Induzione, medie, disuguaglianze

1. Notazioni e richiami

Perché queste pagine abbiamo una certa dose di autosufficienza è opportuno fissare alcune notazioni e richiamare alcune nozioni e alcuni risultati che utilizzeremo.

1.1. Insiemi numerici, minimo e massimo. Denotiamo con ℤ l’insieme dei numeri interi e con ℕ l’insieme dei numeri naturali, cioè degli interi non negativi. Denotiamo poi con ℝ l’insieme dei numeri reali.

Se A è un sottoinsieme di ℝ, diciamo che un numero reale m è il minimo (rispettivamente il massimo) di A se m ∈ A e m ≤ x (rispettivamente m ≥ x) per ogni x ∈ A. Il minimo e il massimo di A esistono senz’altro quando A è non vuoto e possiede un numero finito di elementi, mentre possono esistere o meno se A è infinito. In ogni caso, quando esistono, essi sono unici e vengono denotati con min A e max A rispettivamente.

1.2. Proposizioni. Con il termine proposizione si intende una frase p che è vera o falsa. Questa affermazione è vaga, ma in questa sede ci si deve accontentare. Essa significa innanzi tutto che ha senso chiedersi se p è vera o falsa (in una situazione di linguaggio ordinario p non può essere, ad esempio, un’esclamazione o una domanda; in una situazione matematica p deve avere senso compiuto, ad esempio ogni parentesi aperta deve essere prima o poi chiusa). In secondo luogo, la risposta alla domanda “ p è vera o falsa?” deve essere univoca e non dipendere da circostanze particolari, ad esempio da chi risponde. Notiamo che non si richiede di sapere se la risposta è “sì” oppure “no” ma solo di sapere che la risposta è “sì” oppure “no”.

Ad esempio è una proposizione la seguente: Mario (una persona precisa) ieri è andato al mare. Carlo può non saper se Mario è andato al mare o meno, ma è chiaro che Mario è andato al mare oppure no, e il fatto è oggettivo.

Nel caso di frasi espresse in linguaggio matematico abbiamo proposizioni quando non compaiono parametri liberi, cioè suscettibili di assumere diversi valori, che possono condizionare la risposta alla domanda.

Ad esempio 2 ≤ 3 è una proposizione (vera), mentre x ≤ 3 non lo è, a causa della presenza del parametro x. Tuttavia ogni scelta concreta di x porta a una proposizione (talora vera, talora falsa). Infine la frase “ogni numero reale x ≥ 1 verifica x ≤ 2 ” è una proposizione (falsa) anche se contiene il parametro x, dato che x, quantificato dalla presenza di “ogni”, non può essere sostituito da valori precisi.

Concludiamo questa sezione con un richiamo sul significato di implicazione. Se p e q sono due proposizioni, la proposizione “ p implica q ” è falsa se e solo se p è vera e q è falsa. In particolare ogni implicazione costruita con due proposizioni false è vera.

1.3. Disuguaglianze elementari. Il lettore è certamente abituato a usare le disuguaglianze, sia strette (>, <) sia larghe (≥, ≤) , nell’ambito dei numeri reali. In questa sede ci limitiamo a ribadire qualche implicazione di uso particolarmente frequente, considerando, per fissare le idee, il caso delle disuguaglianze strette.

x < y implica − y < −x
0 < x < y implica \frac{1}{y} < \frac{1}{x}
x_{1} < y_{1} e x_{2} < y_{2} implicano x_{1} + x_{2} < y_{1} + y_{2}
0 < x_{1} < y_{1} e 0 < x_{2} < y_{2} implicano x_{1}x_{2} < y_{1}y_{2}.

1.4. Potenze a esponente reale. Al lettore è senz’altro familiare la nozione di potenza di base a reale qualunque non nulla e esponente n ∈ ℤ. Nel caso in cui la base a è positiva si può parlare di potenza a^{x} con esponente x reale qualunque, la definizione (che qui non riportiamo) essendo data in modo che la potenza a^{x} sia sempre positiva e conservi il suo significato abituale quando x è un intero. Anche nel caso di esponenti reali valgono le proprietà usuali, vale a dire

a^{x+y} = a^{x}a^{y},  (a^{x})^{y} = a^{xy},  (ab)^{x} = a^{x}b^{x}.

In particolare, da a^{−x}a^{x} = a^{0} = 1 e (a^{1/n})^{n} = a^{1} = a, seguono le relazioni

a^{−x} = \frac{1}{a^{x}} (x ∈ ℝ)  e  a^{1/n} = ^{n} \sqrt{a} (n = 2, 3, …).

Abbiamo ad esempio 1/\sqrt{5^{3}} = 5^{−3/2} . Importanti sono poi alcune implicazioni

a < b e x > 0 implicano a^{x} < b^{x}
a < b e x < 0 implicano a^{x} > b^{x}
a > 1 e x < y implicano a^{x} < a^{y}.
a < 1 e x < y implicano a^{x} > a^{y}.

Si consente infine alla base a di essere 0 purché l’esponente sia positivo, ponendo 0^{x} = 0 per ogni x > 0 .

1.5. Successioni e n-uple. Il termine successione denota una legge che a ogni numero naturale associa un elemento di un certo insieme. Parliamo di successione di elementi di I se I è l’insieme in questione. Possiamo dunque avere, ad esempio, successioni di numeri reali o successioni di sottoinsiemi di un dato insieme. Fissato un simbolo, diciamo x, che decidiamo di usare quando intendiamo riferirci a una successione precisa, la successione in questione verrà indicata con {x_{n}}. Con questo simbolo resta inteso che la successione è la legge che al numero naturale n associa l’elemento x_{n} , ciò per ogni numero naturale n.

Dunque a 0 viene associato x_{0} , a 1 viene associato x_{1} , eccetera. Risulta allora chiaro che la scelta del nome n attibuito all’indice è inessenziale: possiamo usare un altro simbolo e denotare la stessa successione, ad esempio, con {x_{k}}. Invece il simbolo {y_{k}} denoterebbe in generale una successione diversa.

Se n è un numero naturale ≥ 1 , il termine n-upla denota una legge che a ogni numero naturale k verificante 1 ≤ k ≤ n associa un elemento di un certo insieme. Una n-upla è dunque un elenco ordinato di n oggetti, distinti o meno. Anziché di 2-uple, 3-uple, eccetera si parla di coppie, terne, eccetera. Una generica n-upla viene indicata con simboli del tipo (x_{1}, …, x_{n}) , restando inteso che la n-upla in questione è la legge che al numero k associa l’elemento x_{k} , ciò per k = 1, …, n. Per n-uple precise e per valori bassi di n si possono elencare ordinatamente gli oggetti. Ad esempio (4, 7, 4) è la terna che a 1, 2, 3 associa 4, 7, 4 rispettivamente.

Siano ora (x_{1}, …, x_{n}) e (y_{1}, …, y_{n}) due n-uple di oggetti qualunque. Diciamo che la seconda è un riordinamento (o una permutazione) della prima quando i suoi elementi si ottengono rielencando quelli della prima n-upla eventualmente in ordine diverso o, più precisamente, quando esiste una n-upla (k_{1}, …, k_{n}) di numeri interi che verifica le condizioni seguenti: (i) ogni numero naturale k verificante 1 ≤ k ≤ n si può scrivere nella forma k_{i} per uno e un solo numero naturale i verificante 1 ≤ i ≤ n; (ii) risulta y_{i} = x_{k_{i}} per i = 1, …, n. Ad esempio la terna (4, 4, 7) è un riordinamento della terna (4, 7, 4) . Con le notazioni della definizione abbiamo infatti x_{1} = 4 , x_{2} = 7 , x_{3} = 4 , y_{1} = 4 , y_{2} = 4 e y_{3} = 7 , per cui possiamo prendere k_{1} = 1 , k_{2} = 3 e k_{3} = 2 . In questo caso si può prendere anche k_{1} = 3 , k_{2} = 1 e k_{3} = 2 . La n-upla (k_{1}, …, k_{n}) è invece unica quando gli elementi x_{1}, …, x_{n} sono tutti distinti fra loro. Facciamo notare che ogni n-upla è un riordinamento di se stessa, che ogni riordinamento di un riordinamento è esso stesso un riordinamento e che ogni n-upla è un riordinamento di ogni suo riordinamento.

2. Principio di induzione

Esso è il teorema che enunciamo tra breve e riguarda la verità di una successione di proposizioni. Il suo uso è frequentissimo in tutti i rami teorici della matematica.

