Forme differenziali lineari

Gianni Gilardi

Queste pagine riguardano le forme differenziali lineari. Il centro della trattazione verte sulle condizioni necessarie e sufficienti per l’esattezza e sulla connessione fra le nozioni di forma esatta e di forma chiusa. Limitatamente al caso tridimensionale riformuliamo poi in termini di campi vettoriali i risultati ottenuti per le forme differenziali. Infine dedichiamo gli ultimi paragrafi a un cenno sul problema del potenziale vettore e a qualche applicazione della teoria svolta.

I risultati che presentiamo si basano su vari concetti collegati, come quelli di cammino e di circuito, di integrale di una forma differenziale lungo un cammino e di omotopia fra circuiti, sui quali ci soffermiamo con sufficiente dettaglio. Riguardo al concetto di cammino, mostriamo come esso renda, in modo completamente rigoroso, l’idea intuitiva di “percorso con istruzioni sulla percorrenza”. La nozione di omotopia fra circuiti, inizialmente presentata in una forma vicina a quella usualmente data nei corsi di Topologia algebrica, viene poi utilizzata in questioni che necessitano di una regolarità superiore alla continuità. Tutto ciò ci porta a uno sviluppo dell’argomento di una certa corposità e a operazioni di regolarizzazione talora particolarmente complicate. Le relative dimostrazioni, tuttavia, possono essere lasciate dal lettore in secondo piano. Nonostante tutto la trattazione si mantiene a un livello sostanzialmente elementare.

1. Il duale dello spazio euclideo

Se V e W sono due spazi vettoriali reali, possiamo considerare l’insieme, che denotiamo con Hom(V; W), di tutte le applicazioni lineari L : V → W, dette comunemente anche operatori lineari. Ricordiamo che questo ha una struttura naturale di spazio vettoriale: la somma di due elementi L_{1}, L_{2} ∈ Hom(V; W) e il prodotto di L ∈ Hom(V; W) per lo scalare α ∈ ℝ sono le applicazioni L_{1} + L_{2} e αL definite rispettivamente dalle formule

(L_{1} + L_{2})(v) = L_{1}v + L_{2}v e (αL)(v) = αLv per v ∈ V .  (1.1)

La cosa funziona in quanto tali applicazioni effettivamente sono lineari, come si verifica subito. Dopo di che si controlla senza alcuna difficoltà che Hom(V; W), munito di tali operazioni, diventa uno spazio vettoriale reale.

1.1. Definizione. Se V è uno spazio vettoriale reale, lo spazio vettoriale reale Hom(V; ℝ) si chiama duale di V e viene denotato con V^{∗}. Gli elementi di V^{∗} vengono detti funzionali lineari, o forme lineari, su V e l’applicazione ⟨ · , · ⟩ : V^{∗} × V → ℝ che a ogni coppia (f, v) ∈ V^{∗} × V associa il valore f(v) si chiama dualità fra V^{∗} e V .

Più propriamente V^{∗} è detto duale algebrico di V . Per quanto riguarda la dualità, detta anche prodotto di dualità, osserviamo che, proprio per definizione, abbiamo

⟨f, v⟩ = f(v) per ogni f ∈ V^{∗} e per ogni v ∈ V  (1.2)

e che essa è un’applicazione bilineare di V^{∗} × V in ℝ, cioè, come si usa dire, una forma bilineare su V^{∗} × V . La linearità nel primo argomento è vera per la definizione stessa di somma in V^{∗} e di prodotto di un elemento di V^{∗} per uno scalare (casi particolari di (1.1)). La linearità nel secondo argomento è pure banalmente vera. Fissato infatti f ∈ V^{∗}, l’applicazione v ↦ ⟨f, v⟩ di cui dobbiamo controllare la linearità coincide con il funzionale lineare f per definizione di ⟨ · , · ⟩. Nel risultato fondamentale successivo e nel seguito usiamo i simboli di Kronecker δ_{ij} definiti da

δ_{ii} = 1 e δ_{ij} = 0 se i ≠ j .  (1.3)

1.2. Teorema. Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione finita. Allora anche lo spazio duale V^{∗} ha dimensione finita e si ha dim V^{∗} = dim V . Più precisamente, se V ha dimensione n finita positiva e se B = {e_{1}, …, e_{n}} è una base di V , allora esiste una base B^{∗} = {e^{1}, …, e^{n}} di V^{∗} tale che

⟨e^{i}, e_{j}⟩ = δ_{ij} per i, j = 1, …, n.  (1.4)

Dimostrazione. Se V = {0} allora, banalmente, V^{∗} si riduce al solo funzionale nullo. Dunque entrambi gli spazi hanno dimensione nulla. Supponiamo ora dim V = n > 0 (e finita) e sia B = {e_{1}, …, e_{n}} una base di V . Per i = 1, …, n consideriamo l’applicazione e^{i} : V → ℝ definita dalla condizione: per ogni v ∈ V , e^{i}(v) è la i-esima coordinata di v rispetto alla base B, cioè

e^{i}(v) = v_{i} se v = ∑_{j=1}^{n} v_{j}e_{j} con v_{1}, …, v_{n} ∈ ℝ.  (1.5)

Allora si verifica immediatamente che e^{i} ∈ V^{∗} e che vale la (1.4). Rimane da controllare che B^{∗} = {e^{1}, …, e^{n}} è una base di V^{∗}. Sia f ∈ V^{∗}. Rappresentato il generico v ∈ V come nella (1.5) e posto c_{j} = ⟨f, e_{j}⟩ per j = 1, …, n, abbiamo per ogni v ∈ V

⟨f, v⟩ = ⟨f, ∑_{j=1}^{n} v_{j}e_{j}⟩ = ∑_{j=1}^{n} v_{j} ⟨f, e_{j}⟩ = ∑_{j=1}^{n} c_{j}v_{j} = ∑_{j=1}^{n} c_{j} ⟨e^{j}, v⟩ = ⟨∑_{j=1}^{n} c_{j}e^{j}, v⟩

da cui f = ∑_{j=1}^{n} c_{j}e^{j}. Ciò mostra che B^{∗} genera V^{∗}. Supponiamo ora che ∑_{j=1}^{n} c_{j}e^{j} = 0 per certi c_{j} ∈ ℝ e dimostriamo che tali coefficienti sono tutti nulli. Per i = 1, …, n abbiamo subito

0 = ⟨0, e_{i}⟩ = ⟨∑_{j=1}^{n} c_{j}e^{j}, e_{i}⟩ = ∑_{j=1}^{n} c_{j} ⟨e^{j}, e_{i}⟩ = ∑_{j=1}^{n} c_{j}δ_{ji} = c_{i} .

Siccome un funzionale f ∈ V^{∗} è noto non appena sono noti i valori che esso assume sugli elementi di una base di V , segue che le condizioni (1.4) individuano univocamente tutti i funzionali e^{i}. Dunque la base {e^{1}, …, e^{n}} è unica e risulta giustificata la definizione che segue.

1.3. Definizione. Nelle condizioni del Teorema 1.2, la base B^{∗} è detta duale della base B.

1.4. Osservazione. Ricordiamo che ogni forma bilineare sul prodotto V × W di due spazi di dimensione finita, cioè un’applicazione bilineare di V × W in ℝ, si rappresenta per mezzo di una matrice non appena siano state fissate le basi negli spazi V e W. Vediamo che accade quando W = V^{∗} e la base di V^{∗} è la duale di una base fissata di V . Rappresentati il generico vettore v ∈ V e il generico funzionale f ∈ V^{∗} per mezzo di B e di B^{∗} rispettivamente, abbiamo

v = ∑_{i=1}^{n} v_{i}e_{i} , f = ∑_{i=1}^{n} f_{i}e^{i} e ⟨f, v⟩ = ∑_{i,j=1}^{n} f_{i}v_{j} ⟨e^{i}, e_{j}⟩ = ∑_{i=1}^{n} f_{i}v_{i} .  (1.6)

Cioè la matrice che rappresenta il prodotto di dualità è la matrice identità.

Nel caso V = ℝ^{n} la base canonica è privilegiata rispetto alle altre. La sua base duale agisce come segue ⟨e^{i}, v⟩ = v_{i} se v = (v_{1}, …, v_{n}) ∈ ℝ^{n}, per i = 1, …, n. Semplifichiamo il linguaggio:

1.5. Definizione. La base duale della base canonica di ℝ^{n} è detta base canonica di (ℝ^{n})^{∗}.

Se {e^{1}, …, e^{n}} è la base canonica in (ℝ^{n})^{∗}, conviene poi definire |f| mediante la formula

|f|^{2} = ∑_{i=1}^{n} f_{i}^{2} se f = ∑_{i=1}^{n} f_{i}e^{i} ∈ (ℝ^{n})^{∗}  (1.7)

così che la disuguaglianza di Schwarz in ℝ^{n} applicata alla (1.6) fornisce

| ⟨f, v⟩ | ≤ |f| |v| per ogni f ∈ (ℝ^{n})^{∗} e v ∈ ℝ^{n} .  (1.8)

Ricorrere alla base duale può essere comodo in varie situazioni. Abbiamo ad esempio

⟨f, ∫_{a}^{b} v(t) dt⟩ = ∫_{a}^{b} ⟨f, v(t)⟩ dt per ogni f ∈ (ℝ^{n})^{∗} e v : [a, b] → ℝ^{n} integrabile.  (1.9)

Basta infatti scrivere v(t) = ∑_{i=1}^{n} v_{i}(t) e_{i} e f = ∑_{i=1}^{n} f_{i}e^{i} e usare la (1.6).

2. Forme differenziali

Un esempio importante di elemento del duale (ℝ^{n})^{∗} di ℝ^{n} è il differenziale df(x) in un punto x di una funzione reale f definita in un aperto di ℝ^{n} contenente x e differenziabile in x. Infatti df(x) è un’applicazione lineare da ℝ^{n} in ℝ, cioè un elemento di (ℝ^{n})^{∗} appunto. Ora, proprio questo esempio suggerisce una notazione. Partiamo dal caso n = 1 e dalla notazione di Leibniz per la derivata: f′(x) = df(x)/dx. Eliminando i denominatori senza preoccuparsi troppo, si ottiene df(x) = f′(x) dx. Ma se interpretiamo il primo membro proprio come il differenziale di f in x, il quale è l’applicazione h ↦ f′(x)h di ℝ in ℝ, siamo indotti ad attribuire a dx il significato seguente: dx è l’applicazione h ↦ h di ℝ in ℝ, cioè l’unico elemento della base canonica di ℝ^{∗}.

2.1. Definizione. Se si denota con x = (x_{1}, …, x_{n}) la variabile in ℝ^{n}, allora la base canonica di (ℝ^{n})^{∗}, duale della base canonica di ℝ^{n}, si denota con {dx_{1}, …, dx_{n}}.

Naturalmente, se si sceglie una notazione diversa per la variabile in ℝ^{n}, si usa la notazione corrispondente per la base canonica di (ℝ^{n})^{∗}. Ad esempio, se si denota con (x, y, z) la variabile in ℝ^{3} , la base canonica di (ℝ^{3})^{∗} sarà {dx, dy, dz}. Con la notazione standard abbiamo

dx_{i} ∈ (ℝ^{n})^{∗} e ⟨dx_{i}, h⟩ = h_{i} per ogni h = (h_{1}, …, h_{n}) ∈ ℝ^{n} .  (2.1)

Torniamo al caso del differenziale, ora nel caso n generico. Se denotiamo con D_{i}f(x) le derivate parziali di f in x, allora sappiamo che

⟨df(x), h⟩ = ∑_{i=1}^{n} D_{i}f(x) h_{i} per ogni h = (h_{1}, …, h_{n}) ∈ ℝ^{n} .

Combinando con la (2.1), otteniamo ⟨df(x), h⟩ = ∑_{i=1}^{n} D_{i}f(x) ⟨dx_{i}, h⟩ per ogni h ∈ ℝ^{n}, da cui

df(x) = ∑_{i=1}^{n} D_{i}f(x) dx_{i} .  (2.2)

Questa è la notazione standard usata per il differenziale quando lo si vuole esprimere in termini di derivate parziali. Va però detto che, spesso, soprattutto presso i non matematici, il termine dx_{i} viene interpretato come l’incremento della variabile i-esima anziché come elemento di (ℝ^{n})^{∗}.

