Equazioni iperboliche astratte: un risultato di esistenza

1. Il problema. Nell’ambito della terna hilbertiana (V, H, V′) con V separabile, dimostriamo un risultato di esistenza della soluzione del problema di Cauchy

u′′(t) + Au(t) = f(t)  q.o. in (0, T)  (1)
u(0) = u^{0},  u′(0) = u^{1}  (2)

ove A : V → V′ è lineare, continuo, simmetrico e V − ellittico. Nel seguito, α e M denotano la costante di V − ellitticità e la norma dell’operatore A. Supponiamo

f = f_{1} + f_{2}  con  f_{1} ∈ L^{2}(0, T; H) e f_{2} ∈ H^{1}(0, T; V′)  (3)
u^{0} ∈ V  e  u^{1} ∈ H  (4)

(nei problemi concreti f_{1} e f_{2} corrispondono a integrali di volume e di bordo rispettivamente) e cerchiamo la soluzione u verificante le condizioni di regolarità

u ∈ C^{0}([0, T]; V),  u′ ∈ C^{0}([0, T]; H)  e  u′′ ∈ L^{2}(0, T; V′).  (5)

Come al solito le derivate sono intese nel senso delle distribuzioni a valori in V′ . In particolare la (1) significa semplicemente che f − Au è la derivata di u′ nel senso detto.

Ricordiamo che, nelle ipotesi fatte sui dati, il problema considerato ha al più una soluzione verificante le (5) e che per questa vale la stima di dipendenza continua

∥u∥_{C^{0}([0,T];V)}^{2} + ∥u′∥_{C^{0}([0,T];H)}^{2} ≤ c (∥u^{0}∥^{2} + |u^{1}|^{2} + ∥f_{1}∥_{L^{2}(0,T;H)}^{2} + ∥f_{2}∥_{H^{1}(0,T;V′)}^{2}) (6)

ove c dipende solo da α, M e T .

Notiamo che il problema di Cauchy (1) e (2) ha senso in condizioni di regolarità anche minore. Ad esempio, se f ∈ L^{2}(0, T; V′) , u ∈ L^{2}(0, T; V′) e u′ ∈ L^{2}(0, T; V′) , si ha f − Au ∈ L^{2}(0, T; V′) e ha senso richiedere che u risolva l’equazione (1) nel senso delle distribuzioni a valori in V′ . In tali condizioni deduciamo poi u ∈ H^{2}(0, T; V′) , da cui u ∈ C^{1}([0, T]; V′) , e ha senso imporre anche le (2). Dunque possiamo anche cercare soluzioni meno regolari del problema proposto.

2. Il metodo di Galerkin. Dimostriamo dapprima, nelle ipotesi (3) e (4), l’esistenza di una soluzione u verificante le condizioni di regolarità più deboli

u ∈ L^{∞}(0, T; V),  u′ ∈ L^{∞}(0, T; H)  e  u′′ ∈ L^{2}(0, T; V′)  (7)

e per far questo usiamo il metodo di Faedo–Galerkin, che richiede tre passi.

Il primo di questi consiste nella costruzione e nella risoluzione di un problema approssimato, ottenuto essenzialmente dal problema dato con la sostituzione di V con un suo sottospazio di dimensione finita. Sia {V_{n}} una successione non decrescente di sottospazi di V tale che ciascuno dei V_{n} abbia dimensione finita e l’unione V_{∞} della famiglia sia densa in V . Scegliamo poi due successioni {u_{n}^{0}} e {u_{n}^{1}} tali che u_{n}^{0}, u_{n}^{1} ∈ V_{n} per ogni n, convergenti a u^{0} in V e a u^{1} in H rispettivamente e tali che (ad esempio)

∥u_{n}^{0}∥ ≤ ∥u^{0}∥  e  |u_{n}^{1}| ≤ |u^{1}|  ∀ n.  (8)

Ecco una possibile costruzione dei dati del problema approssimato. Prendiamo come u_{n}^{0} e come u_{n}^{1} le proiezioni ortogonali di u^{0} e di u^{1} su V_{n} (che è chiuso in V e in H in quanto ha dimensione finita) rispetto ai prodotti scalari di V e di H rispettivamente. Allora le condizioni dette sono soddisfatte grazie alle proprietà delle proiezioni e alla densità di V_{∞} in V e, di conseguenza, in H .