Deduciamo il Principio di induzione da una proprietà importante dell’insieme ℕ dei numeri naturali, proprietà che enunciamo come teorema senza dimostrazione, osservando però che essa è un teorema oppure un assioma a seconda dell’impostazione teorica di ℕ che si vuole adottare.

Teorema 2.1. Ogni sottoinsieme non vuoto di ℕ ha minimo.

Teorema 2.2. Sia {p_{n}} una successione di proposizioni verificante le due condizioni seguenti:

p_{0} è vera  (2.1)
per ogni n, la proposizione p_{n} implica la proposizione p_{n+1}.  (2.2)

Allora per ogni n la proposizione p_{n} è vera.

Dimostrazione. Sia A l’insieme costituito dai numeri naturali n tali che p_{n} è falsa. Dobbiamo dimostrare che A è vuoto. Ragionando per assurdo, supponiamo A non vuoto. Allora possiamo applicare il Teorema 2.1. Sia m = min A. Siccome 0 ∉ A per (2.1), abbiamo che m − 1 è ancora un numero naturale e, per definizione di m, risulta m ∈ A e m − 1 ∉ A. Dunque p_{m−1} è vera e p_{m} è falsa. Ma ciò contraddice la (2.2), applicata con n = m − 1 .

Tutte le volte che si vuole usare il principio di induzione occorre dunque decidere che cosa chiamare p_{n} e controllare le condizioni (2.1) e (2.2). Il secondo controllo consiste nella dimostrazione di un teorema, nel quale p_{n} è l’ipotesi e p_{n+1} è la tesi. In questo contesto, p_{n} è detta ipotesi di induzione. Notiamo infine che si usa dire che si ragiona per induzione su n specialmente nel caso in cui, oltre a n, intervengono altri parametri.

2.3. Varianti. Il Principio di induzione ha diverse varianti, tutte quante chiamate ancora Principio di induzione: ne indichiamo due. La più semplice riguarda il caso in cui la proposizione iniziale vera non sia p_{0} ma un’altra, diciamo p_{5} . In questo caso possiamo concludere che sono vere tutte le p_{n} con n ≥ 5 e l’ipotesi (2.2) può essere indebolita richiedendo che p_{n} implichi p_{n+1} per ogni n ≥ 5 anziché per ogni n.

La seconda variante che riteniamo doveroso segnalare è la seguente: la conclusione è ancora corretta se, ferma restando l’ipotesi (2.1), la (2.2) viene sostituita dalla seguente: per ogni n l’assunzione di tutte le proposizioni p_{k} con k ≤ n implica p_{n+1} . Abbiamo cioè, in alternativa a (2.2), la famiglia di ipotesi

la proposizione p_{0} implica la proposizione p_{1}

la proposizione ( p_{0} e p_{1} ) implica la proposizione p_{2}

la proposizione ( p_{0} e p_{1} e p_{2} ) implica la proposizione p_{3} eccetera.

Usiamo il Principio di induzione per dimostrare un risultato di ottimizzazione, usualmente riassunto nelle parole disuguaglianze di riordinamento (re-arrangement in inglese).

Teorema 2.4. Siano (c_{1}, …, c_{n}) e (x_{1}, …, x_{n}) due n-uple di numeri reali e si supponga che c_{1} ≤ … ≤ c_{n} . Sia inoltre (y_{1}, …, y_{n}) un riordinamento di (x_{1}, …, x_{n}) . Nell’ipotesi che x_{1} ≤ … ≤ x_{n} vale la disuguaglianza

c_{1}x_{1} + … + c_{n}x_{n} ≥ c_{1}y_{1} + … + c_{n}y_{n}  (2.3)

mentre la disuguaglianza opposta

c_{1}x_{1} + … + c_{n}x_{n} ≤ c_{1}y_{1} + … + c_{n}y_{n}.  (2.4)

vale nell’ipotesi che x_{1} ≥ … ≥ x_{n} .

Dimostrazione. Dimostriamo la prima parte ragionando per induzione su n, la proposizione p_{n} essendo: vale la (2.3) per ogni coppia di n-uple (c_{1}, …, c_{n}) e (x_{1}, …, x_{n}) verificanti le condizioni richieste e per ogni riordinamento (y_{1}, …, y_{n}) di (x_{1}, …, x_{n}) .

Se n = 1 non c’è nulla da dimostrare. Supponiamo ora n ≥ 1 , usiamo p_{n} come ipotesi di induzione e dimostriamo p_{n+1} . Siano dunque (c_{1}, …, c_{n+1}) e (x_{1}, …, x_{n+1}) due (n+1)-uple verificanti c_{1} ≤ … ≤ c_{n+1} e x_{1} ≤ … ≤ x_{n+1} e sia (y_{1}, …, y_{n+1}) un riordinamento di (x_{1}, …, x_{n+1}) . Dobbiamo dimostrare che vale la disuguaglianza

c_{1}x_{1} + … + c_{n+1}x_{n+1} ≥ c_{1}y_{1} + … + c_{n+1}y_{n+1}.  (2.5)

Distinguiamo due casi. Nel primo supponiamo y_{n+1} = x_{n+1} . In tal caso applichiamo l’ipotesi di induzione alle tre n-uple (c_{1}, …, c_{n}) , (x_{1}, …, x_{n}) e (y_{1}, …, y_{n}) e abbiamo

c_{1}x_{1} + … + c_{n}x_{n} ≥ c_{1}y_{1} + … + c_{n}y_{n}.

Sommando ai due membri rispettivamente c_{n+1}x_{n+1} e c_{n+1}y_{n+1} , che sono uguali, otteniamo la (2.5).

Supponiamo ora y_{n+1} ≠ x_{n+1} . Siccome per ipotesi (y_{1}, …, y_{n+1}) è un riordinamento di (x_{1}, …, x_{n+1}) , possiamo trovare i e j tali che x_{n+1} = y_{i} e y_{n+1} = x_{j} . Siccome x_{n+1} ≠ y_{n+1} abbiamo i ≠ n + 1 (e j ≠ n + 1 ), per cui risulta ben definita la (n+1)-upla (z_{1}, …, z_{n+1}) individuata dalle condizioni

z_{i} = y_{n+1},  z_{n+1} = y_{i}  e  z_{k} = y_{k} per k diverso da i e n + 1 .

Allora la (2.5) seguirà dalle due disuguaglianze

\begin{aligned}c_{1}x_{1} + … + c_{n+1}x_{n+1} & ≥ c_{1}z_{1} + … + c_{n+1}z_{n+1} \\ c_{1}z_{1} + … + c_{n+1}z_{n+1} & ≥ c_{1}y_{1} + … + c_{n+1}y_{n+1} \end{aligned}

che ora dimostriamo, iniziando dalla seconda. Osserviamo che

(c_{n+1} − c_{i})(x_{n+1} − x_{j}) ≥ 0

grazie alle ipotesi c_{1} ≤ … ≤ c_{n} e x_{1} ≤ … ≤ x_{n} . Deduciamo

c_{n+1}x_{n+1} + c_{i}x_{j} ≥ c_{n+1}x_{j} + c_{i}x_{n+1}.

Ma per costruzione x_{n+1} = y_{i} = z_{n+1} , x_{j} = y_{n+1} = z_{i} , x_{j} = y_{n+1} e x_{n+1} = y_{i} . La disuguaglianza si riscrive dunque come

c_{n+1}z_{n+1} + c_{i}z_{i} ≥ c_{n+1}y_{n+1} + c_{i}y_{i}.

Sommando al primo membro tutti i termini c_{k}z_{k} con k ≠ i, n + 1 e al secondo i termini c_{k}y_{k} con k ≠ i, n + 1 , che sono ordinatamente uguali ai precedenti, otteniamo la disuguaglianza voluta. Passiamo allora alla prima disuguaglianza. Osserviamo innanzi tutto che, grazie al fatto che, oltre a i ≠ n + 1 , si ha j ≠ n + 1 , la (n+1)-upla (z_{1}, …, z_{n+1}) è un riordinamento di (y_{1}, …, y_{n+1}) , dunque anche di (x_{1}, …, x_{n+1}) . Inoltre z_{n+1} = x_{n+1} per costruzione. Quindi la disuguaglianza da dimostrare rientra nel primo caso. Ciò completa la verifica della (2.5) e, dunque, la dimostrazione della (2.3).

Per dimostrare la (2.4), applichiamo la (2.3), che ormai è stata dimostrata, alle n-uple (c_{1}, …, c_{n}) , (−x_{1}, …, −x_{n}) e (−y_{1}, …, −y_{n}) osservando che, effettivamente, la (2.3) è applicabile. Cambiando poi i segni nella disuguaglianza ottenuta, abbiamo la (2.4).