Corrispondentemente, il primo membro della (2.2) viene letto come l’incremento che f subisce di conseguenza, quando si trascuri l’infinitesimo di ordine superiore che costituisce il resto dello sviluppo del prim’ordine. La formula corretta è invece

Δf(x) = ∑_{i=1}^{n} D_{i}f(x) Δx_{i} + o(|Δx|) ove Δf(x) = f(x + Δx) − f(x)

nella quale si è semplicemente scritto Δx anziché h e che resta simile all’interpretazione scorretta della formula (2.2), di fatto corretta. Tutto ciò ha origini storiche, legate in parte a una visione non standard ma imprecisa dell’Analisi matematica (cioè alla Leibniz, versione antica della cosiddetta Analisi non standard) e in parte alla confusione, nelle notazioni, fra funzione e valore assunto dalla funzione stessa. Noi daremo invece ai vari termini il significato che essi devono avere.

Riprendiamo la (2.2) e lasciamo variare x: otteniamo una famiglia di elementi di (ℝ^{n})^{∗} dipendenti dal parametro x. Ciò viene formalizzato diversamente nella definizione successiva, nella quale interviene l’aggettivo differenziale. Ciò viene dai casi concreti, come quello del differenziale appunto.

2.2. Definizione. Sia Ω un aperto di ℝ^{n}. Un’applicazione ω : Ω → (ℝ^{n})^{∗} viene detta forma differenziale lineare in Ω, oppure 1-forma in Ω.

2.3. Esempio (il differenziale). Naturalmente l’esempio primo è ω = df, il differenziale di una funzione f : Ω → ℝ differenziabile (in ogni punto). In tal caso, l’elemento ω(x) ∈ (ℝ^{n})^{∗} che ω associa al punto x ∈ Ω, è proprio il differenziale df(x) di f in x. Si noti dunque la differenza fra df e df(x) nelle notazioni: df è una forma differenziale, cioè un’applicazione di Ω in (ℝ^{n})^{∗}, mentre, quando x ∈ Ω è fissato, df(x) è il differenziale di f in x, dunque un elemento di (ℝ^{n})^{∗}.

Se n = 1 tutte le forme differenziali ragionevoli sono differenziali di funzioni. Vedremo che, invece, la situazione è completamente diversa se n > 1. La ragionevolezza di cui sopra è semplicemente una condizione di regolarità. Questo concetto è precisato in generale nella definizione data di seguito. Osserviamo preliminarmente che ogni forma differenziale (d’ora in poi omettiamo l’aggettivo “lineare” per brevità) si rappresenta come

ω = ∑_{i=1}^{n} ω_{i} dx_{i} con ω_{i} : Ω → ℝ per i = 1, …, n  (2.3)

ove le funzioni ω_{i}, dette coefficienti di ω, sono univocamente determinate. Infatti {dx_{1}, …, dx_{n}} è una base di (ℝ^{n})^{∗}. Nella definizione che segue k è un intero ≥ 0 oppure il simbolo ∞.

2.4. Definizione. Siano Ω un aperto di ℝ^{n} e ω : Ω → (ℝ^{n})^{∗} una forma differenziale. Diciamo che ω è di classe C^{k} quando sono di classe C^{k} tutti i suoi coefficienti ω_{i} dati dalla (2.3).

Notiamo che, se si usasse in (ℝ^{n})^{∗} una base diversa dalla base canonica, si avrebbero diversi coefficienti della forma differenziale. La condizione di regolarità C^{k}, tuttavia, potrebbe essere espressa in modo equivalente mediante i coefficienti nuovi, dato che i legami fra questi ultimi e quelli canonici sono lineari.

Poco sopra abbiamo anticipato i legami, veri o falsi, fra le nozioni di forma differenziale e di differenziale di una funzione. Per sviscerare queste relazioni occorre sviluppare la teoria dell’integrazione delle forme differenziali. Questa è l’oggetto dei paragrafi successivi.

3. Cammini, archi e circuiti

Al lettore è noto il concetto di integrale di linea rispetto alla lunghezza d’arco. In tal caso il dominio dell’integrazione è un arco di curva, dunque un oggetto tipicamente geometrico. Nella teoria delle forme differenziali è invece opportuno assumere come “domini di integrazione” oggetti di natura diversa, anche se collegati con le curve geometriche, e le scelte su come procedere possono essere varie. Talora si prendono direttamente funzioni che, in ipotesi di iniettività, potrebbero essere chiamate parametrizzazioni di curve. Così facendo, tuttavia, nel caso di funzioni non iniettive si resta piuttosto lontani dalla nozione consueta di integrale di linea. Inoltre verrebbero ritenute distinte, ad esempio, due parametrizzazioni di uno stesso segmento S solo perché questo viene percorso con velocità diverse nei due casi e sarebbero completamente ingiustificate rappresentazioni grafiche del tipo “segmento con freccia” (che indichi il verso di percorrenza). Dunque procederemo in modo diverso, introducendo oggetti che potremmo ragionevolmente chiamare curve orientate eventualmente intrecciate e ripiegate su se stesse oppure percorsi con istruzioni sulla percorrenza. Noi useremo il termine cammino, specializzandolo poi in arco e circuito, anche se, altrove, ad esempio in corsi di Topologia, queste parole vengono spesso intese con significato diverso.

L’introduzione rigorosa del concetto di cammino richiede un po’ di lavoro, innanzi tutto la scelta del livello di regolarità. Per i nostri scopi la sola continuità non basta. D’altra parte la regolarità C^{1} è poco opportuna, come sarà chiaro in seguito. Un buon compromesso è la regolarità C^{1} a tratti, la quale consente di sviluppare la trattazione rimanendo a un livello ancora elementare.

3.1. Definizione. Una funzione u : [a, b] → ℝ^{N} è di classe C^{1} a tratti quando esistono punti t_{0}, …, t_{m} ∈ [a, b] in numero finito verificanti a = t_{0} < t_{1} < … < t_{m} = b e

u|_{[t_{k−1},t_{k}]} è di classe C^{1} , per k = 1, …, m.  (3.1)

Naturalmente, le derivate in t_{k−1} e in t_{k} della restrizione di u a [t_{k−1}, t_{k}] sono la derivata destra u′_{+}(t_{k−1}) e la derivata sinistra u′_{−}(t_{k}) di u.

3.2. Osservazione. Per la regolarità C^{1} a tratti abbiamo le proprietà seguenti:

i) ogni funzione di classe C^{1} a tratti è continua;
ii) la composizione di una C^{1} a tratti con una C^{1} a tratti reale monotona è C^{1} a tratti;
iii) per le funzioni di classe C^{1} a tratti vale la formula fondamentale del calcolo.

Nella ii) si pensa a una situazione del tipo u = v ∘ φ ove φ : [a, b] → [a′, b′] e v : [a′, b′] → ℝ^{n} sono di classe C^{1} a tratti (nel senso della definizione data con N = 1 e N = n rispettivamente) e φ è monotona. Un commento sulla iii). Se u : [a, b] → ℝ^{N} è di classe C^{1} a tratti, la derivata u′ non è ovunque definita. Tuttavia tutti i suoi prolungamenti a tutto [a, b] sono integrabili (secondo Riemann) e hanno lo stesso integrale, il quale, infatti, non dipende dal valore attribuito al prolungamento nei punti t_{1}, …, t_{m−1} (con la notazione (3.1)), che sono in numero finito. Pertanto l’integrale di u′ ha senso. Controlliamo la validità della formula

∫_{α}^{β} u′(t) dt = u(β) − u(α) per ogni α, β ∈ [a, b].  (3.2)

Se, per un certo k, si ha α, β ∈ [t_{k−1}, t_{k}], allora la formula vale perché la restrizione di u a [t_{k−1}, t_{k}] è di classe C^{1} . Nel caso opposto, tuttavia, la (3.2) continua a valere. Supponiamo, per fissare le idee, che t_{0} ≤ α < t_{1} < β ≤ t_{2} . Allora

∫_{α}^{t_{1}} u′(t) dt = u(t_{1}) − u(α) e ∫_{t_{1}}^{β} u′(t) dt = u(β) − u(t_{1})

per quanto appena visto e, sommando, otteniamo la formula richiesta. Naturalmente, per le funzioni di classe C^{1} a tratti, valgono anche le formule collegate con la formula fondamentale del calcolo, come quelle di integrazione per parti e per sostituzione.

Introduciamo ora la classe delle funzioni da considerare ammissibili, che successivamente chiameremo parametrizzazioni di cammini (da cui la scelta della lettera P nella definizione che segue). Si noti che ciascuna di esse è una funzione di classe C^{1} a tratti.

3.3. Definizione. Denotiamo con P(ℝ^{n}) l’insieme delle funzioni u : I → ℝ^{n} tali che I è un intervallo compatto [a, b] ed esistono punti t_{0}, …, t_{m} verificanti a = t_{0} < t_{1} < … < t_{m} = b e tali che ciascuna delle restrizioni u|_{[t_{k−1},t_{k}]} sia di classe C^{1} con derivata mai nulla.

3.4. Definizione. Siano u : [a, b] → ℝ^{n} e v : [a′, b′] → ℝ^{n} due elementi di P(ℝ^{n}). Diciamo che u e v sono equivalenti quando esiste una funzione φ : [a, b] → [a′, b′] biiettiva, crescente e di classe C^{1} a tratti con la sua inversa tale che u = v ∘ φ.

L’equivalenza definita in tal modo è effettivamente una relazione di equivalenza in P(ℝ^{n}). A tale proposito notiamo solo che la proprietà simmetrica dipende dal fatto che, con la notazione della definizione data, abbiamo imposto la stessa regolarità a φ e a φ^{−1} . Valgono inoltre le affermazioni seguenti, di controllo immediato: i) due funzioni equivalenti hanno la stessa immagine (ma non viceversa); ii) con le notazioni della Definizione 3.4, se u e v sono equivalenti, allora u(a) = v(a′) e u(b) = v(b′). Resta pertanto giustificata la definizione seguente:

3.5. Definizione. Poniamo C(ℝ^{n}) = P(ℝ^{n})/ ∼, ove ∼ è la relazione di equivalenza della Definizione 3.4 e chiamiamo cammino in ℝ^{n} ciascuno degli elementi di C(ℝ^{n}). Se C ∈ C(ℝ^{n}) è un cammino e u : [a, b] → ℝ^{n} è un elemento di C, introduciamo la nomenclatura seguente:

i) u è una parametrizzazione di C;
ii) il sostegno di C è l’immagine di u;
iii) il primo estremo di C e il secondo estremo di C sono i due punti u(a) e u(b) rispettivamente.

Diciamo poi che un cammino C è un circuito quando i suoi estremi coincidono e che C è un arco in caso contrario.

3.6. Osservazione. Notiamo che il sostegno di un cammino non può mai essere ridotto a un solo punto, in quanto le funzioni costanti non appartengono a P(ℝ^{n}). Torneremo su questo punto.

3.7. Definizione. Sia C un cammino di ℝ^{n}. Se k > 0 è intero o k = ∞, diciamo che C è di classe C^{k} quando ha almeno una parametrizzazione di classe C^{k}. Se Ω è un aperto di ℝ^{n}, diciamo poi che C è un cammino di Ω quando il suo sostegno è incluso in Ω.

