Sommario di teoria della misura e dell’integrazione

1. Algebre di sottoinsiemi e misure

Definizione 1.1. Un insieme M è un’algebra di sottoinsiemi di un dato insieme Ω quando valgono le condizioni (sovrabbondanti) seguenti:

ogni elemento di M è un sottoinsieme di Ω

Ω ∈ M

da A, B ∈ M segue che A ∪ B, A ∩ B, A \ B ∈ M.

L’algebra M è detta σ−algebra se, in aggiunta, valgono la condizione

da A_{n} ∈ M per n = 1, 2, … segue ⋃_{n=1}^{∞} A_{n} ∈ M

e (di conseguenza) l’analoga per l’intersezione.

Definizione 1.2. Sia M un’algebra di sottoinsiemi di Ω . Una funzione μ definita su M a valori in [0, +∞] è detta σ−additiva quando

μ( ⋃_{n=1}^{∞} A_{n}) = ∑_{n=1}^{∞} μ(A_{n})

per ogni successione {A_{n}} di elementi di M a due a due disgiunti tali che ∪_{n=1}^{∞}A_{n} ∈ M. Osservato che questa condizione implica che μ(∅) vale 0 oppure +∞, chiamiamo misura (assoluta) su M una funzione μ : M → [0, +∞] σ−additiva e tale che μ(∅) = 0 .

Proposizione 1.3. Siano M un’algebra di sottoinsiemi di Ω e μ una misura su M. Allora valgono le proprietà elementari seguenti:

\begin{matrix}μ(A ∪ B) + μ(A ∩ B) = μ(A) + μ(B)  ∀ A, B ∈ M \\ μ(A) ≤ μ(B)  se A, B ∈ M e A ⊆ B. \end{matrix}

Valgono inoltre le proprietà seguenti, dette di continuità della misura μ: se A_{n} ∈ M (n = 1, 2, …) e A ∈ M, allora

μ(A) = lim_{n→∞} μ(A_{n}) se {A_{n}} cresce e A = ⋃_{n=1}^{∞} A_{n}

μ(A) = lim_{n→∞} μ(A_{n}) se {A_{n}} decresce, A = ⋂_{n=1}^{∞} A_{n} e μ(A_{1}) < +∞.

Definizione 1.4. Sia M un’algebra di sottoinsiemi di Ω . Una misura μ su M è detta finita quando μ(Ω) < +∞, mentre μ è detta σ−finita quando esiste una successione {A_{n}} di elementi di M tali che Ω = ∪_{n=1}^{∞}A_{n} e μ(A_{n}) < +∞ per ogni n.

Definizione 1.5. Uno spazio di misura è una terna (Ω, M, μ) dove M è una σ−algebra di sottoinsiemi di Ω e μ è una misura su M.

Definizione 1.6. Sia (Ω, M, μ) uno spazio di misura. Un sottoinsieme A ⊆ Ω è detto μ−trascurabile quando esiste A′ ∈ M verificante

A′ ⊇ A e μ(A′) = 0 .

Lo spazio di misura è detto completo quando M contiene anche tutti i sottoinsiemi μ−trascurabili di Ω .

2. Estensioni di algebre di sottoinsiemi e di misure

Teorema 2.1. Se F è una famiglia di sottoinsiemi di Ω , allora esiste ed è unica la minima σ−algebra di sottoinsiemi di Ω che include F . Essa è detta σ−algebra generata da F ed è denotata con σ(F) .

Esempio 2.2. Se Ω è uno spazio topologico, l’algebra di Borel di Ω è la σ−algebra B(Ω) generata dalla famiglia degli aperti (o, equivalentemente, dei chiusi) di Ω . Se Ω ⊆ IR^{n} , si intende che la nozione di algebra di Borel venga data a partire dalla topologia euclidea di Ω .

Teorema 2.3 (di Carathéodory). Se M è un’algebra di sottoinsiemi di Ω e μ è una misura σ−finita su M, allora esiste una e una sola misura μ̃ definita su σ(M) che estende μ, cioè tale che μ̃(A) = μ(A) per ogni A ∈ M, e anche μ̃ è σ−finita.