3. Convessità

La convessità è una proprietà geometrica delle funzioni reali di variabile reale. D’altra parte la sua definizione analitica ha come conseguenza un buon numero di disuguaglianze. Premettiamo una definizione.

Definizione 3.1. Un sottoinsieme non vuoto di ℝ è detto intervallo quando gode della proprietà seguente: per ogni x, y, z ∈ ℝ tali che x < y < z, da x, z ∈ I segue y ∈ I .

Si richiede dunque che ogni punto compreso fra due punti di I appartenga esso stesso a I . Nella rappresentazione geometrica dei numeri reali, quindi, un intervallo è l’intera retta reale, oppure una semiretta (estremo compreso o meno), oppure un segmento (estremi compresi o meno), oppure un insieme ridotto a un solo punto.

In vista della definizione che segue è opportuno riformulare la definizione di intervallo. Se x, z ∈ ℝ e x < z, i punti y compresi fra x e z sono tutti e soli quelli rappresentabili nella forma y = x + ϑ(z − x) con 0 < ϑ < 1 . Osserviamo che lo scambio di x con z abbinato a quello di ϑ con 1 − ϑ non altera il valore di y e che quando x = z non c’è nulla da richiedere. Allora la restrizione x < z può essere omessa e I è un intervallo se e solo se, per ogni x, z ∈ I e per ogni ϑ verificante 0 < ϑ < 1 , anche il punto x + ϑ(z − x) appartiene a I .

Definizione 3.2. Una funzione f definita in un intervallo I a valori in ℝ è detta convessa quando, per ogni x, x′ ∈ I e per ogni ϑ ∈ ℝ verificante 0 < ϑ < 1 , risulta

f(x + ϑ(x′ − x)) ≤ f(x) + ϑ {f(x′) − f(x)} .  (3.1)

La funzione f è poi detta strettamente convessa quando essa è convessa e l’uguaglianza nella (3.1) equivale a x = x′ .

Si noti che, se (x, y) e (x′, y′) sono due punti del piano, al variare di ϑ fra 0 e 1 il punto di coordinate x + ϑ(x′ − x) e y + ϑ(y′ − y) descrive il segmento che congiunge i punti dati. Ciò avviene in particolare quando y = f(x) e y′ = f(x′) , per cui la (3.1) esprime che, fissati comunque due punti del grafico di f , nessun punto del segmento che li congiunge può stare sotto l’arco di grafico che li ha come estremi. Nel caso della stretta convessità, poi, i punti del segmento staranno strettamente sopra quelli dell’arco.

Notiamo inoltre che x = x′ implica l’uguaglianza nella (3.1), banalmente, per cui f è strettamente convessa se e solo se l’uguaglianza nella (3.1) implica x = x′ .

3.3. Alcune funzioni strettamente convesse. Per la comodità del lettore diamo un breve elenco di funzioni strettamente convesse (con eventuali restrizioni sul parametro reale se questo interviene). Esse sono definite dalle formule date di volta in volta nei domini individuati dalle rispettive condizioni imposte sulla variabile x.

|x|^{α}  x ∈ ℝ  α > 1  a^{x}  x ∈ ℝ  a > 0 e ≠ 1
− lg_{a} x x > 0  a > 1  lg_{a} x  x > 0  0 < a < 1
− sin x 0 ≤ x ≤ π  − cos x |x| ≤ π/2
tan x  0 ≤ x < π/2  x lg_{a} x x > 0  a > 1.

Notiamo che la verifica della convessità e, a maggior ragione, della stretta convessità secondo la definizione è proibitiva praticamente in tutti i casi interessanti. L’analisi matematica, tuttavia, offre uno strumento efficiente: perché una funzione f definita e dotata di derivata seconda in un intervallo I sia strettamente convessa è sufficiente che f′′(x) > 0 per ogni x ∈ I (per la convessità è necessario e sufficiente che f′′ ≥ 0 ). Questo strumento può essere utilizzato, in particolare, per controllare la stretta convessità delle funzioni dell’elenco (con qualche precauzione per quanto riguarda la prima funzione).

In vista della disuguaglianza di Jensen è opportuno riscrivere la (3.1) in una forma diversa. Se 0 < ϑ < 1 allora i due numeri reali ϑ e 1 − ϑ sono positivi e la loro somma vale 1 . D’altra parte, dati comunque due numeri reali ϑ_{1} e ϑ_{2} in queste condizioni, essi possono essere scritti come ϑ e 1 − ϑ per un certo ϑ verificante 0 < ϑ < 1 : basta infatti scegliere ϑ = ϑ_{1} . Allora, fermo restando che il dominio I della funzione f sia un intervallo, la condizione di convessità si può scrivere come segue:

f(ϑ_{1}x_{1} + ϑ_{2}x_{2}) ≤ ϑ_{1}f(x_{1}) + ϑ_{2}f(x_{2})  (3.2)

per ogni x_{1}, x_{2} ∈ I e ϑ_{1}, ϑ_{2} > 0 verificanti ϑ_{1} + ϑ_{2} = 1 . Analogamente per la stretta convessità: f è convessa e l’uguaglianza in (3.2) equivale a x_{1} = x_{2} .

Teorema 3.4. Siano I un intervallo e f : I → ℝ una funzione convessa. Allora, per n = 2, 3, … e per ogni x_{1}, …, x_{n} ∈ I e ϑ_{1}, …, ϑ_{n} > 0 verificanti ϑ_{1} + … + ϑ_{n} = 1 , il punto ϑ_{1}x_{1} + … + ϑ_{n}x_{n} appartiene a I e vale la disuguaglianza di Jensen

f(ϑ_{1}x_{1} + … + ϑ_{n}x_{n}) ≤ ϑ_{1}f(x_{1}) + … + ϑ_{n}f(x_{n})  (3.3)

Se inoltre f è strettamente convessa, l’uguaglianza in (3.3) equivale a x_{1} = … = x_{n} .

Dimostrazione. Ragioniamo per induzione partendo da n = 2 . La (3.3) con n = 2 coincide con la (3.2), per cui è vera, e altrettanto vale per la seconda parte dell’enunciato.

Supponiamo n ≥ 2 e assumiamo come ipotesi di induzione che, per tutti i punti x_{i} e i valori ϑ_{i} indicati nell’enunciato, il punto ϑ_{1}x_{1} + … + ϑ_{n}x_{n} appartenga a I e valga la (3.3). Assumiamo anche che nella (3.3) vale l’uguaglianza se e solo se tutti i punti coincidono fra di loro. Dobbiamo dimostriare che vale l’analogo enunciato relativo a n + 1 punti x_{1}, …, x_{n+1} e ad altrettanti valori ϑ_{1}, …, ϑ_{n+1} . Siano dunque

x_{1}, …, x_{n+1} ∈ I  e  ϑ_{1}, …, ϑ_{n+1} > 0 tali che ϑ_{1} + … + ϑ_{n+1} = 1.

Dobbiamo dimostrare che ϑ_{1}x_{1} + … + ϑ_{n+1}x_{n+1} ∈ I , che

f(ϑ_{1}x_{1} + … + ϑ_{n+1}x_{n+1}) ≤ ϑ_{1}f(x_{1}) + … + ϑ_{n+1}f(x_{n+1})  (3.4)

e che, se in (3.4) vale l’uguaglianza, tutti i punti coincidono fra loro. Osserviamo che 1 − ϑ_{n+1} = ϑ_{1} + … + ϑ_{n} e introduciamo il punto

x′ = \frac{ϑ_{1}}{1 − ϑ_{n+1}} x_{1} + … + \frac{ϑ_{n}}{1 − ϑ_{n+1}} x_{n}.

Siccome tutti i coefficienti sono positivi e la loro somma vale 1 , abbiamo che x′ appartiene a I per la prima parte dell’ipotesi di induzione. Siccome I è un intervallo abbiamo

ϑ_{1}x_{1} + … + ϑ_{n+1}x_{n+1} = ϑ_{n+1}x_{n+1} + (1 − ϑ_{n+1})x′ ∈ I

e siccome f è convessa abbiamo anche

\begin{matrix}f(ϑ_{1}x_{1} + … + ϑ_{n+1}x_{n+1}) = f(ϑ_{n+1}x_{n+1} + (1 − ϑ_{n+1})x′) \\ ≤ ϑ_{n+1}f(x_{n+1}) + (1 − ϑ_{n+1})f(x′). \end{matrix}

Usando la seconda parte dell’ipotesi di induzione otteniamo poi

\begin{matrix}ϑ_{n+1}f(x_{n+1}) + (1 − ϑ_{n+1})f(x′) \\ ≤ ϑ_{n+1}f(x_{n+1}) + (1 − ϑ_{n+1}) \{\frac{ϑ_{1}}{1 − ϑ_{n+1}} f(x_{1}) + … + \frac{ϑ_{n}}{1 − ϑ_{n+1}} f(x_{n})\} \end{matrix}

e combinando con la disuguaglianza precedente deduciamo la (3.4).