3.8. Esempio (il segmento orientato). Se x, y ∈ ℝ^{n}, la funzione u : [0, 1] → ℝ^{n} data dalla formula u(t) = x + t(y − x) è di classe C^{∞} e appartiene a P(ℝ^{n}) se x e y sono distinti (Osservazione 3.6). In tal caso essa individua un cammino in ℝ^{n} (la sua classe di equivalenza) di classe C^{∞}. Chiameremo tale cammino il segmento (orientato) che congiunge x a y e useremo la notazione [x, y]. Il sostegno di [x, y] è l’usuale segmento di estremi x e y. Il primo estremo e il secondo estremo di [x, y] sono i punti u(0) = x e u(1) = y rispettivamente. Se si interpreta la variabile t come tempo, il punto u(t) percorre il sostegno partendo da x e arrivando a y con moto uniforme in un intervallo di tempo unitario. Posto L = |y − x|, un’altra parametrizzazione di [x, y] è data dalla formula v(s) = x + (s/L)(y − x), s ∈ [0, L]. Abbiamo infatti u(t) = v(Lt) per t ∈ [0, 1], cioè u = v ∘ φ ove φ(t) = Lt per t ∈ [0, 1], e φ : [0, 1] → [0, L] è addirittura di classe C^{∞}, biiettiva e crescente con la sua inversa, data da φ^{−1}(s) = s/L per s ∈ [0, L]. L’analoga interpretazione cinematica vede il punto v(s) percorrere il sostegno partendo da x a y con moto uniforme e velocità unitaria. Infatti v′(s) = (y − x)/L da cui |v′(s)| = 1. Si noti che il parametro s ha anche il significato di distanza del punto v(s) dal primo estremo x. Una terza parametrizzazione di [x, y], meno regolare, è la funzione w : [0, 1] → ℝ^{n} data dalla formula w(t) = u(ψ(t)) ove ψ(t) = max{t/2, 2t − 1}. Si noti che ψ : [0, 1] → [0, 1] effettivamente è biiettiva, crescente, di classe C^{1} a tratti con l’inversa. Il punto mobile parte da x, procede con velocità (y −x)/2 fino all’istante t = 2/3 e prosegue poi con velocità 2(y −x) fino a raggiungere y.

3.9. Esempio (la circonferenza ripercorsa). Se x_{0} ∈ ℝ^{2} e r e T sono due numeri reali positivi, la funzione u : [0, T] → ℝ^{2} data dalla formula u(t) = x_{0} + r(cos t, sin t), t ∈ [0, T], appartiene a P(ℝ^{2}) e quindi individua un cammino C ∈ C(ℝ^{2}). Se T < 2π, la funzione u è iniettiva. Se invece T ≥ 2π, allora non lo è e il sostegno di C è l’intera circonferenza di centro x_{0} e raggio r, indipendentemente dal valore T. Il primo estremo di C è x_{0} + r(1, 0) e il secondo è il punto x_{0} + r(cos T, sin T). In particolare C è un circuito se e solo T è multiplo di 2π. Se T = 2nπ con n intero positivo, diciamo che C è la circonferenza di centro x_{0} e raggio r percorsa n volte in senso antiorario. Notiamo che questo modo di dire nasconde chi siano gli estremi (primo e secondo, in questo caso coincidenti). Tuttavia esso è di uso corrente.

3.10. Esempio. Anche la funzione u : [−π, π] → ℝ^{2} data dalla formula u(t) = (cos t, | sin t|) per t ∈ [−π, π] appartiene a P(ℝ^{2}) e quindi individua un cammino C ∈ C(ℝ^{2}). Gli estremi sono u(±π) e coincidono con (−1, 0). In particolare C è un circuito. Il sostegno S di C è la semicirconferenza costituita dai punti della circonferenza unitaria (cioè di centro (0, 0) e raggio 1) aventi ordinata non negativa. Se interpretiamo t come tempo e u(t) come punto mobile, vediamo che u(t) parte da (−1, 0) e inizia a percorrere S in modo che la sua ascissa cresca, fino all’istante t = 0, nel quale esso si trova nella posizione (1, 0). Poi inverte il senso di percorrenza fino a tornare a (−1, 0). Potremmo dire che C è S percorso prima verso destra e poi verso sinistra.

Nei due esempi precedenti, abbiamo usato modi di dire che non fanno intervenire la velocità con la quale il sostegno è percorso. Si intuisce che ciò è conforme con il concetto di cammino: l’equivalenza della Definizione 3.4, infatti, dichiara equivalenti due funzioni che, pur con velocità diverse, individuano “lo stesso modo” di percorrere il sostegno. Questo fatto sarà molto più chiaro tra breve. Il risultato che dimostreremo, in particolare, ci assicurerà che il concetto di cammino è meno complesso di quanto si potesse immaginare all’inizio. Conviene premettere qualche semplice considerazione e alcune definizioni.

Supponiamo che un cammino C abbia una parametrizzazione iniettiva u : [a, b] → ℝ^{n}. Siccome tutte le altre parametrizzazioni hanno la forma u∘φ con φ biiettiva da un certo intervallo [α, β] su [a, b], anch’esse sono tutte iniettive. Per un motivo analogo, se è iniettiva la restrizione di u ad [a, b) e v : [α, β] → ℝ^{n} è equivalente a u, è iniettiva anche la restrizione di v ad [α, β). Resta dunque giustificata la prima delle definizioni che diamo di seguito.

3.11. Definizione. Un cammino C è semplice quando verifica una delle condizioni seguenti:

i) le parametrizzazioni di C sono iniettive; ii) C è un circuito e, se u : [a, b] → ℝ^{n} è una sua parametrizzazione, la restrizione di u ad [a, b) è iniettiva.

Ad esempio, sono semplici il segmento orientato e la circonferenza unitaria di ℝ^{2} percorsa una volta in senso antiorario (Esempio 3.9). Essi sono un arco e un circuito semplici rispettivamente. Esempi di cammini non semplici sono quello dell’Esempio 3.9 con T > 2π e quello dell’Esempio 3.10. Non è semplice nemmeno il cammino individuato da una parametrizzazione u : [0, 2] → ℝ^{n} regolare con derivata mai nulla che verifica quanto segue: la restrizione di u a [0, 2) è iniettiva ma u(2) = u(1). Infatti non è vericata nessuna delle due condizioni della Definizione 3.11.

Dalla definizione di cammino segue subito che, prefissati un cammino C e un intervallo compatto [a, b], esiste una parametrizzazione di C avente [a, b] come dominio. Fissata infatti una parametrizzazione qualunque u : [α, β] → ℝ^{n} di C, basta prendere u ∘ φ ove φ è il polinomio di primo grado che verifica φ(a) = α e φ(b) = β. Nella definizione successiva si fa appunto riferimento alla possibilità di scegliere il dominio della parametrizzazione.

3.12. Definizione. Siano Ω un aperto di ℝ^{n}, C_{1} e C_{2} due cammini di Ω tali che il secondo estremo di C_{1} coincida con il primo estremo estremo di C_{2} . Siano inoltre u : [0, 1] → Ω e v : [1, 2] → Ω due parametrizzazioni di C_{1} e di C_{2} rispettivamente. Chiamiamo somma dei due cammini dati il cammino C_{1} + C_{2} parametrizzato dalla funzione w : [0, 2] → Ω definita dalle formule: w(t) = u(t) se t ∈ [0, 1] e w(t) = v(t) se t ∈ [1, 2]. Chiamiamo opposto del cammino C_{1} il cammino −C_{1} individuato dalla parametrizzazione z : [0, 1] → Ω definita dalla formula z(t) = u(1 − t) per t ∈ [0, 1].

La definizione precedente necessiterebbe di una giustificazione: occorrerebbe infatti verificare che, se di C_{1} e C_{2} si prendono altre due parametrizzazioni, i cammini C_{1} + C_{2} e −C_{1} restano gli stessi. Tuttavia possiamo lasciare questo controllo al lettore. Ci preme invece notare alcuni fatti.

i) Supponiamo che le funzioni u e v della definizione precedente siano di classe C^{1} : non vi è alcun motivo perché la funzione w costruita sia anch’essa di classe C^{1} . Precisamente w è di classe C^{1} se e solo se si ha u′(1) = v′(1), mentre essa è di classe C^{1} a tratti in ogni caso, cioè senza ipotesi aggiuntive. Ecco perché abbiamo scelto la regolarità C^{1} a tratti come punto di partenza.

ii) In riferimento all’Osservazione 3.6, se avessimo accettato anche le costanti fra gli elementi di P(ℝ^{n}), in vista della definizione di somma avremmo dovuto accettare anche tutte le funzioni di classe C^{1} a tratti la cui derivata, in ogni tratto, fosse mai nulla oppure identicamente nulla. Ciò avrebbe prodotto una nozione di cammino concettualmente più complicata.

iii) La definizione di somma porta a un operazione associativa: se hanno senso le somme C_{1} + C_{2} e C_{2} + C_{3} , allora risulta (C_{1} + C_{2}) + C_{3} = C_{1} + (C_{2} + C_{3}). Restano dunque giustificate scritture senza parentesi, estese anche a più di tre addendi, ad esempio C_{1} + … + C_{n}, sempre che, per k = 2, …, n, il secondo estremo di C_{k−1} coincida con il primo estremo di C_{k}.

iv) In generale non ha senso scambiare l’ordine degli addendi di una somma di due cammini. Ma anche quando avesse senso farlo, sarebbe in generale proibito farlo. Ad esempio, se C_{1} e C_{2} sono due circuiti aventi gli estremi tutti in uno stesso punto, si possono costruire i due cammini C_{1} + C_{2} e C_{2} + C_{1} . Questi sono due circuiti di solito diversi fra loro. Per questo motivo, in trattazioni analoghe che mirano a proprietà algebriche, si usa adottare una notazione moltiplicativa anziché additiva e parlare di prodotto di cammini anziché di somma.

v) Nella definizione di cammino opposto abbiamo prese l’intervallo [0, 1] per comodità, ma deve essere chiaro che, se u : [a, b] → ℝ^{n} parametrizza C e φ : [α, β] → [a, b] è biiettiva, decrescente e di classe C^{1} a tratti con l’inversa, allora u ∘ φ parametrizza −C.

vi) Se ha senso la somma C_{1} + C_{2} , allora ha senso anche la somma (−C_{2}) + (−C_{1}) e questa coincide con −(C_{1} + C_{2}). Per semplificare scriveremo anche −C_{2} − C_{1} in sostituzione di ciascuna delle due notazioni precedenti. Analogamente scriveremo ad esempio C_{1} − C_{2} + C_{3} per denotare il cammino C_{1} + (−C_{2}) + C_{3} , naturalmente nell’ipotesi che sia possibile costruirlo.

3.13. Esempio (poligonali). Con le notazioni dell’Esempio 3.8, se x^{k} ∈ ℝ^{n} per k = 0, …, m e x^{k−1} ≠ x^{k} per k = 1, …, m, ha senso definire il cammino

[x^{0}, …, x^{m}] = [x^{0}, x^{1}] + … + [x^{m−1}, x^{m}].  (3.3)

Questo è detto poligonale di vertici x^{0}, …, x^{m} (elencati nell’ordine preciso). Esso è un circuito se e solo se x^{m} = x^{0} . In tal caso si dice anche che la poligonale è chiusa. Siccome −[x, y] = [y, x] per ogni x, y ∈ ℝ^{n} con x ≠ y, deduciamo in generale che −[x^{0}, …, x^{m}] = [x^{m}, …, x^{0}]. Si noti che già una poligonale può variamente “intrecciarsi e ripiegarsi su se stessa”.

3.14. Esempio (seguito di 3.9). La circonferenza dell’Esempio 3.9 è la somma di n addendi uguali alla circonferenza di centro x_{0} e raggio r percorsa una volta in senso antiorario. Il cammino opposto è detto circonferenza di centro x_{0} e raggio r percorsa n volte in senso orario. Una sua parametrizzazioni è data da u(t) = x_{0} +r(cos(−t), sin(−t)) = x_{0} +r(cos t, − sin t) per t ∈ [0, 2nπ].

3.15. Esercizio. Giustificare l’ultima affermazione fatta a proposito della circonferenza.

3.16. Esercizio. Dimostrare che, se C_{1} , C_{2} e C sono tre cammini, allora sono equivalenti le condizioni: i) C = C_{1}+C_{2} ; ii) esistono una parametrizzazione w : [a, b] → ℝ^{n} e c ∈ (a, b) tali che w|_{[a,c]} parametrizza C_{1} e w|_{[c,b]} parametrizza C_{2} ; iii) per ogni parametrizzazione w : [a, b] → ℝ^{n} esiste un punto c ∈ (a, b) tale che w|_{[a,c]} parametrizza C_{1} e w|_{[c,b]} parametrizza C_{2} .