Fissiamo ora n e consideriamo il problema di trovare u_{n} ∈ H^{2}(0, T; V_{n}) tale che

⟨u′′_{n}(t), v⟩ + ⟨Au_{n}(t), v⟩ = ⟨f(t), v⟩  ∀ v ∈ V_{n}  q.o. in (0, T)  (9)
u_{n}(0) = u_{n}^{0},  u′_{n}(0) = u_{n}^{1}.  (10)

Per vedere che tale problema ha una e una sola soluzione, basta scrivere la (9) in termini di una base (w_{1}, …, w_{m}) di V_{n} , ove m = dim V_{n} . Detta y_{i} la i − esima componente di u_{n} ripetto alla base considerata, la (9) si riscrive nella forma

∑_{j=1}^{m} b_{ij} y′′_{j}(t) + ∑_{j=1}^{m} a_{ij} y_{j}(t) = f_{i}(t), i = 1, …, m

ove abbiamo posto

b_{ij} = ⟨w_{j}, w_{i}⟩ = (w_{j}, w_{i}),  a_{ij} = ⟨Aw_{j}, w_{i}⟩  e  f_{i}(t) = ⟨f(t), w_{i}⟩.

La (9) consiste dunque in un sistema di m equazioni differenziali ordinarie lineari del secondo ordine, sistema che è riconducibile alla forma normale in quanto la matrice (b_{ij}) è invertibile data l’indipendenza dei w_{i} . Dalla stima |f_{i}(t)| ≤ ∥f(t)∥_{∗}∥w_{i}∥ vediamo inoltre che f_{i} ∈ L^{2}(0, T) per ogni i. Siccome le (10) si traducono immediatamente in condizioni di Cauchy per le y_{i} , concludiamo che il problema approssimato ha una e una sola soluzione con la regolarità voluta.

Il secondo passo consiste nella deduzione corretta e non solo formale di stime a priori. Per far questo scegliamo v = u′_{n}(t) nella (9) e integriamo sul generico intervallo (0, t) con 0 < t ≤ T . Abbiamo

∫_{0}^{t}⟨u′′_{n}(s), u′_{n}(s)⟩ ds + ∫_{0}^{t}⟨Au_{n}(s), u′_{n}(s)⟩ ds
= ∫_{0}^{t}⟨f_{1}(s), u′_{n}(s)⟩ ds + ∫_{0}^{t}⟨f_{2}(s), u′_{n}(s)⟩ ds  (11)

e possiamo dedurre una stima trasformando, maggiorando e minorando i vari integrali. Si noti che la regolarità è sufficiente perché i calcoli siano giustificati. Abbiamo

∫_{0}^{t}⟨u′′_{n}(s), u′_{n}(s)⟩ ds = \frac{1}{2}|u′_{n}(t)|^{2} − \frac{1}{2}|u_{n}^{1}|^{2}

∫_{0}^{t}⟨Au_{n}(s), u′_{n}(s)⟩ ds = \frac{1}{2}⟨Au_{n}(t), u_{n}(t)⟩ − \frac{1}{2}⟨Au_{n}^{0}, u_{n}^{0}⟩ ≥ \frac{α}{2}∥u_{n}(t)∥^{2} − \frac{M}{2} ∥u_{n}^{0}∥^{2}

∫_{0}^{t}⟨f_{1}(s), u′_{n}(s)⟩ ds = ∫_{0}^{t}(f_{1}(s), u′_{n}(s)) ds ≤ \frac{1}{2} ∫_{0}^{T} |f_{1}(s)|^{2} ds + \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} |u′_{n}(s)|^{2} ds

∫_{0}^{t}⟨f_{2}(s), u′_{n}(s)⟩ ds = − ∫_{0}^{t}⟨f′_{2}(s), u_{n}(s)⟩ ds + ⟨f_{2}(t), u_{n}(t)⟩ − ⟨f_{2}(0), u_{n}^{0}⟩