Infine, l’uguaglianza nella (3.4) implica che valga l’uguaglianza in ciascuna delle due disuguaglianze precedenti (se uno dei ≤ fosse <, avremmo < nella (3.4)). Usando rispettivamente la stretta convessità di f e l’ultima parte dell’ipotesi di induzione otteniamo allora

x_{n+1} = x′  e  x_{1} = … = x_{n},

da cui immediatamente x_{1} = … = x_{n+1} .

4. Medie

Va genericamente sotto il nome di media di n numeri reali dati x_{1}, …, x_{n} , distinti o meno, ogni numero reale x^{∗} ottenuto con una procedura che garantisca che x^{∗} sia compreso fra il minimo e il massimo dei numeri dati. La più nota delle medie è la media aritmetica, definita dalla formula

A(x_{1}, …, x_{n}) = \frac{x_{1} + … + x_{n}}{n} .  (4.1)

Nel caso in cui tutti i numeri x_{1}, …, x_{n} siano ≥ 0 , la media geometrica è data da

G(x_{1}, …, x_{n}) = (x_{1} · . . . · x_{n})^{1/n}.  (4.2)

Infine, nel caso di numeri strettamente positivi, per ogni numero reale p ≠ 0 , possiamo introdurre la loro media di ordine p mediante la formula

M_{p}(x_{1}, …, x_{n}) = (\frac{x_{1}^{p} + … + x_{n}^{p}}{n} )^{1/p} .  (4.3)

Chiaramente abbiamo M_{1} = A. Grazie alle proprietà delle potenze abbiamo inoltre

\frac{1}{G(x_{1}, …, x_{n})} = G(1/x_{1}, …, 1/x_{n}) e \frac{1}{M_{−p}(x_{1}, …, x_{n})} = M_{p}(1/x_{1}, …, 1/x_{n}) (4.4)

per ogni p ≠ 0 . L’esclusione di 0 fra i valori di p non è più necessaria se per la media geometrica si usa la notazione alternativa M_{0} , cioè se si pone

M_{0}(x_{1}, …, x_{n}) = G(x_{1}, …, x_{n}).  (4.5)

Due medie importanti corrispondono ai valori p = 2 e p = −1 : esse si chiamano media quadratica e rispettivamente media armonica dei numeri considerati. Introdotte le notazioni Q e H per tali medie (harmonic in inglese), abbiamo pertanto

Q(x_{1}, …, x_{n}) = (\frac{x_{1}^{2} + … + x_{n}^{2}}{n} )^{1/2} e \frac{1}{H(x_{1}, …, x_{n})} = A(1/x_{1}, …, 1/x_{n}). (4.6)

Effettivamente quelle introdotte sono tutte medie nel senso di quanto abbiamo detto all’inizio del paragrafo: ciascuna di esse è compresa fra il minimo e il massimo dei numeri dati, come vediamo tra breve. Abbiamo ad esempio

A(1, 3) = 2, Q(1, 3) = \sqrt{5}, H(1, 3) = \frac{3}{2}, G(1, 3) = \sqrt{3}, min\{1, 3\} = 1, max\{1, 3\} = 3

e ciascuna delle medie considerate è compresa fra 1 e 3 . Una proprietà comune a tutte le medie introdotte è la seguente

M_{p}(cx_{1}, …, cx_{n}) = cM_{p}(x_{1}, …, x_{n}) per ogni x_{1}, …, x_{n} > 0 , c > 0 e p ∈ ℝ

ove si è usata la convenzione (4.5). Nel caso della media aritmetica, poi, tale uguaglianza vale per numeri di segno qualunque e risulta anche

A(x_{1} + y_{1}, …, x_{n} + y_{n}) = A(x_{1}, …, x_{n}) + A(y_{1}, …, y_{n})  (4.7)

qualunque siano i numeri reali considerati. Per gli altri tipi di medie, invece, questa uguaglianza è falsa.

Le varie medie sono legate fra loro da diverse disuguaglianze, che trattiamo nel prossimo paragrafo. Per poter considerare tutti i tipi di medie supporremo d’ora in poi che tutti i numeri reali in questione siano positivi. Tuttavia alcune dei risultati che daremo continuano a valere (purché sensati) se qualcuno dei numeri considerati è nullo (di solito lo si vede banalmente) o addirittura negativo (quando vale la disuguaglianza per i moduli).

5. Disuguaglianze per le medie

Le disuguaglianze fra i vari tipi di medie dipendono da altre disuguaglianze legate alla convessità di certe funzioni. Innanzi tutto specializziamo i coefficienti nella disuguaglianza di Jensen prendendo ϑ_{1} = … = ϑ_{n} . Il loro valore comune deve dunque essere 1/n. La (3.3) fornisce allora la disuguaglianza

f (\frac{x_{1} + … + x_{n}}{n} ) ≤ \frac{f(x_{1}) + … + f(x_{n})}{n}  (5.1)

che può essere riscritta nella forma f(A(x_{1}, …, x_{n})) ≤ A(f(x_{1}), …, f(x_{n})). La (5.1) è detta ancora disuguaglianza di Jensen e vale per ogni funzione f convessa e per ogni x_{1}, …, x_{n} appartenenti al suo dominio. Se poi f è strettamente convessa, l’uguaglianza in (5.1) equivale a x_{1} = … = x_{n} .

Teorema 5.1. Vale la disuguaglianza di Young

x_{1} · . . . · x_{n} ≤ ϑ_{1}x_{1}^{1/ϑ_{1}} + … + ϑ_{n}x_{n}^{1/ϑ_{n}}  (5.2)

per ogni x_{1}, …, x_{n} > 0 e ϑ_{1}, …, ϑ_{n} > 0 tali che ϑ_{1} + … + ϑ_{n} = 1 . Inoltre, nel caso particolare ϑ_{1} = … = ϑ_{n} = 1/n, l’uguaglianza nella (5.2) equivale a x_{1} = … = x_{n} .

Dimostrazione. Ci basiamo su due propietà della seguente funzione f : ℝ → ℝ

f(x) = 2^{x}, x ∈ ℝ,

la sua stretta convessità (vedi 3.3) e il fatto che ogni numero reale x > 0 può essere scritto nella forma x = 2^{y} per uno e un solo numero reale y (il logaritmo). Dati ora i punti x_{i} e i numeri positivi ϑ_{i} (i = 1, …, n) come specificato nell’enunciato, possiamo introdurre i numeri reali y_{i} e z_{i} mediante le formule

2^{y_{i}} = x_{i} e z_{i} = \frac{y_{i}}{ϑ_{i}} , i = 1, …, n.

Applicando la disuguaglianza (3.3) di Jensen alla funzione convessa f abbiamo allora

\begin{matrix}x_{1} · . . . · x_{n} = 2^{ϑ_{1}z_{1}} · . . . · 2^{ϑ_{n}z_{n}} = 2^{ϑ_{1}z_{1}+...+ϑ_{n}z_{n}} \\ ≤ ϑ_{1}2^{z_{1}} + … + ϑ_{n}2^{z_{n}} = ϑ_{1}x_{1}^{1/ϑ_{1}} + … + ϑ_{n}x_{1}^{1/ϑ_{n}} \end{matrix}

cioè la (5.2).

Supponiamo ora ϑ_{1} = … = ϑ_{n} = 1/n. Se nella (5.2) vale l’uguaglianza, allora deve valere l’uguaglianza nella disuguaglianza di Jensen appena applicata e, per la stretta convessità di f , deduciamo z_{1} = … = z_{n} , da cui x_{1} = … = x_{n} essendo ϑ_{1} = … = ϑ_{n} . Viceversa, se x_{1} = … = x_{n} = x, calcolando direttamente i due membri della (5.2) vediamo che entrambi valgono x^{n} .