Teorema 2.4. Sia (Ω, M, μ) uno spazio di misura e sia M̃ la σ−algebra generata dalla famiglia costituita da tutti gli elementi di M e da tutti i sottoinsiemi μ−trascurabili di Ω . Allora esiste una e una sola misura μ̃ definita su M̃ che estende μ. Inoltre lo spazio di misura (Ω, M̃, μ̃) è completo e M̃ e μ̃ godono delle proprietà seguenti:

un sottoinsieme A di Ω appartiene a M̃ se e solo se

esiste B ∈ M tale che B ⊆ A e A \ B sia μ−trascurabile; per A e B in tali condizioni risulta μ̃(A) = μ(B).

Esempio 2.5. Sia Ω = IR^{n} . Chiamiamo rettangoli n−dimensionali i prodotti cartesiani di n intervalli (limitati o meno) e pluritettangoli n−dimensionali le unioni finite di rettangoli n−dimensionali. I plurirerettangoli n−dimensionali formano un’algebra P_{n} e risulta σ(P_{n}) = B(IR^{n}) . Denotata con V_{n} : P_{n} → [0, +∞] la misura n−dimensionale elementare, che è σ−finita, possiamo applicare i due teoremi precedenti e estendere V_{n} dapprima a B(IR^{n}) e successivamente alla σ−algebra generata dall’aggiunta degli insiemi trascurabili. Otteniamo uno spazio di misura completo che denotiamo con (IR^{n}, L(IR^{n}), L^{n}) . Gli elementi di L(IR^{n}) si chiamano insiemi misurabili secondo Lebesgue e L^{n} è detta misura di Lebesgue n−dimensionale.

Esempio 2.6. Sia Ω un insieme qualunque. Su tutta la famiglia 2^{Ω} dei sottoinsiemi di Ω definiamo la funzione # come segue:

#A = n se A ha n elementi (n = 0, 1, 2, …) ; #A = +∞ se A è infinito.

Allora (Ω, 2^{Ω}, #) è uno spazio di misura completo e la misura # è detta “misura che conta i punti di Ω ”. Tale spazio è σ−finito se e solo se Ω è al più numerabile.

3. Funzioni misurabili

Definizione 3.1. Sia M una σ−algebra di sottoinsiemi di Ω e sia f : Ω → IR una funzione. Allora f è detta M−misurabile quando f^{−1}(B) ∈ M per ogni B ∈ B(IR) .

Proposizione 3.2. Siano M una σ−algebra di sottoinsiemi di Ω e B′ una sottofamiglia di B(IR) tale che σ(B′) = B(IR) . Allora una funzione f : Ω → IR è M−misurabile se e solo se f^{−1}(B) ∈ M per ogni B ∈ B′ .

In particolare f è M−misurabile se e solo se f^{−1}(B) ∈ M per ogni B della forma B = (c, +∞) con c ∈ IR .

Definizione 3.3. Se E è uno spazio topologico, una funzione f : E → IR è detta di Borel quando è B(E)−misurabile.

Teorema 3.4. Sia M una σ−algebra di sottoinsiemi di Ω . Allora l’insieme delle funzioni M−misurabili è uno spazio vettoriale e il prodotto di due funzioni f, g : Ω → IR entrambe M−misurabili è M−misurabile. Inoltre, se f : Ω → IR è M−misurabile, E ⊆ IR contiene l’immagine di f e g : E → IR è di Borel, allora è M−misurabile anche g ∘ f . Infine, se {f_{n}} è una successione di funzioni M−misurabili convergente puntualmente alla funzione f , anche f è M−misurabile.

4. Integrali

Definizione 4.1. Sia Ω un insieme non vuoto e A ⊆ Ω . La funzione caratteristica di A è la funzione χ_{A} : Ω → IR che vale 1 in A e 0 in Ω \ A.

Definizione 4.2. Sia (Ω, M, μ) uno spazio di misura. Una funzione f : Ω → IR è detta μ−semplice quando è M−misurabile, assume solo un numero finito di valori e la controimmagine A di ogni valore non nullo assunto da f verifica μ(A) < +∞.

L’insieme delle funzioni μ−semplici è dunque lo spazio vettoriale generato dalle funzioni caratteristiche χ_{A} di tutti gli insiemi A ∈ M tali che μ(A) < +∞.