3.17. Esercizio. Dimostrare che, se u : [a, b] → ℝ è una parametrizzazionese di un cammino C, allora una funzione v : [α, β] → ℝ^{n} è una parametrizzazione di −C se e solo se esiste una funzione φ : [a, b] → [α, β] biiettiva, decrescente e di classe C^{1} a tratti e con la sua inversa tale che u = v ∘ φ.

3.18. Esercizio. Dare un esempio che mostra che l’uguaglianza C_{1} + C_{2} = C_{2} + C_{1} è falsa in generale, anche se hanno senso i due membri.

3.19. Esercizio. Siano C un circuito, u : [a, b] → ℝ^{n} una sua parametrizzazione e c ∈ (a, b). Verificare che, posto ℓ = b − a, la funzione v : [c, c + ℓ] → ℝ^{n} definita dalle formule v(t) = u(t) se t ∈ [c, b] e v(t) = u(t − ℓ) se t ∈ (b, c + ℓ] è la parametrizzazione di un circuito C′ e che C e C′ hanno lo stesso sostegno. Mostrare inoltre che esiste una decomposizione di C della forma C = C_{1} +C_{2} tale che C′ = C_{2} +C_{1} . Osservare infine che, in generale, si ha C′ ≠ C e caratterizzare i casi in cui invece risulta C′ = C.

4. La struttura dei cammini

In questo paragrafo enunciamo e dimostriamo i risultati che chiariscono la nozione di cammino. Si noti che gioca un ruolo essenziale l’ipotesi che la derivata di una parametrizzazione non si annulli mai. Senza tale condizione, avremmo ottenuto una nozione di cammino concettualmente diversa e più complessa. Ad esempio, se x, y ∈ ℝ^{n} e x ≠ y, anche la funzione definita dalla formula u(t) = x + t^{2}(y − x) per t ∈ [0, 1], per la quale si ha u′(0) = 0, sarabbe stata ammissibile ma non sarebbe risultata equivalente a quelle dell’Esempio 3.8 dato che il cambiamento di parametro s = t^{2} non corrisponde a una funzione regolare con la sua inversa. Ancora, la funzione u : [0, 1] → ℝ definita dalle formule u(0) = 0 e u(t) = e^{−t} sin(1/t) se t ∈ (0, 1] è addirittura di classe C^{∞}. Se l’avessimo accettata fra le parametrizzazioni ammissibili, essa avrebbe individuato un cammino in ℝ e il teorema successivo non sarebbe stato vero. Infatti non esiste alcun δ > 0 tale che la restrizione di u all’intervallo [0, δ] sia iniettiva. Si noti che u′(0) = 0.

4.1. Teorema. Ogni cammino di ℝ^{n} può essere rappresentato come somma di un numero finito di archi semplici di classe C^{1} .

Dimostrazione. Sia C il cammino in questione e sia u : [a, b] → ℝ^{n} una sua parametrizzazione. Siccome u ∈ P(ℝ^{n}), possiamo introdurre i punti t_{k} della Definizione 3.3. Allora ciascuna delle restrizioni u_{k} = u|_{[t_{k−1},t_{k}]} appartiene a P(ℝ^{n}) e quindi definisce un cammino C_{k}, chiaramente di classe C^{1} . Osservato che C coincide con la somma C_{1} + … + C_{m}, basterà provare che ciascuno dei C_{k} si può rappresentare come specificato nell’enunciato.

Per non trascinarci l’indice k, abbandoniamo le notazioni già introdotte e supponiamo che già il cammino dato C sia di classe C^{1} e abbia una parametrizzazione u : [a, b] → ℝ^{n} con derivata mai nulla. Osservato che |u′| è una funzione continua e strettamente positiva, il suo valore minimo σ dato dal Teorema di Weierstrass è strettamente positivo. Siccome anche u′ è continua, essa è uniformemente continua grazie al Teorema di Heine, per cui esiste δ > 0 tale che

|u′(t) − u′(s)| ≤ \frac{σ}{2n} per ogni coppia di punti t, s ∈ [a, b] verificanti |t − s| ≤ δ .

Scegliamo un intero positivo m tale che (b−a)/m ≤ δ e consideriamo i punti t_{k} = a+(k/m)(b−a), k = 0, …, m. Risulta a = t_{0} < … < t_{m} = b e possiamo considerare i cammini C_{k} (dunque nuovo significato delle notazioni) aventi come parametrizzazioni le restrizioni u|_{[t_{k−1},t_{k}]} (k = 1, …, m). Allora si ha C = C_{1} + … + C_{m} e, per concludere, dimostriamo che tutte le restrizioni u|_{[t_{k−1},t_{k}]} (k = 1, …, m) sono iniettive. Fissiamo dunque k. Abbiamo σ ≤ |u′(t_{k})| ≤ ∑_{i=1}^{n} |u′_{i}(t_{k})|, così che almeno uno dei valori |u′_{i}(t_{k})| verifica la disuguaglianza |u′_{i}(t_{k})| ≥ σ/n. Scegliamo i in tali condizioni. Per ogni t ∈ [t_{k−1}, t_{k}] abbiamo |t_{k} − t| ≤ δ e deduciamo che

|u′_{i}(t_{k})| − |u′_{i}(t)| ≤ |u′_{i}(t_{k}) − u′_{i}(t)| ≤ |u′(t_{k}) − u′(t)| ≤ \frac{σ}{2n} .

Essendo |u′_{i}(t_{k})| ≥ σ/n grazie alla scelta fatta di i, otteniamo dunque

|u′_{i}(t)| ≥ |u′_{i}(t_{k})| − \frac{σ}{2n} ≥ \frac{σ}{n} − \frac{σ}{2n} = \frac{σ}{2n} per ogni t ∈ [t_{k−1}, t_{k}].  (4.1)

Siano ora t, s ∈ [t_{k−1}, t_{k}]. Applicando il Teorema del valor medio di Lagrange alla funzione reale u_{i}, troviamo τ compreso fra t e s tale che u_{i}(t)−u_{i}(s) = (t−s)u′_{i}(τ). Essendo in particolare τ ∈ [t_{k−1}, t_{k}], vale la (4.1) per τ e concludiamo che

|u(t) − u(s)| ≥ |u_{i}(t) − u_{i}(s)| = |t − s| |u′_{i}(τ)| ≥ \frac{σ}{2n} |t − s|.

Dunque u(t) = u(s) implica t = s e la restrizione considerata è iniettiva.

Il risultato successivo spiega come è fatto un arco semplice di classe C^{1} : esso può essere sostanzialmente identificato alla coppia costituita dal suo sostegno e dal suo primo estremo. Per questo motivo sono giustificate certe rappresentazioni grafiche. Tipicamente si disegna il sostegno con una freccia (verso di percorrenza) che indica la scelta del primo estremo fra le due possibili. Useremo i due fatti seguenti:

se φ : [a, b] → [a′, b′] è continua e biiettiva, allora essa è strettamente monotona (4.2)
se w : [α, β] → S ⊂ ℝ^{n} è continua e biiettiva, anche la sua inversa è continua.  (4.3)

Essi sono conseguenze del Teorema degli zeri di Bolzano e del Teorema di Bolzano-Weierstrass.

4.2. Teorema. Siano u : [a, b] → ℝ^{n} e v : [a′, b′] → ℝ^{n} due funzioni iniettive di classe C^{1} con derivata mai nulla aventi la stessa immagine e siano C e C′ gli archi che esse rispettivamente parametrizzano. Allora C′ = C se v(a′) = u(a) e C′ = −C in caso contrario.

Dimostrazione. Costruiamo una funzione φ : [a, b] → [a′, b′] biiettiva e tale che u = v ∘ φ e dimostriamo che le funzioni φ e φ^{−1} sono strettamente monotone e di classe C^{1} . Successivamente passiamo alla dimostrazione vera e propria del teorema. Detta S l’immagine comune di u e di v, leggiamo u e v come applicazioni a valori in S (rigorosamente dovremmo fattorizzare introducendo l’iniezione di S in ℝ^{n}, ma preferiamo non complicare le notazioni). Siccome v è biiettiva, l’applicazione composta φ = v^{−1} ∘ u : [a, b] → [a′, b′] è ben definita e verifica u = v ∘ φ. Osserviamo incidentalmente che, se anche ψ : [a, b] → [a′, b′] verifica u = v ∘ ψ, allora v(ψ(t)) = v(φ(t)) per ogni t ∈ [a, b], da cui ψ(t) = φ(t) per ogni t ∈ [a, b], dato che v è iniettiva. Ciò prova l’unicità della funzione φ verificante u = v ∘ φ. Passiamo alle proprietà di φ e di φ^{−1} e osserviamo che, siccome φ^{−1} gioca il ruolo di φ se si scambiano u e v e queste verificano le stesse ipotesi, basta dimostrare che φ è strettamente monotona. Per la (4.3) anche v^{−1} è continua.

Ciò implica che φ = v^{−1} ∘ u è continua. La stretta monotonia viene allora dalla (4.2) e abbiamo precisamente

φ cresce se e solo se φ(a) = a′ e φ decresce se e solo se φ(b) = a′ .  (4.4)

Il punto più laborioso è la regolarità C^{1} . Dimostriamo dapprima che φ è differenziabile. Fissato t^{∗} ∈ [a, b] poniamo

ℓ_{−} = lim inf_{t→t^{∗}} \frac{φ(t) − φ(t^{∗})}{t − t^{∗}} e ℓ_{+} = lim sup_{t→t^{∗}} \frac{φ(t) − φ(t^{∗})}{t − t^{∗}}

e dimostriamo che ℓ_{±} sono finiti e uguali. Consideriamo ℓ_{−}. Sia {t_{k}} una successione di punti di [a, b] diversi da t^{∗} tale che

lim_{k→∞} t_{k} = t^{∗} e lim_{k→∞} \frac{φ(t_{k}) − φ(t^{∗})}{t_{k} − t^{∗}} = ℓ_{−} .

Posto s^{∗} = φ(t^{∗}) e s_{k} = φ(t_{k}), abbiamo s_{k} ≠ s^{∗} in quanto φ è iniettiva e possiamo scrivere

\frac{u(t_{k}) − u(t^{∗})}{t_{k} − t^{∗}} = \frac{v(φ(t_{k})) − v(φ(t^{∗}))}{t_{k} − t^{∗}} = \frac{v(s_{k}) − v(s^{∗})}{s_{k} − s^{∗}} \frac{φ(t_{k}) − φ(t^{∗})}{t_{k} − t^{∗}} .

Il primo membro converge a u′(t^{∗}) e il primo quoziente all’ultimo membro converge a v′(s^{∗}) dato che {s_{k}} converge a s^{∗} in quanto φ è continua. Se ora fosse ℓ_{−} = ±∞, siccome v′(s^{∗}) ≠ 0, il prodotto all’ultimo membro avrebbe modulo divergente, mentre esso deve convergere a u′(t^{∗}). Dunque ℓ_{−} è finito. Passando al limite otteniamo u′(t^{∗}) = ℓ_{−}v′(s^{∗}). Analogamente si dimostra che ℓ_{+} è finito e che u′(t^{∗}) = ℓ_{+}v′(s^{∗}). Sottraendo allora membro a membro deduciamo anche che (ℓ_{+} − ℓ_{−})v′(s^{∗}) = 0, da cui ℓ_{−} = ℓ_{+} in quanto v′(s^{∗}) ≠ 0. Ciò mostra che esiste finita la derivata φ′(t^{∗}) e che essa verifica u′(t^{∗}) = φ′(t^{∗}) v′(s^{∗}). Per l’arbitrarietà di t^{∗} concludiamo che

φ è differenziabile e u′(t) = φ′(t) v′(φ(t)) per ogni t ∈ [a, b].  (4.5)

Si noti che ciò implica anche che φ′(t) ≠ 0 per ogni t ∈ [a, b] dato che u′ non si annulla mai. Per dimostrare che φ′ è continua ragioniamo analogamente, ora sulla formula (4.5) anziché sui rapporti incrementali. Fissiamo t^{∗} ∈ [a, b] e introduciamo (con nuovo significato dei simboli)

ℓ_{−} = lim inf_{t→t^{∗}} φ′(t) e ℓ_{+} = lim sup_{t→t^{∗}} φ′(t).