Abbiamo ad esempio

ab ≤ \frac{1}{2}a^{2} + \frac{1}{2}b^{2} (n = 2, ϑ_{1} = ϑ_{2} = 1/2)

disuguaglianza che può essere dedotta elementarmente da (a − b)^{2} ≥ 0 . Risulta allora evidente anche che l’uguaglianza equivale ad a = b.

Teorema 5.2. Siano x_{1}, …, x_{n} > 0 e p reale. Allora valgono le disuguaglianze

min {x_{1}, …, x_{n}} ≤ M_{p}(x_{1}, …, x_{n}) ≤ max {x_{1}, …, x_{n}} .  (5.3)

Inoltre M_{p}(x_{1}, …, x_{n}) cresce al crescere di p, cioè

p′ < p′′ implica M_{p′}(x_{1}, …, x_{n}) ≤ M_{p′′}(x_{1}, …, x_{n}).  (5.4)

In particolare

H(x_{1}, …, x_{n}) ≤ G(x_{1}, …, x_{n}) ≤ A(x_{1}, …, x_{n}) ≤ Q(x_{1}, …, x_{n}).  (5.5)

Infine, per ciascuna delle disuguaglianze considerate nell’enunciato, vale l’uguaglianza se e solo se x_{1} = … = x_{n} .

Dimostrazione. Ciascuna delle due disuguaglianze (5.3) si dimostra distinguendo i tre casi p > 0 , p < 0 e p = 0 , ma le sei dimostrazioni sono analoghe. Per fissare le idee consideriamo la prima delle (5.3) con p > 0 . Sia x_{∗} = min {x_{1}, …, x_{n}}. Allora x_{∗} > 0 e, per k = 1, …, n, risulta x_{k} ≥ x_{∗} , da cui x_{k}^{p} ≥ x_{∗}^{p} . Sommando membro a membro e dividendo per n otteniamo

M_{p}(x_{∗}, …, x_{∗}) ≤ M_{p}(x_{1}, …, x_{1}).

Ma il primo membro di questa disuguaglianza vale x_{∗} e dunque coincide con il primo membro della disuguaglianza da dimostrare.

Dimostriamo ora l’ultima parte dell’enunciato relativamente alla disuguaglianza appena considerata. Rivedendo la dimostrazione fatta, risulta chiaro che vale l’uguaglianza se e solo se vale l’uguaglianza in ciascuna delle disuguaglianze utilizzate (basterebbe un solo < per avere < alla fine e si ottiene l’uguaglianza alla fine se si utilizzano solo uguaglianze), cioè se e solo se x_{k} = x_{∗} per k = 1, …, n, cioè se e solo se tutti i numeri considerati sono uguali fra loro.

Dimostriamo ora la (5.4) distinguendo i vari casi corrispondenti all’annullamento o meno di p′ e p′′ e ai segni di questi parametri. Iniziamo dal caso p′ = 0 e p′′ = p > 0 , vale a dire

G(x_{1}, …, x_{n}) ≤ M_{p}(x_{1}, …, x_{n})  se p > 0 .  (5.6)

Applichiamo la disuguaglianza di Young con ϑ_{1} = … = ϑ_{n} = 1/n ai numeri positivi x_{i}^{p/n} . Otteniamo

x_{1}^{p/n} · . . . · x_{1}^{p/n} ≤ \frac{(x_{1}^{p/n})^{n} + … + (x_{1}^{p/n})^{n}}{n} .

Il primo membro vale

x_{1}^{p/n} · . . . · x_{1}^{p/n} = (x_{1} · . . . · x_{n})^{p/n} = {(x_{1} · . . . · x_{n})^{1/n}}^{p} = (G(x_{1}, …, x_{n}))^{p}.

D’altra parte abbiamo

\frac{(x_{1}^{p/n})^{n} + … + (x_{1}^{p/n})^{n}}{n} = \frac{x_{1}^{p} + … + x_{1}^{p}}{n} = (M_{p}(x_{1}, …, x_{n}))^{p}.

Dunque (G(x_{1}, …, x_{n}))^{p} ≤ (M_{p}(x_{1}, …, x_{n}))^{p} , da cui la disuguaglianza voluta. Passiamo al caso p′ = −p < 0 e p′′ = 0 , vale a dire

M_{−p}(x_{1}, …, x_{n}) ≤ G(x_{1}, …, x_{n})  se p > 0 .  (5.7)

Applicando la (5.6), appena dimostrata, ai numeri 1/x_{1}, …, 1/x_{n} abbiamo

G(1/x_{1}, …, 1/x_{n}) ≤ M_{p}(1/x_{1}, …, 1/x_{n}).

Tenendo conto della (4.4) deduciamo

\frac{1}{G(x_{1}, …, x_{n})} ≤ \frac{1}{M_{−p}(x_{1}, …, x_{n})}

da cui la disuguaglianza voluta.

Nel prossimo caso che consideriamo p′ e p′′ hanno segno opposto. Allora abbiamo necessariamente p′ < 0 < p′′ e la (5.4) segue dalle (5.6) e (5.7).

Supponiamo ora p′ e p′′ entrambi positivi. La dimostrazione in questo caso si fonda sulla stretta convessità della funzione f(x) = x^{α} (x > 0) nel caso α > 1 (vedi 3.3). Noi scegliamo α = p′′/p′ , che è > 1 dato che 0 < p′ < p′′ . Applicando la disuguaglianza (5.1) di Jensen ai numeri x_{1}^{p′}, …, x_{n}^{p′} otteniamo

(\frac{x_{1}^{p′} + … + x_{n}^{p′}}{n} )^{p′′/p′} ≤ \frac{(x_{1}^{p′})^{p′′/p′} + … + (x_{n}^{p′})^{p′′/p′}}{n}

vale a dire

(M_{p′}(x_{1}, …, x_{n}))^{p′′} ≤ (M_{p′′}(x_{1}, …, x_{n}))^{p′′}

da cui la (5.4).

Nell’ultimo caso da considerare abbiamo p′ < p′′ < 0 e possiamo scrivere p′ = −q′′ e p′′ = −q′ con 0 < q′ < q′′ . Osservato che q′ e q′′ rientrano nel caso appena trattato, applichiamo la (5.4) alle medie M_{q′} e M_{q′′} dei reciproci dei numeri x_{i} . Otteniamo

M_{q′}(1/x_{1}, …, 1/x_{n}) ≤ M_{q′′}(1/x_{1}, …, 1/x_{n})

e la (5.4) segue subito dalla (4.4).

Veniamo all’ultima parte dell’enunciato (a parte le (5.3) per le quali il discorso è concluso). Osservato che abbiamo usato la (5.2) con ϑ_{1} = … = ϑ_{n} e che abbiamo applicato la (5.1) solo a funzioni strettamente convesse, vediamo che l’uguaglianza in una delle (5.4) o delle (5.5) equivale all’uguaglianza in una delle disuguaglianze di Young o di Jensen utilizzate, cioè a x_{1} = … = x_{n} .

Dimostriamo ora le disuguaglianze di Hölder, Schwarz e Minkowski. segnalando che le prime due sono dette anche disuguaglianza di Schwarz–Hölder e, rispettivamente, disuguaglianza di Cauchy–Schwarz.

Teorema 5.3. Siano p, q > 1 tali che

\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.  (5.8)

Allora vale la disuguaglianza di Hölder

A(x_{1}y_{1}, …, x_{n}y_{n}) ≤ M_{p}(x_{1}, …, x_{n}) M_{q}(y_{1}, …, y_{n})  (5.9)

qualunque siano i numeri reali positivi considerati.

Dimostrazione. Poniamo per comodità

X = M_{p}(x_{1}, …, x_{n})  e  Y = M_{q}(y_{1}, …, y_{n}).

Sia λ > 0 . Per k = 1, …, n applichiamo la disuguaglianza (5.2) di Young a λx_{k} e a λ^{−1}y_{k} con ϑ_{1} = 1/p e ϑ_{2} = 1/q. Abbiamo

x_{k}y_{k} = λx_{k} · λ^{−1}y_{k} ≤ \frac{1}{p}λ^{p}x_{k}^{p} + \frac{1}{q}λ^{−q}y_{k}^{q}.

Sommando membro a membro e dividendo per n otteniamo

A(x_{1}y_{1}, …, x_{n}y_{n}) ≤ \frac{λ^{p}}{p} X^{p} + \frac{λ^{−q}}{q} Y^{q}.