Definizione 4.3. Sia (Ω, M, μ) uno spazio di misura. L’integrale delle funzioni μ−semplici rispetto alla misura μ è l’unico funzionale lineare L sullo spazio vettoriale di tali funzioni che verifica la condizione

L(χ_{A}) = μ(A)

per ogni A ∈ M tale che μ(A) < +∞. Naturalmente si usa la notazione

∫_{Ω} f dμ

anziché L(f) .

Definizione 4.4. Se (Ω, M, μ) è uno spazio di misura e f : Ω → IR è una funzione M−misurabile non negativa, si definisce l’integrale di f ponendo

∫_{Ω} f dμ = sup{∫_{Ω} g dμ : g μ−semplice, g ≤ f}

e si dice che f è μ−integrabile se ha integrale finito.

Una funzione M−misurabile f : Ω → IR è poi detta μ−integrabile quando sono μ−integrabili le due funzioni f^{+} e f^{−} . In tali condizioni si pone

∫_{Ω} f dμ = ∫_{Ω} f^{+} dμ − ∫_{Ω} f^{−} dμ.

Teorema 4.5. Sia (Ω, M, μ) uno spazio di misura. Allora l’insieme delle funzioni μ−integrabili è uno spazio vettoriale e l’integrale è un funzionale lineare su tale spazio.

Definizione 4.6. Sia (Ω, M, μ) uno spazio di misura. Si dice che una proprietà P (x) del generico punto x ∈ Ω vale μ−q.o., oppure per μ−quasi ogni x ∈ Ω , quando l’insieme Ω_{P} dei punti x ∈ Ω per cui P (x) è falsa appartiene a M e verifica μ(Ω_{P}) = 0 .

Osservazione 4.7. La definizione precedente consente di parlare di integrale di una funzione f anche quando f è definita solo μ−q.o., cioè f è definita solo su un sottoinsieme A ∈ M tale che μ(Ω \ A) = 0 . In tali condizioni si rimpiazza f con la funzione (automaticamente misurabile se f lo era) ottenuta prolungando f con il valore 0 nei punti di Ω \ A. Se lo spazio di misura è anche completo, si può prendere addirittura un prolungamento qualunque grazie al risultato enunciato di seguito. In caso contrario, invece, non tutti i prolungamenti di f risultano misurabili.

Proposizione 4.8. Sia (Ω, M, μ) uno spazio di misura. Se una funzione M−misurabile f verifica f(x) = 0 μ−q.o., allora f è μ−integrabile e il suo integrale è nullo.

In particolare, se due funzioni sono uguali μ−q.o., la μ−integrabilità dell’una implica quella dell’altra e l’uguaglianza dei corrispondenti integrali.

Proposizione 4.9. Sia (Ω, M, μ) uno spazio di misura. Perché una funzione integrabile f sia nulla μ−q.o. è necessario e sufficiente che l’integrale di |f| sia nullo.

Teorema 4.10. Se (Ω, M, μ) è uno spazio di misura e f : Ω → IR è una funzione M−misurabile, allora f è μ−integrabile se e solo se esiste una funzione g μ−integrabile tale che |f(x)| ≤ g(x) per μ−quasi ogni x ∈ Ω . In particolare f è μ−integrabile se e solo se |f| è μ−integrabile.

Corollario 4.11. Sia (Ω, M, μ) uno spazio di misura. Se f è μ−integrabile e se A ∈ M, allora anche fχ_{A} è μ−integrabile. Si definisce allora l’integrale di f su A ponendo

∫_{A} f dμ = ∫_{Ω} fχ_{A} dμ.

Teorema 4.12. Siano (Ω, M, μ) uno spazio di misura e f una funzione μ−integrabile non negativa. Allora la formula

ν(A) = ∫_{A} f dμ, A ∈ M,

definisce una misura finita su M. Valgono, in particolare, le proprietà di σ−additività e di continuità delle misure.

Osservazione 4.13. Se f ha segno qualunque, il risultato si applica comunque alle funzioni f^{±} . Vediamo allora che la formula precedente definisce una funzione su M per la quale ancora valgono le proprietà di σ−additività e di continuità.

Esempi 4.14. Se lo spazio di misura è (IR^{n}, L(IR^{n}), L^{n}) , l’integrale corrispondente è detto integrale di Lebesgue. Si usa di solito la notazione

∫_{IR_{n}} f(x) dx.