Dimostriamo che questi sono finiti e coincidono con φ′(t^{∗}). Consideriamo ad esempio il minimo limite ℓ_{−} (per ℓ_{+} il ragionamento è identico) e introduciamo una successione {t_{k}} di punti di [a, b] diversi da t^{∗} tale che

lim_{k→∞} t_{k} = t^{∗} e lim_{k→∞} φ′(t_{k}) = ℓ_{−} .

Se ℓ_{−} fosse infinito, grazie alla continuità di u′, v′ e φ avremmo

lim_{k→∞} |φ′(t_{k}) v′(φ(t_{k}))| = +∞ in quanto lim_{k→∞} v′(φ(t_{k})) = v′(φ(t^{∗})) ≠ 0

in contraddizione con il fatto che {u′(t_{k})} converge a u′(t^{∗}). Dunque ℓ_{−} è finito e passando al limite nella (4.5) scritta in t = t_{k} si ottiene u′(t^{∗}) = ℓ_{−}v′(φ(t^{∗})). D’altra parte possiamo scrivere scrivere la (4.5) nel punto t^{∗}. Sottraendo membro a membro e sfruttando il fatto che v′(φ(t^{∗}) ≠ 0 otteniamo ℓ_{−} = φ′(t^{∗}). Ciò conclude la dimostrazione della regolarità C^{1} di φ.

Veniamo alla dimostrazione vera e propria del teorema. Supponiamo dapprima v(a′) = u(a) e dimostriamo che C′ = C. Abbiamo φ(a) = v^{−1}(u(a)) = a′, per cui la monotonia è crescente grazie alla (4.4). Dunque φ verifica tutte le proprietà richieste dalla Definizione 3.4 e u e v sono equivalenti. Ciò mostra che C′ = C. Supponiamo ora v(a′) ≠ u(a) e usiamo la (4.4): siccome il primo caso implica l’uguaglianza u(a) = v(φ(a)) = v(a′), falsa per ipotesi, deve valere l’altro. Deduciamo che v(a′) = u(b). Sia ora p il polinomio di primo grado che verifica p(a) = b e p(b) = a. Allora z = u ∘ p è di classe C^{1} , iniettiva, con derivata mai nulla ed ha ancora S come immagine. In più essa verifica z(a) = u(b) = v(a′). Applicando a z e a v quanto abbiamo già dimostrato vediamo che esse sono equivalenti. D’altra parte z è una parametrizzazione del cammino −C. Dunque C′ = −C e la dimostrazione è conclusa.

4.3. Osservazione. Se una sola delle due applicazioni u e v è di classe C^{1} e l’altra è solo di classe C^{1} a tratti, suddividendo opportunamente gli intervalli dei parametri ci riconduciamo al caso precedente. Deduciamo che la funzione φ della dimostrazione appena fatta è di classe C^{1} a tratti con la sua inversa ma conserva la proprietà di monotonia. Dunque la tesi del teorema continua a valere anche in questa situazione più generale.

4.4. Esercizio. Dimostrare che ogni cammino in ℝ è poligonale.

4.5. Esercizio. Dimostrare che non esistono circuiti semplici in ℝ.

4.6. Esercizio. Sarà vero o falso che ogni circuito di ℝ^{n} può essere scritto come somma di un numero finito di circuiti semplici?

Naturalmente un cammino e il suo sostegno non vanno assolutamente confusi, così come non vanno confusi il cammino e la coppia costituita dal sostegno e dal primo estremo quando il cammino non è semplice. Tuttavia i Teoremi 4.1 e 4.2 sostanzialmente autorizzano l’uso di rappresentazioni grafiche di tipo “curve con frecce”, anche in casi di curve in qualche modo intrecciate o ripiegate su se stesse purché con un basso livello di complessità. Infatti deve essere chiaro che il sostegno di un cammino può essere un insieme complesso, talora molto complesso. Ecco un esempio.

4.7. Esempio. Sia f : [0, 1] → ℝ una funzione di classe C^{1} . Allora la formula u(t) = (t, f(t)) per t ∈ [0, 1] definisce u ∈ P(ℝ^{2}). Infatti u è di classe C^{1} e la sua derivata non si annulla mai. Inoltre u è iniettiva. Quindi u parametrizza un arco semplice di ℝ^{2} che ha come sostegno il grafico di f. Consideriamo ora due funzioni f_{1} e f_{2} nelle condizioni dette e verificanti f_{1}(1) = f_{2}(1) = 0 e denotiamo con C_{1} e C_{2} i cammini rispettivi. Allora ha senso il cammino C = C_{1} − C_{2} : infatti il secondo estremo di C_{1} è il punto (1, 0) e coincide con il secondo estremo di C_{2} , cioè con il primo estremo di −C_{2} . Il sostegno di C, che è l’unione dei grafici di f_{1} e f_{2} , può allora essere molto complicato. Ad esempio potremmo prendere come f_{1} la funzione nulla e definire f_{2} mediante le formule f_{2}(t) = e^{−t} sin(π/t) per t ∈ (0, 1] e f_{2}(0) = 0: otterremmo una funzione f_{2} nulla in 1 e addirittura di classe C^{∞}. Ciò nonostante il sostegno di C ha infiniti intrecci. Ma, conservando la scelta della funzione nulla f_{1} , possiamo anche andare ben oltre. Si può infatti dimostrare che, prefissato un chiuso K ⊆ [0, 1], esiste una funzione f_{2} : [0, 1] → ℝ addirittura di classe C^{∞} che verifica f_{2}(t) = 0 se t ∈ K e f_{2}(t) ≠ 0 se t ∉ K. Scelto allora K contenente 1 e considerata la corrispondente f_{2} , i grafici di f_{1} e f_{2} hanno come intersezione esattamente K × {0}. Siccome esiste un compatto di questo tipo tale che [0, 1] \ K sia costituito da soli irrazionali, si capisce quanto possa essere complesso il sostegno del cammino C che si viene a costruire.

4.8. Osservazione. Le cose sono diverse nel caso di un arco semplice C di classe C^{1} proprio grazie al Teorema 4.2. Denotiamo con S il sostegno di C e consideriamo due parametrizzazioni u : [a, b] → ℝ^{n} e v : [a′, b′] → ℝ^{n} di C di classe C^{1} . Esse sono iniettive con derivata mai nulla ed esiste una e una sola φ : [a, b] → [a′, b′] tale che u = v ∘ φ. Questa è di classe C^{1} con l’inversa ed è strettamente crescente. Segue che φ′(t) > 0 per ogni t ∈ [a, b] (con la disuguaglianza stretta altrimenti u′ si annullerebbe). Per ogni x ∈ S consideriamo i due punti t = u^{−1}(x) e s = v^{−1}(x). Abbiamo allora

u′(t) = φ′(t)v′(φ(t)) = φ′(t)v′(s) da cui |u′(t)| = φ′(t)|v′(s)| e \frac{u′(t)}{|u′(t)|} = \frac{v′(s)}{|v′(s)|} .

D’altra parte, considerata ad esempio la parametrizzazione u, vediamo che il cono tangente T_{x}S a S in x è uno spazio vettoriale di dimensione 1, precisamente l’immagine del differenziale du(t), in quanto u è iniettiva, con derivata non nulla e con inversa continua. Ne viene che T_{x}S contiene esattamente due versori, fra loro opposti. Ora u′(t)/|u′(t)| è uno di questi e il semplice calcolo fatto sopra mostra che due parametrizzazioni qualunque di C individuano lo stesso versore fra i due possibili. Denotiamo tale versore con τ(x). Abbiamo pertanto

τ(x) = \frac{u′(u^{−1}(x))}{|u′(u^{−1}(x))|} per ogni x ∈ S  (4.6)

e la funzione τ : S → ℝ^{n} è anche continua. Se considerassimo il cammino opposto −C, il sostegno non cambierebbe ma la funzione τ si muterebbe nella sua opposta. Concludiamo pertanto che un arco semplice C nelle condizioni dette è concettualmente identificabile anche alla coppia (S, τ), ove S è il sostegno di C e τ : S → ℝ^{n} è una funzione continua tale che τ(x) ∈ T_{x}S e |τ(x)| = 1 per ogni x ∈ S, cioè una funzione continua che assegna a ciascuno dei punti di S uno dei due possibili versori tangenti. La funzione τ può essere ragionevole chiamata orientamento di S.

4.9. Osservazione. Se si abbandona l’ipotesi fatta nell’osservazione precedente occorre fare attenzione. Se u è una parametrizzazione di classe C^{1} a tratti del cammino C in questione, si presentano situazioni nuove: i) se in un punto t_{0} le derivate unilatere u′_{±}(t_{0}) sono diverse, queste sono due versori tangenti al sostegno S nel punto u(t_{0}) corrispondente; ii) se x ∈ S, di solito u^{−1}(x) non è ridotto a un solo punto e il cono tangente T_{x}S non è una retta. Tuttavia possiamo applicare il Teorema 4.1 e scrivere C come somma di archi semplici C_{k}, k = 1, …, m, di classe C^{1} . Dunque siamo nel caso dell’osservazione precedente e risulta ben definita la funzione τ_{k} : S_{k} → ℝ^{n} che a ogni punto del sostegno S_{k} di C_{k} associa il versore tangente orientato correttamente. Dunque abbiamo una collezione {τ_{k}} di funzioni anziché un’unica funzione τ. Naturalmente, se x ∈ S, a x possono venire attribuiti più versori tangenti, i versori τ_{k}(x) per i valori di k per i quali si ha x ∈ S_{k}, e questi, di solito, sono diversi fra loro. Il lettore costruisca qualche esempio.

5. Lunghezza di un cammino

Ora introduciamo la nozione di lunghezza di un cammino. Riservandoci di commentarla immediatamente, diamo la definizione seguente:

5.1. Definizione. Sia C ∈ C(ℝ^{n}) e sia u : [a, b] → ℝ^{n} una parametrizzazione di C. Definiamo la lunghezza di C mediante la formula

lungh C = ∫_{a}^{b} |u′(t)| dt.  (5.1)

Il primo commento, doveroso, riguarda l’indipendenza dalla parametrizzazione. Consideriamo un’altra parametrizzazione v : [a′, b′] → ℝ di C e sia φ : [a, b] → [a′, b′] con le proprietà richieste nella Definizione 3.4 tale che u = v ∘ φ. Allora, essendo φ′ > 0, abbiamo

∫_{a}^{b} |u′(t)| dt = ∫_{a}^{b} |(v ∘ φ)′(t)| dt = ∫_{a}^{b} |v′(φ(t))| φ′(t) dt = ∫_{a′}^{b′} |v′(s)| ds.

Il secondo riguarda i legami fra la lunghezza del cammino e quella del suo sostegno. Ora, a un livello elementare dobbiamo pensare che la seconda non sia nemmeno sempre definita: infatti il sostegno può avere una struttura complessa, come avviene nell’Esempio 4.7. Se invece il cammino è semplice e, per fissare le idee, con estremi distinti, allora le sue parametrizzazioni sono iniettive e fungono da parametrizzazioni anche della curva regolare a tratti che costituisce il sostegno. Riconosciamo allora nella (5.1) anche la lunghezza di tale curva. Abbiamo ad esempio lungh[x, y] = |x − y|. Per contro abbiamo lungh[x, y, x] = 2|x − y|, mentre la lunghezza del sostegno della poligonale [x, y, x] continua ad essere |x − y|. Infatti la nozione di lunghezza di un cammino precisa l’idea di strada percorsa dalle parametrizzazioni (la stessa per tutte, indipendentemente dalla velocità). Ciò viene ultieriormente chiarito dal risultato successivo.

5.2. Proposizione. Siano C_{1}, C_{2} ∈ C(ℝ^{n}). Allora valgono le formule

lungh(C_{1} + C_{2}) = lungh C_{1} + lungh C_{2} e lungh(−C_{1}) = lungh C_{1}  (5.2)

la prima nell’ipotesi che il secondo estremo di C_{1} coincida con il primo estremo di C_{2} .