≤ \frac{1}{2} ∫_{0}^{T} ∥f′_{2}(s)∥_{∗}^{2} ds + \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} ∥u_{n}(s)∥^{2} ds + \frac{α}{4}∥u_{n}(t)∥^{2} + \frac{1}{α}∥f_{2}(t)∥_{∗}^{2} + \frac{1}{2}∥u_{n}^{0}∥^{2} + \frac{1}{2}∥f_{2}(0)∥_{∗}^{2}

≤ \frac{1}{2} ∥f_{2}∥_{H^{1}(0,T;V′)}^{2} ds + \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} ∥u_{n}(s)∥^{2} ds + \frac{α}{4}∥u_{n}(t)∥^{2}

+\frac{1}{2}∥u_{n}^{0}∥^{2} + (\frac{1}{α} + \frac{1}{2}) ∥f_{2}∥_{C^{0}([0,T];V′)}^{2} .

Ora la stima ∥f_{2}∥_{C^{0}([0,T];V′)} ≤ c ∥f_{2}∥_{H^{1}(0,T;V′)} , ove c dipende solo da T , consente di sostituire la norma di f_{2} in C^{0}([0, T]; V′) nell’ultima disuguaglianza. D’altra parte possiamo usare le (8) e sostanzialmente sostituire le norme ∥u^{0}∥ e |u^{1}| alle norme dei dati approssimanti. Combinando allora tutto ciò con la (11), otteniamo per ogni t

∥u_{n}(t)∥^{2} + |u′_{n}(t)|^{2}
≤ c (∥u^{0}∥^{2} + |u^{1}|^{2} + ∥f_{1}∥_{L^{2}(0,T;H)}^{2} + ∥f_{2}∥_{H^{1}(0,T;V′)}^{2})
+ c ∫_{0}^{t}(∥u_{n}(s)∥^{2} + |u′_{n}(s)|^{2}) ds

con una nuova c che dipende solo da α, M e T e il Lemma di Gronwall fornisce (con una nuova costante che dipende solo dagli stessi tre parametri)

∥u_{n}(t)∥^{2} + |u′_{n}(t)|^{2}
≤ c (∥u^{0}∥^{2} + |u^{1}|^{2} + ∥f_{1}∥_{L^{2}(0,T;H)}^{2} + ∥f_{2}∥_{H^{1}(0,T;V′)}^{2})

ove la nuova c dipende solo da α, M e T . Dall’arbitrarietà di t deduciamo

∥u_{n}∥_{L^{∞}(0,T;V)}^{2} + ∥u′_{n}∥_{L^{∞}(0,T;H)}^{2}
≤ c (∥u^{0}∥^{2} + |u^{1}|^{2} + ∥f_{1}∥_{L^{2}(0,T;H)}^{2} + ∥f_{2}∥_{H^{1}(0,T;V′)}^{2}) .  (12)

Nell’ultimo passo estraiamo sottosuccessioni convergenti e passiamo al limite. Dalla stima a priori (12) deduciamo

u_{n} ⇀^{∗} u  in L^{∞}(0, T; V)
u′_{n} ⇀^{∗} w  in L^{∞}(0, T; H)

per certe u ∈ L^{∞}(0, T; V) e w ∈ L^{∞}(0, T; H) e almeno per certi indici estratti (ma non vogliamo appesantire le notazioni). Dimostriamo che u risolve il problema (1) e (2) nella versione più debole (7). Dato che w = u′ come si vede subito, le prime due delle (7) sono automaticamente soddisfatte. Abbiamo inoltre

u_{n} ⇀ u in H^{1}(0, T; H)  da cui  u_{n} ⇀ u in C^{0}([0, T]; H)

e quindi anche

u_{n}(0) ⇀ u(0) in H

dato che, per ogni z ∈ H fissato, il funzionale

v ↦ (v(0), z)

è lineare e continuo su C^{0}([0, T]; H) . Ricordando che u_{n}(0) = u_{n}^{0} e che u_{n}^{0} → u^{0} in H , deduciamo che u(0) = u^{0} , cioè la prima delle (2).

Per dimostrare che u verifica la (1) (che implica l’ultima delle (7)) e la seconda delle (2), osserviamo che la convergenza debole* di {u_{n}} in L^{∞}(0, T; V) e il fatto che A è lineare e continuo da V in V′ implicano

Au_{n} ⇀^{∗} Au in L^{∞}(0, T; V′).