Scegliamo ora λ > 0 in modo che λ^{p}X^{p} = XY e λ^{−q}Y^{q} = XY , se possibile. Queste uguaglianze sono realizzate con λ = X^{−1+1/p}Y^{1/p} e con λ = X^{−1/q}Y^{1−1/q} rispettivamente. Ma tali scelte coincidono per la (5.8). Abbiamo dunque

A(x_{1}y_{1}, …, x_{n}y_{n}) ≤ \frac{1}{p}XY + \frac{1}{q}XY = XY

ancora per la (5.8).

Teorema 5.4. Vale la disuguaglianza di Schwarz

A(x_{1}y_{1}, …, x_{n}y_{n}) ≤ Q(x_{1}, …, x_{n}) Q(y_{1}, …, y_{n})  (5.10)

qualunque siano i numeri reali positivi considerati. Inoltre vale l’uguaglianza se e solo se x_{1}, …, x_{n} e y_{1}, …, y_{n} sono direttamente proporzionali.

Dimostrazione. La (5.10) coincide con la (5.9) nel caso p = q = 2 , per cui dobbiamo dimostrare solo la seconda parte dell’enunciato.

Se abbiamo proporzionalità diretta, allora y_{k} = cx_{k} per k = 1, …, n e per un certo c > 0 e il calcolo diretto mostra che A(x_{1}y_{1}, …, x_{n}y_{n}) = c(Q(x_{1}, …, x_{n}))^{2} e dunque coincide con il secondo membro della (5.10).

Viceversa, supponiamo che nella (5.10) valga l’uguaglianza. Se riprendiamo la dimostrazione del Teorema 5.3 e le notazioni introdotte, vediamo che l’uguaglianza nella (5.9) implica l’uguaglianza in tutte le disuguaglianze utilizzate (basterebbe un solo < per avere < alla fine), in particolare nelle disuguaglianze di Young. Siccome è ora p = q = 2 , deduciamo

λx_{k} = λ^{−1}y_{k} per k = 1, …, n  (5.11)

ove λ è il valore che avevamo scelto. In particolare c’è proporzionalità diretta.

Teorema 5.5. Sia p ≥ 1 . Allora vale la disuguaglianza di Minkowski

M_{p}(x_{1} + y_{1}, …, x_{n} + y_{n}) ≤ M_{p}(x_{1}, …, x_{n}) + M_{p}(y_{1}, …, y_{n})  (5.12)

qualunque siano i numeri positivi considerati.

Dimostrazione. Il caso p = 1 segue dalla formula (4.7), più precisa. Supponiamo allora p > 1 e introduciamo l’unico numero reale q > 1 che verifica la (5.8). Posto per comodità z_{k} = x_{k} + y_{k} per k = 1, …, n e tenendo conto che (p − 1)q = p abbiamo

(M_{p}(z_{1}, …, z_{n}))^{p} = \frac{1}{n}(z_{1}^{p} + … + z_{n}^{p})

= \frac{1}{n}(x_{1}z_{1}^{p−1} + … + x_{n}z_{n}^{p−1}) + \frac{1}{n}(y_{1}z_{1}^{p−1} + … + y_{n}z_{n}^{p−1})

= A(x_{1}z_{1}^{p−1}, …, x_{n}z_{n}^{p−1}) + A(y_{1}z_{1}^{p−1}, …, x_{n}z_{n}^{p−1})

≤ M_{p}(x_{1}, …, x_{n}) M_{q}(z_{1}^{p−1}, …, z_{n}^{p−1}) + M_{p}(y_{1}, …, y_{n}) M_{q}(z_{1}^{p−1}, …, z_{n}^{p−1})

= {M_{p}(x_{1}, …, x_{n}) + M_{p}(y_{1}, …, y_{n})} M_{q}(z_{1}^{p−1}, …, z_{n}^{p−1})

= {M_{p}(x_{1}, …, x_{n}) + M_{p}(y_{1}, …, y_{n})} · n^{−1/q}(z_{1}^{(p−1)q} + … + z_{n}^{(p−1)q})^{1/q}

= {M_{p}(x_{1}, …, x_{n}) + M_{p}(y_{1}, …, y_{n})} · n^{−1/q}(z_{1}^{p} + … + z_{n}^{p})^{1/q}

= {M_{p}(x_{1}, …, x_{n}) + M_{p}(y_{1}, …, y_{n})} (M_{p}(z_{1}, …, z_{n}))^{p/q}.

Dividendo per (M_{q}(z_{1}, …, z_{n}))^{p/q} otteniamo la (5.12) in quanto p − p/q = 1 .

Concludiamo il paragrafo dimostrando due disuguaglianze, dette disuguaglianze di Chebychev, che riguardano i legami fra le operazioni di media aritmetica e di prodotto e valgono per numeri reali di segno qualunque.

Teorema 5.6. Siano (x_{1}, …, x_{n}) e (y_{1}, …, y_{n}) due n-uple di numeri reali e si supponga che x_{1} ≤ … ≤ x_{n} . Se y_{1} ≤ … ≤ y_{n} allora risulta

A(x_{1}, …, x_{n}) · A(y_{1}, …, y_{n}) ≤ A(x_{1}y_{1}, …, x_{n}y_{n})  (5.13)

mentre la disuguaglianza opposta

A(x_{1}, …, x_{n}) · A(y_{1}, …, y_{n}) ≥ A(x_{1}y_{1}, …, x_{n}y_{n})  (5.14)

vale se y_{1} ≥ … ≥ y_{n} .

Dimostrazione. Le dimostrazioni si basano sulle due disuguaglianze di riordinamento (2.3) e (2.4) e sono analoghe, per cui dimostriamo solo la (5.13). Permutiamo ciclicamente gli elementi di (y_{1}, …, y_{n}) ottenendo i riordinamenti

(y_{1}, y_{2}, …, y_{n}), (y_{2}, y_{3}, …, y_{1}), … (y_{n}, y_{1}, …, y_{n−1}).

Applicando la (2.3) abbiamo le n disuguaglianze

x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + … + x_{n}y_{n} ≤ x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + … + x_{n}y_{n}
x_{1}y_{2} + x_{2}y_{3} + … + x_{n}y_{1} ≤ x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + … + x_{n}y_{n}
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x_{1}y_{n} + x_{2}y_{1} + … + x_{n}y_{n−1} ≤ x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + … + x_{n}y_{n}.

e sommandole membro a membro deduciamo

(x_{1} + x_{2} + … + x_{n})(y_{1} + y_{2} + … + y_{n}) ≤ n(x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + … + x_{n}y_{n}).

Allora la (5.13) segue dividendo per n^{2} .

6. Problemi

Problema 1. Dimostrare che 2^{n} > n per ogni numero naturale n.

Problema 2. Dimostrare che 1 + 2 + … + n = \frac{n(n + 1)}{2} per ogni n ≥ 2 .

Problema 3. Dimostrare che 1^{2} + 2^{2} + … + n^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} per ogni n ≥ 2 .

Problema 4. Trovare una formula del tipo 1^{3} + 2^{3} + … + n^{3} = P (n) per ogni n ≥ 2 , ove P è un polinomio di quarto grado a coefficienti razionali.

Problema 5. Dimostrare che a^{m+n} = a^{m}a^{n} per ogni a reale non nullo e m, n ∈ ℕ.

Problema 6. Dimostrare le due varianti del principio di induzione segnalate sopra. Si può procedere imitando la dimostrazione del Teorema 2.2 oppure applicando lo stesso teorema a successioni {q_{n}} opportune costruite a partire dalla {p_{n}} data.

Problema 7. Calcolare la somma s = 1 + 3 + 5 + … + 2001 dei numeri naturali dispari fino a 2001 .

Problema 8. Calcolare la somma s = 1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + … + 101^{2} dei quadrati dei numeri naturali dispari fino a 101^{2} .

Problema 9. Dimostrare, ragionando per induzione sul numero di lati, che ogni poligono convesso di n lati ha n(n − 3)/2 diagonali.

Problema 10. Dando per assodato il ben noto risultato sui triangoli, dimostrare, ragionando per induzione sul numero di lati, che la somma degli angoli interni di un poligono di n lati vale n − 2 angoli piatti.

Problema 11. Determinare i numeri naturali n ≥ 2 tali che 3^{n} > π_{n} , ove π_{n} denota il prodotto dei numeri naturali da 1 a n, giustificando bene la risposta.