Dimostrazione. Con le notazioni della Definizione 3.12 abbiamo

lungh(C_{1} + C_{2}) = ∫_{0}^{2} |w′(t)| dt = ∫_{0}^{1} |u′(t)| dt + ∫_{1}^{2} |v′(t)| dt = lungh C_{1} + lungh C_{2}

lungh(−C_{1}) = ∫_{0}^{1} |z′(t)| dt = ∫_{0}^{1} |u′(1 − t)| dt = ∫_{0}^{1} |u′(s)| ds = lungh C_{1} .

La nozione di lunghezza discussa sopra si presta anche a trovare parametrizzazioni di tipo particolare, dette parametrizzazioni per lunghezza d’arco. Esse sono caratterizzate dal fatto che il punto mobile si muove con velocità unitaria.

5.3. Proposizione. Sia C un cammino di ℝ^{n} e sia L la sua lunghezza. Allora esiste una e una sola parametrizzazione v : [0, L] → ℝ^{n} di C tale che |v′(s)| = 1 per tutti i punti di [0, L] con l’eccezione al più di un numero finito.

Dimostrazione. Sia u : [a, b] → ℝ una parametrizzazione di C. Definiamo ℓ : [a, b] → [0, L] per mezzo della formula

ℓ(t) = ∫_{a}^{t} |u′(τ)| dτ per t ∈ [a, b]  (5.3)

e osserviamo che ℓ effettivamente assume valori in [0, L], è monotona non decrescente e suriettiva. Inoltre, rappresentata u come nella Definizione 3.3 di elemento di P(ℝ^{n}), vediamo che la restrizione di |u′| a ciascuno degli intervalli [t_{k−1}, t_{k}] ha un minimo positivo. Deduciamo che esiste σ > 0 tale che |u′(t)| ≥ σ per ogni t ∈ [a, b] diverso dai t_{k}. Ciò, in particolare, implica che vale la disuguaglianza ℓ(t) − ℓ(t′) ≥ σ(t − t′) per ogni coppia di punti di [a, b] verificanti t > t′. Dunque ℓ è anche strettamente monotona e quindi invertibile. Inoltre abbiamo

ℓ′(t) = |u′(t)| per ogni t ∈ [a, b] diverso dai t_{k}

la formula estendendosi alle derivate separatamente destre e sinistre nei punti t_{k}. Ciò mostra che ℓ è anche di classe C^{1} a tratti e si vede facilmente, ricordando che |u′| ≥ σ, che della stessa proprietà gode la funzione φ = ℓ^{−1} : [0, L] → [a, b]. Poniamo v = u ∘ φ, osservando che v è ancora una parametrizzazione di C grazie alle proprietà di ℓ e di φ appena controllate. Posto s_{k} = ℓ(t_{k}), se s ∈ [0, L] è diverso dagli s_{k}, abbiamo infine

v′(s) = u′(φ(s)) φ′(s) = \frac{u′(φ(s))}{ℓ′(φ(s))} = \frac{u′(φ(s))}{|u′(φ(s))|} da cui |v′(s)| = 1.

Sia ora w : [0, L] → ℝ^{n} un’altra parametrizzazione di C con la stessa proprietà. Allora risulta w = v ∘ ψ per una certa funzione ψ : [0, L] → [0, L] biiettiva, crescente, di classe C^{1} a tratti con l’inversa. Con l’eccezione al più di un numero finito di valori di s abbiamo allora

1 = |w′(s)| = |v′(ψ(s)) ψ′(s)| = |v′(ψ(s))| ψ′(s) = ψ′(s) da cui ψ(s) = ψ(0) + ∫_{0}^{s} ψ′(τ) dτ = s

e quindi w = v.

5.4. Osservazione. Se, fissato t_{0} ∈ [a, b], definiamo per t ∈ [a, b] il valore ℓ_{0}(t) mediante

ℓ_{0}(t) = ∫_{t_{0}}^{t} |u′(τ)| dτ = ℓ(t) − ℓ(t_{0}) ove ℓ è data dalla (5.3)

otteniamo una funzione ℓ_{0} : [a, b] → [−s_{0}, L − s_{0}], ove s_{0} = ℓ(t_{0}), che è ancora biiettiva, crescente, di classe C^{1} con l’inversa. Quindi z = u ∘ ℓ_{0}^{−1} è ancora una parametrizzazione di C che verifica |z′(s)| = 1 con l’eccezione al più di un numero finito di valori di s. Ora s può assumere non solo valori non negativi e il suo significato è il seguente: i) se t = t_{0} e s = ℓ_{0}(t), allora s = 0; ii) se t > t_{0} e s = ℓ_{0}(t), si ha s > 0 e s è la lunghezza del cammino parametrizzato dalla restrizione di u a [t_{0}, t]; iii) se t < t_{0} e s = ℓ_{0}(t), si ha s < 0 e |s| è la lunghezza del cammino parametrizzato dalla restrizione di u a [t, t_{0}]. Si dice che s è l’ascissa curvilinea del punto generico nel sistema di origine u(t_{0}). Naturalmente, se il cammino non è semplice, a un punto del suo sostegno possono venire attribuiti più valori dell’ascissa curvilinea, e sono le parametrizzazioni a decidere quando. Nel caso del segmento [x, y] con x ≠ y si ha L = |x−y| e la parametrizzazione mediante ascissa curvilinea con origine in x è data da u(s) = x + (s/L)(y − x) per s ∈ [0, L]. L’analoga parametrizzazione, ma con origine nel punto medio del segmento, è invece data dalla formula u(s) = x + ((s + L/2)/L)(y − x) per s ∈ [−L/2, L/2].

Riprendendo poi l’Osservazione 4.8 notiamo che, se u è una parametrizzazione per lunghezza d’arco dell’arco semplice C, la (4.6) si semplifica e diventa τ(x) = u′(u^{−1}(x)). In altre parole, se la scelta del parametro per la rappresentazione di C è l’ascissa curvilinea s (con una certa origine), abbiamo che u′(s) è il versore tangente al sostegno di C nel suo punto u(s). Questa seconda versione non richiede poi che la parametrizzazione sia iniettiva: u′(s) è uno dei versori tangenti.

5.5. Esercizio. Dare la parametrizzazione per lunghezza d’arco con origine in (r, 0) della circonferenza di centro (0, 0) e raggio r percorsa n volte in senso antiorario, rispettivamente orario. Nel caso n = 1 dare le analoghe parametrizzazioni prendendo come origine del sistema di ascisse curvilinee prima il punto (−r, 0) e poi il punto (0, r).

5.6. Esercizio. Dati x, y, z ∈ ℝ^{n} fra loro distinti, dare la parametrizzazione per lunghezza d’arco della poligonale [x, y, z] assumendo come origine prima x, poi y e infine z. Spiegare che cosa accade se invece z = x.

6. L’integrale di una forma differenziale

In questo paragrafo definiamo l’integrale di una forma differenziale e dimostriamo le sue proprietà principali. Consideriamo solo il caso di forme di classe C^{0} (vedi Definizione 2.4) perché solo queste avranno in seguito un ruolo significativo.

6.1. Definizione. Siano Ω un aperto di ℝ^{n}, ω : Ω → (ℝ^{n})^{∗} una forma differenziale di classe C^{0} e C un cammino di Ω. Poniamo

∫_{C} ω = ∫_{a}^{b} ⟨ω(u(t)), u′(t)⟩ dt  (6.1)

ove u : [a, b] → Ω è una parametrizzazione di C.

Come nel caso della definizione di lunghezza di un cammino, è doveroso verificare che la definizione data non dipende dalla parametrizzazione, ma ciò è immediato. Se v e φ sono come nella Definizione 3.4, abbiamo infatti

\begin{matrix}∫_{a}^{b} ⟨ω(u(t)), u′(t)⟩ dt = ∫_{a}^{b} ⟨ω((v ∘ φ)(t)), (v ∘ φ)′(t)⟩ dt \\ = ∫_{a}^{b} ⟨ω(v(φ(t))), φ′(t) v(φ(t))⟩ dt = ∫_{a}^{b} ⟨ω(v(φ(t))), v(φ(t))⟩ φ′(t) dt = ∫_{a′}^{b′} ⟨ω(v(s)), v′(s)⟩ ds. \end{matrix}

6.2. Osservazione. Notiamo che, quando si esplicita la scrittura della forma differenziale ω per mezzo dei suoi coefficienti ω_{i} della rappresentazione canonica, la (6.1) diventa

∫_{C} ∑_{i=1}^{n} ω_{i}(x) dx_{i} = ∫_{a}^{b} ∑_{i=1}^{n} ω_{i}(u(t)) u′_{i}(t) dt.

In particolare si vede che le sostituzioni

x_{i} = u_{i}(t) e dx_{i} = u′_{i}(t) dt

producono il risultato corretto (abbinate alla scelta corretta degli estremi di integrazione).

6.3. Osservazione. Notiamo che, se due punti x′, x′′ ∈ ℝ^{n} differiscono solo per una delle loro coordinate, diciamo la prima per non appesantire le notazioni, per cui x′′ = (x′′_{1}, x′_{2}, …, x′_{n}), si ha

∫_{[x′,x′′]} ω = ∫_{x′_{1}}^{x′′_{1}} ω_{1}(x_{1}, x′_{2}, …, x′_{n}) dx_{1} .

Dunque la sostituzione dx_{i} = 0 se i > 1 nell’espressione di ω produce il risultato corretto. Infatti, nei due casi x′_{1} < x′′_{1} e x′_{1} > x′′_{1} , possiamo prendere come parametrizzazioni di [x′, x′′] le applicazioni t ↦ (t, x′_{2}, …, x′_{n}), t ∈ [x′_{1}, x′_{2}], e, rispettivamente, t ↦ x′_{1} + x′′_{1} − t, t ∈ [x′′_{1}, x′_{1}] e poi eseguire le sostituzioni t = x_{1} e t = x′_{1} + x′′_{1} − x_{1} negli integrali ottenuti.

6.4. Osservazione. Riprendiamo l’Osservazione 4.8 riguardante gli archi semplici e conserviamone ipotesi e notazioni. Abbiamo allora

∫_{C} ω = ∫_{a}^{b} ⟨ω(u(t)), u′(t)⟩ dt = ∫_{a}^{b} ⟨ω(u(t)), τ(u(t))⟩ |u′(t)| dt = ∫_{S} ⟨ω(x), τ(x)⟩ ds  (6.2)

l’ultimo membro essendo il consueto integrale di una funzione continua sulla curva regolare S (che tale è, come detto nell’osservazione citata) rispetto alla lunghezza d’arco ds. Se invece il cammino è generico la notazione (6.2) diventa ambigua (ciò nonostante è talora usata) dato che l’applicazione τ non è ben definita (Osservazione 4.9). Riprenderemo il discorso più in là.

6.5. Esempio. Se x, y ∈ ℝ^{n} e ω : ℝ^{n} → (ℝ^{n})^{∗} è una forma differenziale di classe C^{0} , abbiamo

∫_{[x,y]} ω = ∫_{0}^{1} ⟨ω(x + t(y − x)), y − x⟩ dt.  (6.3)

Ad esempio, se ω(x) = ∑_{i=1}^{n} 2x_{i} dx_{i}, l’integrale vale |y − x|^{2} . Tutto ciò se x ≠ y, altrimenti il cammino [x, y] non è definito. Tuttavia è chiaro che il secondo membro della formula continua ad avere significato e si annulla quando x = y. Allora è conveniente attribuire in tal caso valore 0 anche al primo membro della (6.3) (senza tuttavia pretendere di avere un caso particolare della definizione generale). Ciò rimpiazza bene il non aver definito cammini con sostegno ridotto a un punto e sarà comodo in seguito. Ad esempio, con tale convenzione, vediamo che, fissata la forma ω, la funzione (x, y) ↦ ∫_{[x,y]} ω è continua in ℝ^{n} × ℝ^{n}, come si vede applicando al secondo membro della (6.3) la teoria degli integrali dipendenti da parametri.