Fissiamo ora m ad arbitrio e, per n ≥ m, prendiamo z ∈ V_{m} e φ ∈ C^{1}([0, T]) nulla in T . Ricordato che V_{m} ⊆ V_{n} possiamo scegliere v = zφ′(t) nella (9), sommare su (0, T) e integrare per parti una volta. Usando la seconda delle (10) otteniamo

∫_{0}^{T} ⟨f(t) − Au_{n}(t), zφ(t)⟩ dt = − ∫_{0}^{T} ⟨u′_{n}(t), zφ′(t)⟩ dt − ⟨u_{n}^{1}, zφ(0)⟩.

Siccome n ≥ m è arbitrario possiamo passare al limite usando le convergenze deboli* e l’ipotesi u_{n}^{1} → u^{1} in H e dedurre

∫_{0}^{T} ⟨f(t) − Au(t), zφ(t)⟩ dt = − ∫_{0}^{T} ⟨u′(t), zφ′(t)⟩ dt − ⟨u^{1}, zφ(0)⟩.  (13)

Questa equazione vale dunque per ogni φ ∈ C^{1}([0, T]) nulla in T e per ogni z appartenente a uno dei V_{m} , cioè per ogni z dell’unione V_{∞} . Se poi z ∈ V , scelta una successione {z_{k}} di elementi di V_{∞} convergente a z in V e passando al limite, vediamo immediatamente che la (13) vale anche per ogni z ∈ V . In particolare, per ogni z ∈ V e φ ∈ D(0, T) , abbiamo

∫_{0}^{T} ⟨f(t) − Au(t), zφ(t)⟩ dt = − ∫_{0}^{T} ⟨u′(t), zφ′(t)⟩ dt

per cui f − Au è la derivata di u′ nel senso delle distribuzioni a valori in V′ e la (1) è completamente dimostrata. In particolare u′′ ∈ H^{2}(0, T; V′) e anche l’ultima delle (7) è provata. Riprendendo ora la (13) con φ ∈ C^{1}([0, T]) nulla in T , tenendo conto dell’ulteriore regolarità osservata per u e integrando per parti, otteniamo

∫_{0}^{T} ⟨f(t) − Au(t), zφ(t)⟩ dt = ∫_{0}^{T} ⟨u′′(t), zφ′(t)⟩ dt + ⟨u′(0) − u^{1}, zφ(0)⟩

e utilizzando la (1) oramai stabilita deduciamo

⟨u′(0) − u^{1}, zφ(0)⟩

per ogni z ∈ V e per ogni φ nelle condizioni dette. Scegliendo ad esempio φ(t) = T − t, vediamo immediatamente che vale la seconda delle (2) e la dimostrazione dell’esistenza di una soluzione verificante le (7) nelle condizioni (3) e (4) è conclusa.

3. Un risultato intermedio. Ora dimostriamo l’esistenza di una soluzione verificante le (5), ma in ipotesi restrittive sui dati. Sono più che sufficienti le seguenti

u^{0}, u^{1} ∈ V,  Au^{0} ∈ H  e  f ∈ H^{1}(0, T; H).  (14)

Consideriamo infatti il problema di Cauchy

w′′(t) + Aw(t) = f′(t) q.o. in (0, T)
w(0) = u^{1}, w′(0) = f(0) − Au^{0}.

Siccome f′ ∈ L^{2}(0, T; H) , u^{1} ∈ V e f(0) − Au^{0} ∈ H , i dati sono nelle ipotesi (3) e (4) e, per la prima parte della dimostrazione, il problema considerato ha almeno una soluzione w verificante le (7), cioè

w ∈ L^{∞}(0, T; V),  w′ ∈ L^{∞}(0, T; H)  e  w′′ ∈ L^{2}(0, T; V′).