Problema 12. Trovare l’errore nella dimostrazione che segue. Si pretende di dimostrare che tutte le ragazze sono bionde. Procediamo per induzione sul numero di ragazze dimostrando che, per ogni n ≥ 1 , prese comunque n ragazze, queste sono tutte bionde. Assunto il fatto come vero nel caso di n ragazze, deduciamo l’analogo con n + 1 al posto di n. Si prendano dunque n + 1 ragazze qualunque r_{1}, …, r_{n+1} . Si considerino le prime n, cioè r_{1}, …, r_{n} : per l’ipotesi di induzione queste sono tutte bionde. La stessa cosa avviene per le n ragazze r_{2}, …, r_{n+1} . Dunque tutte le n + 1 ragazze sono bionde. Il principio di induzione permette dunque di concludere.

Problema 13. Trovare l’errore nella dimostrazione che segue. Si pretende di dimostrare che ogni insieme finito possiede un elemento solo. Procediamo per induzione sul numero n degli elementi degli insiemi finiti considerati dimostrando che, per ogni n e per ogni insieme A di n elementi, tutti gli elementi di A sono uguali fra loro. Se n = 1 il fatto è vero, ovviamente. Supponiamo ora il fatto vero nel caso di n elementi e dimostriamo l’analogo con n + 1 al posto di n. Sia dunque A un insieme di n + 1 elementi e siano questi a_{1}, …, a_{n+1} . Si considerino i primi n elementi di A, cioè a_{1}, …, a_{n} : per l’ipotesi di induzione questi sono tutti uguali fra loro. La stessa cosa avviene per gli n elementi 16 Addestramento alle Olimpiadi della Matematica

a_{2}, …, a_{n+1} . Dunque tutti gli n + 1 elementi di A sono uguali fra loro. Il principio di induzione permette dunque di concludere. Problema 14. Dimostrare la disuguaglianza di Bernoulli

(1 + x)^{n} ≥ 1 + nx

per ogni n ∈ ℕ e x reale > −1 . Problema 15. Dimostrare che, fra i poligoni (convessi) di n lati inscritti in un cerchio dato, quelli che hanno perimetro massimo coincidono con quelli regolari e che la stessa cosa vale per quelli di area massima. Problema 16. Dimostrare le disuguaglianze

ab ≤ a^{2} + \frac{1}{4}b^{2},  ab^{2} ≤ \frac{1}{3}a^{3} + \frac{2}{3}b^{3}  e  ab^{2} ≤ \frac{64}{3}a^{3} + \frac{1}{12}b^{3}

per a, b reali positivi. Problema 17. Massimizzare l’area fra i rettangoli di perimetro assegnato. Problema 18. Minimizzare il perimetro fra i rettangoli di area assegnata. Problema 19. Massimizzare il volume dei parallelepipedi rettangoli dei quali è data la somma degli spigoli. Problema 20. Minimizzare la somma degli spigoli dei parallelepipedi rettangoli di volume assegnato. Problema 21. Minimizzare il perimetro dei rombi di area assegnata. Problema 22. Massimizzare l’area dei rombi di perimetro assegnato. Problema 23. Massimizzare l’area dei rettangoli inscritti in un cerchio dato. Problema 24. Minimizzare il raggio del cerchio circoscritto ai rettangoli di area assegnata. Problema 25. Minimizzare l’area dei rombi circoscritti a un cerchio dato. Problema 26. Minimizzare il perimetro dei rombi circoscritti a un cerchio dato. Problema 27. Massimizzare il volume di un parallelepipedo rettangolo inscritto in una sfera data. Problema 28. Dimostrare che se la somma di n numeri reali positivi è ≤ n allora il loro prodotto è ≤ 1 . Problema 29. Dimostrare che se la somma dei quadrati di n numeri reali positivi è ≤ n^{2} allora la somma dei numeri dati è ≤ \sqrt{n}. Problema 30. Dimostrare che se il prodotto di n numeri reali positivi è ≤ 1 allora la somma dei reciproci dei numeri dati è ≥ n.

Pavia, 26–28 settembre 2002 Induzione, medie, disuguaglianze 17

Problema 31. Siano α, β, γ > 0 tali che α + β + γ = 1 . Dimostrare che per ogni x, y, z > 0 vale la disuguaglianza

x + y + z ≥ x^{α}y^{β}z^{γ} + y^{α}z^{β}x^{γ} + z^{α}x^{β}y^{γ}

e che vale l’uguaglianza se e solo se x = y = z. Problema 32. Dimostrare che (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc per ogni a, b, c > 0 Problema 33. Massimizzare l’area totale di un parallelepipedo rettangolo inscritto in una sfera data. Problema 34. Massimizzare il volume di un parallelepipedo rettangolo di area totale assegnata. Problema 35. Minimizzare l’area totale di un parallelepipedo rettangolo di volume assegnato. Problema 36. Sia C un cilindro circolare retto di volume V e area totale A. Dimostrare che

A^{3} ≥ 54πV^{2}

e che vale l’uguaglianza se e solo se l’altezza di C è uguale al diametro di base. Problema 37. Siano x, y, z > 0 . Dimostrare che

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} ≥ \frac{2}{y + z} + \frac{2}{z + x} + \frac{2}{x + y} ≥ \frac{9}{x + y + z} .

Problema 38. Massimizzare xy sotto le condizioni x, y > 0 e x + 2y = 1 . Problema 39. Massimizzare x^{2}y sotto le condizioni x, y > 0 e x + 2y = 1 . Problema 40. Massimizzare x^{2}y^{3} sotto le condizioni x, y > 0 e 3x + 2y = 2 . Problema 41. Minimizzare 4x^{2} + 9y^{2} sotto le condizioni x, y > 0 e xy^{2} = 1 . Problema 42. Massimizzare xy sotto le condizioni x, y > 0 e (x + y)(x^{2} + y^{2}) = 1 . Problema 43. Siano x, y, z > 0 tali che x + y + z = 1 . Dimostrare che xy + xz + yz ≤ 1/3 . Problema 44. Siano x_{1}, …, x_{n} tali che 0 < x_{k} < 1 per k = 1, …, n e x_{1} +…+x_{n} = 1 . Dimostrare che

\frac{x_{1}}{1 − x_{1}} + … + \frac{x_{n}}{1 − x_{n}} ≥ \frac{n}{n − 1} .

Problema 45. Siano x_{1}, …, x_{n} reali positivi e sia (y_{1}, …, y_{n}) una permutazione di (x_{1}, …, x_{n}) . Dimostrare che vale la disuguaglianza

\frac{x_{1}}{y_{1}} + … + \frac{x_{n}}{y_{n}} ≥ n.

7. Soluzioni di alcuni problemi

Problema 4. s_{n} = \frac{1}{4}n^{2}(n + 1)^{2} .

Problema 6. Seguendo la seconda idea, nel caso della prima variante si pone q_{n} = p_{n+5} , mentre nel caso della seconda si pone q_{0} = p_{0} , q_{1} = p_{0} ∧ p_{1} , q_{2} = p_{0} ∧ p_{1} ∧ p_{2} , eccetera, ove ∧ sta per “e”.

Problema 7. s_{n} = 1 + 3 + … + (2n + 1) = (n + 1)^{2} (lo si dimostra per induzuione) per cui s = s_{1000} = 1001^{2} = 1.002.001 .

Problema 8. s_{n} = 1^{2} + 3^{2} + … + (2n + 1)^{2} = \frac{1}{2}(n + 1)(4n^{2} + 8n + 3) (lo si dimostra per induzuione) per cui s = s_{50} = 176.851 .

Problema 12. Innanzi tutto manca il controllo della prima ipotesi, diciamo della variante che corrisponde a iniziare da n = 1 , che è falsa. Per quanto riguarda la seconda, la dimostrazione pretende che fra le ragazze r_{1}, …, r_{n} e r_{2}, …, r_{n+1} ve ne sia una comune, il che è vero solo se n ≥ 2 .

Problema 13. La dimostrazione pretende che fra gli elementi a_{1}, …, a_{n} e gli elementi a_{2}, …, a_{n+1} ve ne sia uno comune, il che è vero solo se n ≥ 2 .

Problema 14. Usare il Principio di induzione.

Problema 15. Denotiamo con G il poligono, con P e A il suo perimetro e la sua area e con r il raggio del cerchio. Possiamo supporre che il centro sia interno a G (altrimenti si costruisce facilmente un poligono con perimetro e area maggiori). Congiungendo il centro con i vertici otteniamo n triangoli T_{1}, …, T_{n} . Per k = 1, …, n denotiamo con ℓ_{k} e h_{k} il lato di T_{k} che è anche lato di G e la relativa altezza (e anche le rispettive lunghezze) e chiamiamo α_{k} l’angolo opposto. Abbiamo allora

ℓ_{k} = 2r sin(α_{k}/2)  e  h_{k} = r cos(α_{k}/2)

da cui immediatamente

P = 2r(sin(α_{1}/2) + … + sin(α_{k}/2))

e anche

A = r^{2}(sin(α_{1}/2) cos(α_{1}/2) + … + sin(α_{n}/2) cos(α_{n}/2)) = \frac{r^{2}}{2} (sin α_{1} + … + sin α_{k}).