6.6. Esempio (l’indice di avvolgimento). Siano x^{∗} ∈ ℝ^{2} , C un cammino di ℝ^{2} e S il suo sostegno. Se S non contiene x^{∗} (comunemente si dice che C non passa per x^{∗}), ogni parametrizzazione u : [a, b] → ℝ^{2} di C può essere scritta nella forma

u(t) = x^{∗} + (ρ(t) cos ϑ(t), ρ(t) sin ϑ(t)) per t ∈ [a, b]  (6.4)

ove ρ : [a, b] → (0, +∞) e ϑ : [a, b] → ℝ sono due funzioni di classe C^{1} a tratti. Ciò è del tutto intuitivo e può essere dimostrato rigorosamente, ad esempio passando per il Teorema della funzione implicita (infatti la funzione t ↦ (ρ(t), ϑ(t)) da definire deve risolvere per t fissato l’equazione (ρ cos ϑ, ρ sin ϑ) = u(t)−x^{∗} di incognita (ρ, ϑ) e tale equazione, effettivamente, definisce localmente la funzione che ci interessa pur di partire da un punto che già verifica l’equazione stessa). Precisamente la funzione ρ è univocamente determinata ed è data dalla formula ρ(t) = |u(t) − x^{∗}| mentre ϑ è determinata dalla scelta del suo valore, fra gli infiniti ammissibili, in un punto di partenza. Ad esempio, considerato il punto t = a, vi sono infiniti valori reali che possono essere presi come ϑ(a) in modo da rendere vera la (6.4) con t = a e, scelto ad arbitrio uno di essi, restano obbligate le scelte di ϑ(t) per ogni altro t semplicemente richiedendo che ϑ sia una funzione continua. Introduciamo ora ω : ℝ^{2} \ {x^{∗}} → (ℝ^{2})^{∗} mediante

ω(x) = −\frac{x_{2} − x_{2}^{∗}}{|x − x^{∗}|^{2}} dx_{1} + \frac{x_{1} − x_{1}^{∗}}{|x − x^{∗}|^{2}} dx_{2} per x ∈ ℝ^{2} \ \{x^{∗}\}

ove naturalmente x_{i}^{∗} sono le coordinate di x^{∗}. Calcoliamo l’integrale di ω su C. Prepariamo il calcolo. Per t ∈ [a, b] abbiamo

⟨ω(u(t)), u′(t)⟩ = \frac{− sin ϑ(t)}{ρ(t)} (ρ′(t) cos ϑ(t) − ρ(t)ϑ′(t) sin ϑ(t))

+ \frac{cos ϑ(t)}{ρ(t)} (ρ′(t) sin ϑ(t) + ρ(t)ϑ′(t) cos ϑ(t)) = ϑ′(t).

Dunque otteniamo

∫_{C} ω = ∫_{a}^{b} ⟨ω(u(t)), u′(t)⟩ dt = ∫_{a}^{b} ϑ′(t) dt = ϑ(b) − ϑ(a)

e vediamo che il significato dell’integrale è l’incremento che la coordinata angolare (la seconda delle coordinate polari nel sistema di centro x^{∗}) subisce quando il punto mobile u(t) percorre il cammino. Se C è un circuito, tale incremento deve essere un multiplo di 2π, non necessariamente nullo. Poniamo in tal caso

ind(C, x^{∗}) = \frac{1}{2π} ∫_{C} −\frac{x_{2} − x_{2}^{∗}}{|x − x^{∗}|^{2}} dx_{1} + \frac{x_{1} − x_{1}^{∗}}{|x − x^{∗}|^{2}} dx_{2} .  (6.5)

Otteniamo un numero intero (che può essere positivo, nullo, negativo) detto indice di avvolgimento di C intorno a x^{∗}. Ad esempio l’indice intorno a x_{0} della circonferenza di centro x_{0} e raggio r percorsa n volte in senso antiorario dell’Esempio 3.9 vale esattamente n. Le proprietà di additività dell’integrale che dimostriamo nel teorema successivo implicano che l’indice di una somma finita di circuiti C_{k} è la somma degli indici dei singoli circuiti C_{k} e che l’indice cambia di segno quando si passa da un circuito al suo opposto. Si può anche pensare, fissato il circuito C di ℝ^{2} e detto S il suo sostegno, di considerare la funzione ind_{C} : ℝ^{2} \ S → ℤ che a ogni punto x ∈ ℝ^{2} \ S associa ind(C, x). Si dimostrano allora i fatti seguenti, estremamente intuitivi: i) ogni punto dell’aperto ℝ^{2}\S ha un intorno in cui ind_{C} è costante e, più precisamente, ind_{C} è costante su ogni componente connessa di ℝ^{2} \ S; ii) la funzione ind_{C} è nulla sulla componente connessa illimitata di ℝ^{2} \ S. Notiamo che ℝ^{2} \ S è effettivamente aperto dato che S è un compatto (immagine continua di un intervallo compatto). Le nozioni di insieme connesso e di componente connessa, peraltro intuitive, vengono precisate nel paragrafo successivo.

6.7. Teorema (proprietà dell’integrale). Siano Ω un aperto di ℝ^{n}, ω, σ : Ω → (ℝ^{n})^{∗} due forme differenziali di classe C^{0} , λ_{1}, λ_{2} ∈ ℝ e C un cammino di Ω. Allora valgono le formule

∫_{C} λ_{1}ω + λ_{2}σ = λ_{1} ∫_{C} ω + λ_{2} ∫_{C} σ e |∫_{C} ω| ≤ sup_{x∈S} |ω(x)| lungh C  (6.6)

ove S è il sostegno di C. Se poi C_{1}, C_{2} sono due cammini di Ω abbiamo

∫_{C_{1}+C_{2}} ω = ∫_{C_{1}} ω + ∫_{C_{2}} ω e ∫_{−C_{1}} ω = − ∫_{C_{1}} ω  (6.7)

la prima nell’ipotesi che il secondo estremo di C_{1} coincida con il primo estremo di C_{2} .

Dimostrazione. Sia u : [a, b] → Ω una parametrizzazione di C. Allora

\begin{matrix}∫_{C} λ_{1}ω + λ_{2}σ = ∫_{a}^{b} ⟨λ_{1}ω(u(t)) + λ_{2}σ(u(t)), u′(t)⟩ dt \\ = λ_{1} ∫_{a}^{b} ⟨ω(u(t)), u′(t)⟩ dt + λ_{2} ∫_{a}^{b} ⟨σ(u(t)), u′(t)⟩ dt = λ_{1} ∫_{C} ω + λ_{2} ∫_{C} σ \end{matrix}

per la bilinearità del prodotto di dualità e la linearità dell’integrale sull’intervallo. Inoltre, tenendo conto della (1.8) e usando le proprietà elementari dell’integrale sull’intervallo, abbiamo

|∫_{C} ω| = |∫_{a}^{b} ⟨ω(u(t)), u′(t)⟩ dt| ≤ ∫_{a}^{b} | ⟨ω(u(t)), u′(t)⟩ | dt

≤ ∫_{a}^{b} |ω(u(t))| |u′(t)| dt ≤ sup_{t∈[a,b]} |ω(u(t))| ∫_{a}^{b} |u′(t)| dt = sup_{x∈S} |ω(x)| lungh C.

Per le (6.7) usiamo le notazioni della Definizione 3.12. Abbiamo

\begin{matrix}∫_{C_{1}+C_{2}} ω = ∫_{0}^{2} ⟨ω(w(t)), w′(t)⟩ dt \\ = ∫_{0}^{1} ⟨ω(u(t)), u′(t)⟩ dt + ∫_{1}^{2} ⟨ω(v(t)), v′(t)⟩ dt = ∫_{C_{1}} ω + ∫_{C_{2}} ω \end{matrix}

ancora per l’additività dell’integrale sull’intervallo. Inoltre

\begin{matrix}∫_{−C_{1}} ω = ∫_{0}^{1} ⟨ω(z(t)), z′(t)⟩ dt = ∫_{0}^{1} ⟨ω(u(1 − t)), −u′(1 − t)⟩ dt \\ = − ∫_{0}^{1} ⟨ω(u(s)), u′(s)⟩ dt = − ∫_{C_{1}} ω \end{matrix}

di nuovo per la bilinearità del prodotto di dualità e la linearità dell’integrale sull’intervallo.

Naturalmente la prima delle (6.6) e le (6.7) si chiamano proprietà di linearità e, rispettivamente, di additività. Notiamo che, per la seconda delle (6.7), si ottiene l’effetto di integrare su −C anziché su C se nel secondo membro della (6.1) semplicemente si scambiano gli estremi di integrazione.

6.8. Esercizio. Con le notazioni dell’Esercizio 3.19, verificare che gli integrali di ω su C e su C′ sono gli stessi qualunque sia la forma differenziale ω continua in un aperto che include il sostegno di C. Possiamo esprimere questo fatto in una forma suggestiva dicendo che l’integrale di una forma differenziale su un circuito C non cambia se il sostegno di C viene percorso a partire da un punto di inizio diverso ma con le stesse indicazioni di percorrenza tipiche di C.

6.9. Osservazione. Riprendiamo le Osservazioni 4.8, 4.9 e 6.4 sull’esistenza o meno della funzione τ che assegna i versori tangenti al sostegno S del cammino C e alla rappresentazione dell’integrale nella forma (6.2). Ricordiamo il Teorema 4.1 e la proprietà additiva dell’integrale. Se C è rappresentato come somma di archi C_{k} (k = 1, …, m) semplici di classe C^{1} , abbiamo

∫_{C} ω = ∑_{k=1}^{m} ∫_{C_{k}} ω.

Ora, per C_{k} vale la rappresentazione (6.2), ove naturalmente deve comparire la funzione τ_{k} dell’Osservazione 4.9. Dunque possiamo scrivere

∫_{C} ω = ∑_{k=1}^{m} ∫_{C_{k}} ω = ∑_{k=1}^{m} ∫_{C_{k}} ⟨ω(x), τ_{k}(x)⟩ ds  (6.8)

ove nell’ultimo membro abbiamo usato lo stesso simbolo C_{k} per denotare in realtà il sostegno. Per semplicità si può comunque utilizzare la notazione (6.2) per tutti i cammini, con la convenzione che essa debba essere interpretata nella forma (6.8) quando C non è un arco semplice.

Ora vediamo come la nozione di integrale sia legata a limiti di somme finite. Consideriamo solo il caso di cammini di classe C^{1} , ma il risultato vale per cammini generici.

6.10. Proposizione. Siano Ω un aperto di ℝ^{n}, ω : Ω → (ℝ^{n})^{∗} una forma differenziale di classe C^{0} e C un cammino di Ω di classe C^{1} . Sia inoltre u : [a, b] → Ω una parametrizzazione di C di classe C^{1} . Allora, per ogni ε > 0, esiste δ > 0 tale che, per ogni scelta di punti t_{0}, …, t_{m} e t_{1}^{∗}, …, t_{m}^{∗} verificanti

a = t_{0} < t_{1} < … < t_{m} = b e, per k = 1, …, m, t_{k}^{∗} ∈ [t_{k−1}, t_{k}] e t_{k} − t_{k−1} ≤ δ (6.9)

e posto

S′ = ∑_{k=1}^{m} ⟨ω(u(t_{k}^{∗})), u′(t_{k}^{∗})(t_{k} − t_{k−1})⟩ e S′′ = ∑_{k=1}^{m} ⟨ω(u(t_{k}^{∗})), u(t_{k}) − u(t_{k−1})⟩  (6.10)

valgano le disuguaglianze

|∫_{C} ω − S′| ≤ ε e |∫_{C} ω − S′′| ≤ ε.  (6.11)

Dimostrazione. Sebbene la prima delle due tesi sia sostanzialmente nota al lettore, dimostriamo il risultato completamente. Eseguiamo semplici calcoli preliminari. Per ogni scelta dei punti t_{k} verificanti la prima delle (6.9) abbiamo