Consideriamo allora la funzione

u(t) = u^{0} + ∫_{0}^{t} w(s) ds, t ∈ [0, T]

e dimostriamo che essa è la soluzione di (1) e (2) nelle condizioni (5). Innanzi tutto le (5) sono banalmente soddisfatte e vale la prima delle (2). Inoltre u′ = w e anche la seconda delle (2) segue. Per quasi ogni t ∈ (0, T) abbiamo poi

u′′(t) + Au(t) = w′(t) + Au^{0} + ∫_{0}^{t} Aw(s) ds
= w′(0) + ∫_{0}^{t} w′′(s) ds + Au^{0} + ∫_{0}^{t} Aw(s) ds
= w′(0) + Au^{0} + ∫_{0}^{t}(w′′(s) + Aw(s)) ds = f(0) + ∫_{0}^{t} f′(s) ds = f(t).

Dunque u è la soluzione cercata.

4. Il risultato di esistenza. Dimostriamo infine che, nelle ipotesi (3) e (4), esiste una soluzione del problema (1) e (2) verificante le (5). Costruiamo successioni di dati approssimanti u_{n}^{0} , u_{n}^{1} , f_{n}^{1} e f_{n}^{2} nelle condizioni precedenti di maggior regolarità e convergenti, nelle norme corrette, ai dati del problema da risolvere, cioè

f_{n}^{1} ∈ H^{1}(0, T; H) ∀ n  e  f_{n}^{1} → f_{1} in L^{2}(0, T; H)
f_{n}^{2} ∈ H^{1}(0, T; H) ∀ n  e  f_{n}^{2} → f_{2} in H^{1}(0, T; V′)
u_{n}^{0} ∈ V, Au_{n}^{0} ∈ H ∀ n  e  u_{n}^{0} → u^{0} in V
u_{n}^{1} ∈ V ∀ n  e  u_{n}^{1} → u^{1} in H.

Per costruire i dati iniziali u_{n}^{0} e u_{n}^{1} basta risolvere in V il problema V − ellittico

w_{n} + \frac{1}{n}Aw_{n} = w

con w = u^{0} e w = u^{1} rispettivamente. Lo stesso problema con w = f_{n}^{2}(t) fornisce una scelta possibile per f_{n}^{2}(t) . Per quanto riguarda invece f_{n}^{1} , basta una regolarizzazione di f_{1} in tempo, e ciò può essere fatto per prolungamento e convoluzione.

Consideriamo ora il problema di Cauchy (1) e (2) relativamente ai dati approssimati e denotiamo con u_{n} la sua (unica) soluzione verificante le condizioni di regolarità (5). Questa esiste per il passo precedente. Ricordato che la stima (6) vale nelle ipotesi (3), (4) e (5) su dati e soluzione e applicatala alle differenze u_{n} − u_{m} , otteniamo

∥u_{n} − u_{m}∥_{C^{0}([0,T];V)}^{2} + ∥u′_{n} − u′_{m}∥_{C^{0}([0,T];H)}^{2}
≤ c (∥u_{n}^{0} − u_{m}^{0}∥^{2} + |u_{n}^{1} − u_{m}^{1}|^{2} + ∥f_{n}^{1} − f_{m}^{1}∥_{L^{2}(0,T;H)}^{2} + ∥f_{n}^{2} − f_{m}^{2}∥_{H^{1}(0,T;V′)}^{2})

e dalle convergenze dei dati approssimanti deduciamo che le successioni {u_{n}} e {u′_{n}} sono di Cauchy in C^{0}([0, T]; V) e in C^{0}([0, T]; H) rispettivamente. Dunque esse convergono in tali spazi e, chiaramente, il limite della seconda è la derivata del limite della prima. Abbiamo dunque trovato u verificante le (5) tale che

u_{n} → u in C^{0}([0, T]; V)  e  u′_{n} → u′ in C^{0}([0, T]; H).

Seguono immediatamente le (2) e, con metodi oramai abituali, verifichiamo la (1). Sia v ∈ D(0, T; V) . Allora abbiamo

∫_{0}^{T} ⟨f_{n}^{1}(t) + f_{n}^{2}(t) − Au_{n}(t), v(t)⟩ dt = − ∫_{0}^{T} ⟨u′_{n}(t), v′(t)⟩ dt

e passando al limite otteniamo

∫_{0}^{T} ⟨f_{1}(t) + f_{2}(t) − Au(t), v(t)⟩ dt = − ∫_{0}^{T} ⟨u′(t), v′(t)⟩ dt

cioè la (1) nel senso delle distribuzioni a valori in V′ .