Se invece lo spazio di misura è (Ω, 2^{Ω}, #) , cioè lo spazio ottenuto prendendo la misura che conta i punti, l’integrale di una funzione f integrabile si chiama anche somma di f e viene denotato di solito con il simbolo

∑_{x∈Ω} f(x).

Usando i risultati generali sull’integrale, si dimostra facilmente che condizione necessaria perché una funzione f sia integrabile è che l’insieme S(f) dei punti x tali che f(x) ≠ 0 sia al più numerabile. Inoltre, data una funzione f tale che S(f) sia infinito e presentato S(f) come l’insieme dei punti distinti x_{n} (n = 1, 2, …) , consideriamo la serie

∑_{n=1}^{∞} f(x_{n}).

Allora f è integrabile se e solo se tale serie è assolutamente convergente e, in caso di integrabilità, la somma della serie considerata e l’integrale di f hanno lo stesso valore.

5. Teoremi di passaggio al limite

Teorema 5.1 (di Lebesgue). Siano (Ω, M, μ) uno spazio di misura e f_{n} : Ω → IR (n = 1, 2, …) funzioni μ−integrabili e si supponga che il limite

f(x) = lim_{n→∞} f_{n}(x)

esista per μ−quasi ogni x ∈ Ω . Se esiste una funzione μ−integrabile g tale che

|f_{n}(x)| ≤ g(x) ∀n μ−q.o.

allora |f(x)| < +∞ μ−q.o., f è μ−integrabile e valgono le relazioni

lim_{n→∞} ∫_{Ω} |f_{n} − f| dμ = 0 e lim_{n→∞} ∫_{Ω} f_{n} dμ = ∫_{Ω} f dμ.

Teorema 5.2 (di Beppo Levi). Siano (Ω, M, μ) uno spazio di misura e f_{n} : Ω → IR (n = 1, 2, …) funzioni μ−integrabili. Si supponga che la successione {f_{n}(x)} sia non decrescente per μ−quasi ogni x ∈ Ω e si definisca

f(x) = lim_{n→∞} f_{n}(x) μ−q.o.

Allora condizione necessaria e sufficiente perché f(x) < +∞ per μ−quasi ogni x ∈ Ω e f sia μ−integrabile è che la successione degli integrali delle f_{n} sia limitata. In tali condizioni valgono anche le conclusioni del Teorema di Lebesgue.

Corollario 5.3. Siano (Ω, M, μ) uno spazio di misura e g_{n} : Ω → IR (n = 1, 2, …) funzioni μ−integrabili. Si supponga g_{n}(x) ≥ 0 per ogni n e per μ−quasi ogni x ∈ Ω e si definisca

f(x) = ∑_{n=1}^{∞} g_{n}(x) μ−q.o.

Allora condizione necessaria e sufficiente perché f(x) < +∞ per μ−quasi ogni x ∈ Ω e f sia μ−integrabile è che la serie degli integrali delle g_{n} converga. In tali condizioni si ha inoltre

∫_{Ω} f dμ = ∑_{n=1}^{∞} ∫_{Ω} g_{n} dμ.

Teorema 5.4 (Lemma di Fatou). Siano (Ω, M, μ) uno spazio di misura, f_{n} : Ω → IR (n = 1, 2, …) e g : Ω → IR funzioni μ−integrabili e c un numero reale. Si supponga che per ogni n risulti

f_{n}(x) ≥ g(x) μ−q.o.  e  ∫_{Ω} f_{n} dμ ≤ c

e si ponga

f(x) = lim inf_{n→∞} f_{n}(x) μ−q.o.

Allora il valore f(x) è finito per μ−quasi ogni x ∈ Ω , la funzione f è μ−integrabile e vale la disuguaglianza

∫_{Ω} f dμ ≤ lim inf_{n→∞} ∫_{Ω} f_{n} dμ.

Osservazione 5.5. Applicando a −f_{n} il risultato precedente, se ne deduce uno analogo, l’ipotesi e la tesi del quale si ottengono sostituendo i minimi limiti e le disuguaglianze con i massimi limiti e con le disuguaglianze opposte rispettivamente.

