A, certi coefficienti β_{i} e con γ = d − div c e l’ipotesi del Principio di massimo classico diventa

(8)  d − div c ≥ 0.

Allora è plausibile per l’equazione variazionale (7) un enunciato nel quale l’ipotesi sul segno dei coefficienti sia la (8). Occorre però dare senso alla (8) anche quando c non è regolare.

Definizione. Siano d ∈ L_{loc}^{1}(Ω) e c ∈ (L_{loc}^{1}(Ω))^{n} . Diciamo che vale la (8) quando

∫_{Ω}(dv + c · ∇v) dx ≥ 0

per tutte le v ∈ C_{0}^{∞}(Ω) non negative.

Si riconosce facilmente che, se div c ∈ L_{loc}^{1}(Ω) , la condizione data dalla definizione precedente equivale alla (8) intesa q.o. in Ω .

Vale allora il seguente

Principio di massimo variazionale. Sia Ω un aperto limitato e lipschitziano. Con la notazione (6), supponiamo che i coefficienti siano in L^{∞} , che A sia uniformemente ellittica e che valga la (8). Se u ∈ H^{1}(Ω) verifica

(9)  a(u, v) ≥ 0  per ogni v ∈ H_{0}^{1}(Ω) non negativa

e se u è non negativa su Γ , allora u ≥ 0 in Ω .

Non dimostriamo questo risultato nella sua generalità e vediamo una generalizzazione di una situazione in qualche modo vicina a quella dell’enunciato.

Supponiamo per un momento che valga anche la condizione

(10)  div(b − c) ≤ 0

nel senso della definizione precedente. Allora la forma (6) è H_{0}^{1}− ellittica. Per v ∈ C_{0}^{∞}(Ω) si ha infatti:

a(v, v) = ∫_{Ω}(A∇v) · ∇v + ∫_{Ω}(b − c) · v∇v + ∫_{Ω} 2cv · ∇v + ∫_{Ω} dv^{2} =

∫_{Ω}(A∇v) · ∇v + \frac{1}{2} ∫_{Ω}(b − c) · ∇(v^{2}) + ∫_{Ω}(c · ∇(v^{2}) + dv^{2}).

Se dunque valgono le (8) e (10) e se α è la costante di ellitticità di A, risulta

a(v, v) ≥ α ∫_{Ω} |∇v|^{2} ∀v ∈ C_{0}^{∞}(Ω).

Ricordando la densità di C_{0}^{∞} in H_{0}^{1} e la disuguaglianza di Poincaré, segue la tesi.

Una dimostrazione facile (formale). Se a è H_{0}^{1}− ellittica, dalle ipotesi del Principio di massimo variazionale abbiamo formalmente u^{−} ∈ H_{0}^{1} dato che u ≥ 0 su Γ . Allora

0 ≤ a(u, u^{−}) = a(u^{+}, u^{−}) − a(u^{−}, u^{−}) = −a(u^{−}, u^{−}) ≤ −α ∫_{Ω} |∇u^{−}|^{2}.

Siccome l’ultimo integrale è il quadrato di una norma in H_{0}^{1} , deduciamo u^{−} = 0 e dunque u ≥ 0 .

Generalizziamo allora questo risultato nel seguente

Teorema. Siano V un sottospazio chiuso di H^{1}(Ω) , V^{+} = {v ∈ V : v ≥ 0} e a una forma bilineare e continua su H^{1}(Ω) , V − ellittica e tale che a(v^{+}, v^{−}) = 0 per ogni v ∈ H^{1}(Ω) . Se

(11)  u ∈ H^{1}(Ω),  u^{−} ∈ V  e  a(u, v) ≥ 0 ∀v ∈ V^{+},

allora u ≥ 0 in Ω .

La dimostrazione è immediata e identica alla precedente:

0 ≤ a(u, u^{−}) = a(u^{+}, u^{−}) − a(u^{−}, u^{−}) = −a(u^{−}, u^{−}) ≤ −α ∥u^{−}∥^{2}

da cui u^{−} = 0 e u ≥ 0 .

Ma l’enunciato stesso del teorema e la “dimostrazione facile” precedente necessitano di alcune precisazioni: dobbiamo dimostrare che, se u ∈ H^{1} , allora u^{±} ∈ H^{1} e che a(u^{+}, u^{−}) = 0 se a è data dalla (6); dobbiamo inoltre studiare i legami fra le affermazioni “ u ≥ 0 su Γ ” e “ u^{−} ∈ H_{0}^{1} ”. Questi controlli sono l’oggetto dei risultati che seguono.

Proposizione 1. Se u ∈ H^{1} allora u^{±} ∈ H^{1} e risulta

∇u^{+} = χ_{{u>0}}∇u e ∇u^{−} = −χ_{{u<0}}∇u.