Per la disuguaglianza di Jensen applicata alla funzione f(x) = − sin x, 0 < x < π, (e cambiati poi i segni) abbiamo allora

P ≤ 2nr sin \frac{(α_{1}/2) + … + (α_{n}/2)}{n}  e  A ≤ \frac{nr^{2}}{2} sin \frac{α_{1} + … + α_{n}}{n} .

Induzione, medie, disuguaglianze 19 Ma α_{1} + … + α_{n} = 2π dato che il centro è interno a G. Dunque

P ≤ 2nr sin(π/n) e A ≤ \frac{nr^{2}}{2} sin(2π/n).

Siccome la scelta α_{1} = … = α_{n} realizza le uguaglianze, essa rende massimi perimetro e area. Allora ogni scelta che rende massimo il perimetro o massima l’area realizza l’uguaglianza corrispondente. Ma ciascuna delle due uguaglianze equivale all’uguaglianza nella corrispondente disuguaglianza di Jensen utilizzata, cioè al fatto che α_{1} = … = α_{n} (data la stretta convessità della funzione considerata), cioè al fatto che G è regolare. Problema 16. Sono disuguaglianze di Young applicate a multipli opportuni di a e b e con valori opportuni di ϑ_{1} e ϑ_{2} . Problema 17. G ≤ A sui lati: si ottiene il quadrato. Problema 18. G ≤ A sui lati: si ottiene il quadrato. Problema 19. G ≤ A sugli spigoli: si ottiene il cubo. Problema 20. G ≤ A sugli spigoli: si ottiene il cubo. Problema 21. G ≤ Q sulle semidiagonali: si ottiene il quadrato. Problema 22. G ≤ Q sulle semidiagonali: si ottiene il quadrato. Problema 23. G ≤ Q sui lati: si ottiene il quadrato. Problema 24. G ≤ Q sui lati: si ottiene il quadrato. Problema 25. G ≤ A sulle due parti in cui un lato è suddiviso dal punto di tangenza: si ottiene il quadrato. Problema 26. G ≤ A sulle due parti in cui un lato è suddiviso dal punto di tangenza: si ottiene il quadrato. Problema 27. G ≤ Q sugli spigoli: si ottiene il cubo. Problema 28. G ≤ A Problema 29. A ≤ Q Problema 30. Usare la (4.4) e H ≤ G , oppure G ≤ A sui reciproci. Problema 31. Applicare la disuguaglianza di Young ai tre prodotti del secondo membro e sommare. Gianni Gilardi 20 Addestramento alle Olimpiadi della Matematica Problema 32. G ≤ A a due a due, poi moltiplicare. Problema 33. G ≤ Q sugli spigoli a due a due, poi sommare: si ottiene il cubo. Problema 34. G ≤ Q sulle aree delle facce a due a due, poi sommare: si ottiene il cubo. Problema 35. G ≤ Q sulle aree delle facce a due a due, poi sommare: si ottiene il cubo. Problema 36. Siano r il raggio e h l’altezza. Allora

V = πr^{2}h e A = 2πr^{2} + 2πrh.

Dalla disuguaglianza G ≤ A abbiamo

G(r, h/2, h/2) ≤ A(r, h/2, h/2), cioè (r \frac{h^{2}}{4} )^{1/3} ≤ \frac{r + h}{3}

e deduciamo successivamente

r (r \frac{h^{2}}{4} )^{1/3} ≤ r \frac{r + h}{3} , 4^{−1/3}(r^{2}h)^{2/3} ≤ \frac{r^{2} + rh}{3}, 4^{−1/3}(V/π)^{2/3} ≤ \frac{A}{6π} .

Elevando al cubo e riordinando si ha la relazione voluta. L’uguaglianza in tale relazione equivale all’uguaglianza nella disuguaglianza G ≤ A usata sopra, dunque all’uguaglianza r = h/2 , cioè a h = 2r. Problema 37. Dalla (4.4) e H ≤ A risulta

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2A(1/x, 1/y) = \frac{2}{H(x, y)} ≥ \frac{2}{A(x, y)} = \frac{4}{x + y} .

Trovate le altre due disuguaglianze analoghe e sommando membro a membro si deduce facilmente la prima delle disuguaglianze da dimostrare. Per la seconda usiamo ancora la (4.4) e H ≤ A e otteniamo

\begin{matrix}\frac{2}{y + z} + \frac{2}{z + x} + \frac{2}{x + y} = 3A (\frac{2}{y + z} , \frac{2}{z + x}, \frac{2}{x + y} ) \\ = \frac{3}{H (\frac{y+z}{2} , \frac{z+x}{2}, \frac{x+y}{2} )} ≥ \frac{3}{A (\frac{y+z}{2} , \frac{z+x}{2}, \frac{x+y}{2} )} = \frac{9}{x + y + z} . \end{matrix}

Problema 38. Applicare G ≤ A a x e 2y. Problema 39. Applicare G ≤ A a x/2 , x/2 e 2y. Problema 40. Applicare G ≤ A a 3x/2 , 3x/2 , 2y/3 , 2y/3 e 2y/3 .

Pavia, 26–28 settembre 2002 Problema 41. Applicare A ≥ G ai numeri 4x^{2} , 9y^{2}/2 e 9y^{2}/2 .

Problema 42. Usiamo le abbreviazioni a, g e q per le medie aritmetica, geometrica e quadratica di x e y. La quantità da massimizzare è g^{2} mentre il vincolo diventa aq^{2} = 1/4 . Cerchiamo allora di usare contemporaneamente le due disuguaglianze g ≤ a e g ≤ q, con l’accortezza di far comparire una potenza di aq^{2} al secondo membro. Occorre dunque decomporre g^{2} in modo astuto. Abbiamo

xy = g^{2} = g^{2/3} · g^{4/3} ≤ a^{2/3} · q^{4/3} = (aq^{2})^{2/3} = (1/4)^{2/3} = 2^{−4/3}

e il valore 2^{−4/3} si raggiunge se si riesce a ottenere l’uguaglianza in entrambe le disuguaglianze usate. Ma ciò avviene quando x = y, se possibile. Abbinando l’equazione x = y al vincolo aq^{2} = 1/4 si vede facilmente che si trova una (unica) soluzione: x = y = 2^{−2/3} .

Problema 43. Sia S = xy + xz + yz. Allora

1 = (x + y + z)^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2S = 3(Q(x, y, z))^{2} + 2S

da cui

S ≤ \frac{1}{2} − \frac{3}{2}(Q(x, y, z))^{2}.

Ma Q(x, y, z) ≥ A(x, y, z) = 1/3 da cui facilmente la tesi.

Problema 44. Poniamo y_{k} = 1 − x_{k} . Allora 0 < y_{k} < 1 per k = 1, …, n e y_{1} + … + y_{n} = n − 1 . Usando la (4.4) e H ≤ A otteniamo allora

\frac{x_{1}}{1 − x_{1}} + … + \frac{x_{n}}{1 − x_{n}} = \frac{1 − y_{1}}{y_{1}} + … + \frac{1 − y_{n}}{y_{n}}

\frac{1}{y_{1}} + … + \frac{1}{y_{n}} − n = nA(1/y_{1}, …, 1/y_{n}) − n = \frac{n}{H(y_{1}, …, y_{n})} − n

≥ \frac{n}{A(y_{1}, …, y_{n})} − n = \frac{n}{\frac{n−1}{n}} − n = \frac{n}{n − 1} .

Problema 45. Cambiando, se occorre, l’ordine degli addendi ci si riconduce al caso in cui x_{1} ≤ … ≤ x_{n} . Allora 1/x_{1} ≥ … ≥ 1/x_{n} . D’altra parte (1/y_{1}, …, y_{n}) è un riordinamento di (1/x_{2}, …, 1/x_{n}) e la seconda disuguaglianza di riordinamento fornisce

\frac{x_{1}}{y_{1}} + … + \frac{x_{n}}{y_{n}} = x_{1} \frac{1}{y_{1}} + … + x_{n} \frac{1}{y_{n}} ≥ x_{1} \frac{1}{x_{1}} + … + x_{n} \frac{1}{x_{n}} = n.