6. Prodotti di misure

Teorema 6.1. Siano (Ω, M, μ) e (Γ, N , ν) due spazi di misure σ−finiti. Denotiamo con M ⊗ N la σ−algebra di sottoinsiemi di Ω × Γ generata dalla famiglia di tutti i prodotti A × B con A ∈ M e B ∈ N . Allora esiste una e una sola misura σ−finita λ su M ⊗ N tale che

λ(A × B) = μ(A) ν(B) ∀ A ∈ M ∀ B ∈ N .

Definizione 6.2. Nelle condizioni del risultato precedente, la misura λ si chiama prodotto delle misure μ e ν e si denota con μ ⊗ ν . Il corrispondente spazio di misura si chiama prodotto degli spazi di misura dati.

Teorema 6.3 (di Fubini–Tonelli). Siano (Ω, M, μ) e (Γ, N , ν) due spazi di misura σ−finiti e f una funzione (M ⊗ N)−misurabile e non negativa. Allora f è (μ ⊗ ν)−integrabile se e solo se valgono le condizioni

per ν−quasi ogni y ∈ Γ è μ−integrabile in Ω la funzione x ↦ f(x, y)

la funzione y ↦ ∫_{Ω} f(x, y) dμ(x) è ν−integrabile in Γ

o, equivalentemente, se e solo se valgono le condizioni ottenute scambiando i ruoli di μ e di ν . In caso di integrabilità valgono poi le formule

∫_{Ω×Γ} f d(μ ⊗ ν) = ∫_{Γ}(∫_{Ω} f(x, y) dμ(x)) dν(y) = ∫_{Ω}(∫_{Γ} f(x, y) dν(y)) dμ(x).

Osservazione 6.4. La formula finale vale anche se f ha segno qualunque, purché il teorema possa essere applicato alle due funzioni f^{±} . Ciò è sicuramente vero se la funzione f è (μ ⊗ ν)−integrabile.

7. La misura di Hausdorff

Definizione 7.1. Sia B ∈ B(IR^{n}) . Se δ ∈ (0, +∞] , una successione {A_{k}} di elementi di sottoinsiemi di IR^{n} è un δ−ricoprimento di B quando

B ⊆ ⋃_{k=1}^{∞} A_{k} e diam A_{k} < δ ∀ k.

Se r ≥ 0 (reale) poniamo

H_{δ}^{r}(B) = inf{∑_{k=1}^{∞}(diam A_{k})^{r}},

l’estremo inferiore essendo preso al variare di {A_{k}} fra tutti i possibili δ−ricoprimenti di B , e definiamo la misura di Hausdorff r−dimensionale di B come

H^{r}(B) = lim_{δ→0^{+}} H_{δ}^{r}(B) = sup_{δ>0} H_{δ}^{r}(B).

Teorema 7.2. Per ogni r ≥ 0 la funzione H^{r} è una misura su B(IR^{n}) . Inoltre H^{0} è la misura che conta i punti, H^{r} è identicamente nulla se r > n e H^{n} è legata alla misura L^{n} di Lebesgue n−dimensionale dalla formula

H^{n}(B) = \frac{2^{n}}{ω_{n}} L^{n}(B) ∀ B ∈ B(IR^{n})

ove ω_{n} è la misura di Lebesgue della palla unitaria di IR^{n} . In particolare ω_{1} = 2 , ω_{2} = π e ω_{3} = 4π/3 . Vale infine l’implicazione

da H^{r}(B) > 0 e 0 ≤ s < r segue H^{s}(B) = +∞.

Osservazione 7.3. La definizione di H^{r}(B) prende senso anche quando B è un sottoinsieme qualunque di IR^{n} e, di fatto, si usa generalizzare in questo senso, conservando comunque il nome “misura di Hausdorff”. Tale definizione estesa, tuttavia, non porta a una funzione σ−additiva, per cui il nome “misura” è un po’ improprio. Ciò che si ottiene è comunque una “misura esterna”.

Osservazione 7.4. Le misure H^{1} e H^{2} generalizzano le nozioni di lunghezza e di area e le corrispondenti teorie dell’integrazione estendono le nozioni di integrali di linea e di superficie. L’ultima affermazione del teorema implica, in particolare, che un boreliano B di IR^{2} che ha area positiva e finita ha necessariamente lunghezza infinita e volume nullo.