Dimostrazione. Sia Φ_{ε} ∈ C^{1}(R) una approssimazione di ( )^{+} nelle condizioni seguenti:

\begin{matrix}Φ_{ε}(t) = 0 ∀t ≤ 0, & 0 ≤ Φ′_{ε}(t) ≤ 1 ∀t, \\ |Φ_{ε}(t) − t| ≤ ε ∀t > 0, & lim_{ε→0} Φ′_{ε}(t) = 1 ∀t > 0. \end{matrix}

Considerando solo la prima tesi, per ogni v ∈ (C_{0}^{∞}(Ω))^{n} si ha

− ∫_{Ω} u^{+} div v =

− lim_{ε→0} ∫_{Ω} Φ_{ε}(u) div v = lim_{ε→0} ∫_{Ω} ∇(Φ_{ε}(u)) · v =

lim_{ε→0} ∫_{Ω} Φ′_{ε}(u)∇u · v = lim_{ε→0} ∫_{{u>0}} Φ′_{ε}(u)∇u · v =

∫_{{u>0}} ∇u · v = ∫_{Ω} χ_{{u>0}}∇u · v.

Corollario. Se u ∈ H^{1}(Ω) allora le funzioni

∇u^{+} · ∇u^{−}, u^{−}∇u^{+}, u^{+}∇u^{−} e u^{+}u^{−}

sono nulle quasi ovunque. In particolare a(u^{+}, u^{−}) = 0 se a è data dalla (6).

Lemma 3. Sia Ω limitato e lipschitziano. Se u ∈ H^{1}(Ω) allora u^{±} |_{Γ} = (u |_{Γ})^{±} .

Dimostrazione. Siano u_{k} ∈ C^{1}(\overline{Ω}) tali che u_{k} → u in H^{1} . Siccome ∥u_{k}^{±}∥_{H^{1}} ≤ ∥u_{k}∥_{H^{1}} per la Proposizione 1, segue che le successioni {u_{k}^{±}} sono limitate in H^{1} . Siccome esse convergono fortemente il L^{2} a u^{±} , deduciamo facilmente che esse convergono agli stessi limiti debolmente in H^{1} . Valgono allora i fatti seguenti:

u_{k}^{±} |_{Γ} ⇀ u^{±} |_{Γ} in L^{2}(Γ)
(u_{k} |_{Γ})^{±} ⇀ (u^{±} |_{Γ})^{±} in L^{2}(Γ) (in quanto u_{k} |_{Γ} → u |_{Γ} in L^{2}(Γ)).

Essendo u_{k}^{±} |_{Γ} = (u_{k} |_{Γ})^{±} ∀k, la tesi segue.

Proposizione 2. Sia Ω limitato e lipschitziano e sia u ∈ H^{1}(Ω) . Allora u^{−} ∈ H_{0}^{1}(Ω) se e solo se u |_{Γ} ≥ 0 .

Dimostrazione. Si ha u^{−} ∈ H_{0}^{1} se e solo se u^{−} |_{Γ} = 0 , cioè se e solo se (u |_{Γ})^{−} = 0 , cioè se e solo se u |_{Γ} ≥ 0 .

Osservazioni. Il Principio di massimo ha conseguenze importanti. Considerando ad esempio il Principio di massimo classico e supponendo γ ≥ 0 , abbiamo visto in particolare che valgono le (4). Prendendo M′ = M′′ = 0 otteniamo immediatamente l’unicità della soluzione classica del problema di Dirichlet omogeneo per l’equazione omogenea, dunque l’unicità anche per i corrispondenti problemi non omogenei. Le stesse conclusioni si hanno nel caso del Principio di massimo variazionale: nell’ipotesi (8) si ha l’unicità della soluzione in H^{1} per il problema di Dirichlet, anche se la forma a non è necessariamente H_{0}^{1}− ellittica.

Ragionando analogamente sulla differenza di due soluzioni con lo stesso dato f e dati g diversi, si conclude un risultato di dipendenza continua: se i dati al bordo variano di poco nella norma del massimo, la stessa conclusione si ha per le soluzioni.

Allo stesso modo, considerando due coppie dati f_{1}, g_{1} e f_{2}, g_{2} tali che f_{1} ≤ f_{2} e g_{1} ≤ g_{2} e ragionando sulla differenza delle soluzioni corrispondenti u_{1} e u_{2} , si deduce u_{1} ≤ u_{2} . Vale dunque un risultato di dipendenza monotona della soluzioni dai dati.

Ritornando all’unicità, occorre osservare che questa ha riflessi anche sul problema dell’esistenza. Infatti, se Ω limitato e lipschitziano, se la matrice A della forma bilineare (6) è uniformemente ellittica e se i coefficienti sono in L^{∞} , allora vale l’alternativa di Fredholm, per cui un risultato di unicità ne implica uno di esistenza e di dipendenza continua della soluzione dai dati.