∫_{C} ω = ∫_{a}^{b} ⟨ω(u(t)), u′(t)⟩ dt = ∑_{k=1}^{m} ∫_{t_{k−1}}^{t_{k}} ⟨ω(u(t)), u′(t)⟩ dt  (6.12)

e, se t_{1}^{∗}, …, t_{m}^{∗} ∈ [a, b], abbiamo banalmente

∑_{k=1}^{m} ⟨ω(u(t_{k}^{∗})), u′(t_{k}^{∗})(t_{k} − t_{k−1})⟩ = ∑_{k=1}^{m} ∫_{t_{k−1}}^{t_{k}} ⟨ω(u(t_{k}^{∗})), u′(t_{k}^{∗})⟩ dt  (6.13)

nonché, usando in particolare le (3.2) e (1.9), l’uguaglianza

∑_{k=1}^{m} ⟨ω(u(t_{k}^{∗})), u(t_{k}) − u(t_{k−1})⟩ = ∑_{k=1}^{m} ∫_{t_{k−1}}^{t_{k}} ⟨ω(u(t_{k}^{∗})), u′(t)⟩ dt.  (6.14)

Fissiamo ora ε > 0 ad arbitrio. Siccome le componenti ω_{i} di ω sono continue in Ω e u e u′ sono continue in [a, b], tenendo conto del Teorema di Heine vediamo che esiste δ > 0 tale che le disuguaglianze

| ⟨ω(u(t)), u′(t)⟩ − ⟨ω(u(s)), u′(s)⟩ | ≤ ε e |ω(u(t)) − ω(u(s))| ≤ ε  (6.15)

valgano per ogni coppia di punti t, s ∈ [a, b] verificanti |t − s| ≤ δ. Siano ora t_{k} e t_{k}^{∗} come nella (6.9). Allora, combinando le (6.12–13) e usando la prima delle (6.15), otteniamo

\begin{matrix}|∫_{C} ω − ∑_{k=1}^{m} ⟨ω(u(t_{k}^{∗})), u′(t_{k}^{∗})(t_{k} − t_{k−1})⟩| \\ ≤ ∑_{k=1}^{m} ∫_{t_{k−1}}^{t_{k}} | ⟨ω(u(t)), u′(t)⟩ − ⟨ω(u(t_{k}^{∗})), u′(t_{k}^{∗})⟩ | dt ≤ ∑_{k=1}^{m}(t_{k} − t_{k−1})ε = ε(b − a). \end{matrix}

Combinando invece le (6.12) e (6.14) e usando la seconda delle (6.15), otteniamo

\begin{matrix}|∫_{C} ω − ∑_{k=1}^{m} ⟨ω(u(t_{k}^{∗})), u(t_{k}) − u(t_{k−1})⟩| ≤ ∑_{k=1}^{m} ∫_{t_{k−1}}^{t_{k}} | ⟨ω(u(t)), u′(t)⟩ − ⟨ω(u(t_{k}^{∗})), u′(t)⟩ | dt \\ ≤ ∑_{k=1}^{m} ∫_{t_{k−1}}^{t_{k}} |ω(u(t)) − ω(u(t_{k}^{∗}))| |u′(t)| dt ≤ ε ∑_{k=1}^{m} ∫_{t_{k−1}}^{t_{k}} |u′(t)| dt = ε lungh C. \end{matrix}

Siccome a, b e la lunghezza di C sono noti fin dall’inizio, la dimostrazione è completa.

6.11. Osservazione. Interpretiamo il k -esimo contributo di ciascuna delle somme S′ e S′′ date dalle (6.10) supponendo per semplicità che la restrizione di u a [t_{k−1}, t_{k}] sia iniettiva. In tal caso, al variare di t in [t_{k−1}, t_{k}], il punto u(t) descrive un arco C_{k} senza passare due volte in uno stesso punto e scegliere t_{k}^{∗} ∈ [t_{k−1}, t_{k}] equivale a scegliere un punto x_{k}^{∗} ∈ C_{k}. Il k -esimo contributo di S′ vale pertanto

⟨ω(u(t_{k}^{∗})), u′(t_{k}^{∗})(t_{k} − t_{k−1})⟩ = ⟨ω(x_{k}^{∗}), v_{k}⟩

ove v_{k} = u′(t_{k}^{∗})(t_{k} − t_{k−1}) è un vettore tangente a C_{k} in x_{k}^{∗}, precisamente un vettore tangente che è approssimativamente lungo quanto la distanza degli estremi x_{k−1} e x_{k} di C_{k}. Infatti

x_{k} − x_{k−1} = u(t_{k}) − u(t_{k−1}) ≈ u′(t_{k−1})(t_{k} − t_{k−1}) ≈ u′(t_{k}^{∗})(t_{k} − t_{k−1}) = v_{k}

se t_{k} − t_{k−1} è piccolo. Il k -esimo contributo di S′′, invece, vale esattamente

⟨ω(u(t_{k}^{∗})), u(t_{k}) − u(t_{k−1})⟩ = ⟨ω(x_{k}^{∗}), x_{k} − x_{k−1}⟩ .

Si sarà notato che la somma S′ della (6.10) è una comune somma di Cauchy relativa all’integrale in questione. La somma S′′, invece, è nella direzione del cosiddetto integrale di Stieltjes, ma non vogliamo andare oltre queste parole.

7. Aperti connessi

La nozione di insieme connesso può presentare qualche aspetto piuttosto delicato. Nel caso degli aperti, invece, essa coincide con la connessione per archi e risulta molto chiara. Quindi diamo le definizioni nel caso generale ma passiamo rapidamente a considerare solo aperti.

7.1. Definizione. Sia S un sottoinsieme di ℝ^{n}. Una sconnessione di S è una coppia (A, A′) di aperti di ℝ^{n} verificante le condizioni seguenti: i) entrambi gli insiemi A e A′ hanno intersezione non vuota con S; ii) essi sono disgiunti; iii) la loro unione include S. Il sottoinsieme S è connesso quando non esistono sconnessioni di S.

7.2. Esempio. Verifichiamo che [0, 1] è connesso. Per assurdo sia (A, A′) una sconnessione di [0, 1]. Gli estremi 0 e 1 appartengono a uno dei due insiemi. Supponiamo dapprima che uno dei due, diciamo 0, appartenga ad A, e l’altro appartenga ad A′ e poniamo λ = sup A. Allora λ ∈ (0, 1) dato che 0 è interno ad A e 1 è interno ad A′. Ma λ ∈ A ∪ A′. Se λ ∈ A, dato che A è aperto, esiste x > λ che appartiene ad A, contro la definizione di λ. Se λ ∈ A′, allora esiste λ′ < λ tale che (λ′, λ] ⊆ A′. Ma nessun x > λ può appartenere ad A. Dunque A ⊆ (−∞, λ′] e ancora la definizione di λ viene contraddetta, per cui siamo all’assurdo. Se invece 0 e 1 appartengono allo stesso dei due aperti, diciamo ad A, si ragiona analogamente sul punto λ = inf A′ oppure su λ = sup A′ e ancora si arriva a una contraddizione.

Più precisamente si dimostra che i connessi di ℝ sono tutti e soli gli intervalli e un esempio di sconnessione dell’insieme (0, 1] ∪ [3, 4] si ottiene prendendo A = (0, 2) e A′ = (2, 5).

Siccome vogliamo solo giustificare una terminologia e non abbiamo la necessità di usarlo, il risultato seguente viene enunciato ma non dimostrato.

7.3. Teorema. Sia S un sottoinsieme non vuoto di ℝ^{n}. Allora esiste una e una sola partizione F di S verificante le condizioni seguenti: i) ogni elemento di F è connesso; ii) ogni sottoinsieme connesso di S è incluso in uno degli elementi di F.

7.4. Definizione. Sia S un sottoinsieme non vuoto di ℝ^{n}. Gli elementi della famiglia F data dal Teorema 7.3 si chiamano componenti connesse di S.

Se S è connesso allora F = {S} e S è la sua unica componente connessa. Le componenti connesse dell’insieme S = (0, 1] ∪ [3, 4] considerato sopra sono invece due, precisamente gli intervalli (0, 1] e [3, 4]. Infatti essi costituiscono una partizione di S, sono connessi e ogni sottoinsieme connesso di S, dovendo essere un intervallo, deve essere incluso in uno dei due precedenti.

7.5. Definizione. Un sottoinsieme S di ℝ^{n} è connesso per archi quando, per ogni coppia di punti x, y ∈ S, esiste una funzione continua u : [0, 1] → S tale che u(0) = x e u(1) = y.

Ad esempio è connesso per archi ogni sottoinsieme S ⊆ ℝ^{n} che sia convesso. Se x, y ∈ S, per soddisfare la definizione basta definire u(t) = x + t(y − x). Più in generale S è connesso per archi non appena esso sia stellato rispetto a un suo punto x_{0} . Infatti, se x, y ∈ S, basta definire ora u mediante: u(t) = x + 2t(x_{0} − x) se t ∈ [0, 1/2] e u(t) = x_{0} + (2t − 1)(y − x_{0}) se t ∈ [1/2, 1]. Le immagini delle due restrizioni di u che intervengono nella definizione data sono infatti il segmento di estremi x e x_{0} e quello di estremi x_{0} e y, che risultano inclusi in S per ipotesi.

La nozione di connessione per archi è più forte di quella di connessione. Nel caso degli aperti, per i quali, diciamo, c’è una certa libertà di movimento, la situazione si semplifica e i due concetti coincidono. Non solo: valgono numerose altre caratterizzazioni della connessione e il risultato che ci accingiamo a dare ne mostra qualcuna. Tuttavia noi, in seguito, useremo prevalentemente quella concernente i cammini. In vista della costruzione di poligonali (vedi (3.3)) e di cammini di classe C^{∞} premettiamo alcuni lemmi tecnici. I primi due sono però di interesse generale.

7.6. Lemma. Siano Ω un aperto di ℝ^{n} e K un compatto incluso in Ω. Allora esiste r > 0 tale che B_{r}(x) ⊆ Ω per ogni x ∈ K.

Dimostrazione. Se Ω = ℝ^{n} ogni r > 0 banalmente verifica quanto richiesto. Supponiamo dunque Ω ≠ ℝ^{n}. Allora C = ℝ^{n} \ Ω non è vuoto e possiamo introdurre la funzione d : K → ℝ definita dalla formula d(x) = dist(x, C) = inf_{y∈C} |x − y|. Essa è continua in quanto, come si controlla facilmente, vale la disuguaglianza |d(x) − d(x′)| ≤ |x − x′| per ogni x, x′ ∈ K. Dunque d ha minimo in un punto x_{0} ∈ K. Siccome Ω è aperto e, in particolare, x_{0} ∈ Ω, esiste una palla B_{r}(x_{0}) ⊆ Ω. Quindi d(x) ≥ d(x_{0}) ≥ r per ogni x ∈ K, cioè B_{r}(x) ⊆ Ω per ogni x ∈ K.

7.7. Lemma. Esistono funzioni ρ, r : ℝ → ℝ di classe C^{∞} verificanti

ρ(t) > 0 se t ∈ (0, 1), ρ(t) = 0 se t ∉ (0, 1) e ∫_{0}^{1} ρ(t) dt = 1.  (7.1)
ρ(1 − t) = ρ(t) per ogni t ∈ ℝ  (7.2)
r(t) = 0 se t ≤ 0, r(t) = 1 se t ≥ 1, r′(t) > 0 se 0 < t < 1  (7.3)
r(t) + r(1 − t) = 1 per ogni t ∈ ℝ.  (7.4)

Inoltre, per ogni ε ∈ (0, 1), esiste una funzione R_{ε} : ℝ → ℝ di classe C^{∞} verificante

R_{ε}(t) = 0 se t ≤ 1 − ε, R_{ε}(t) = t − 1 se t ≥ 1 e |R_{ε}(t)| ≤ ε per ogni t ≤ 1.  (7.5)

Dimostrazione. Sia α : ℝ → ℝ definita dalle formule α(t) = exp(−1/t) se t > 0 e α(t) = 0 se t ≤ 0. Essa è di classe C^{∞} ed è nulla in (−∞, 0] e positiva in (0, +∞). Allora la funzione ρ_{0} : ℝ → ℝ definita dalla formula ρ_{0}(t) = α(t)α(1 − t) è di classe C^{∞}, verifica le prime due delle (7.1) e ha integrale positivo. Si può quindi prendere ρ = κρ_{0} ove κ > 0 è scelto in modo da soddisfare anche la terza delle (7.1). Si noti che resta garantita anche la proprietà (7.2) di simmetria. Per costruire r basta porre

r(t) = ∫_{0}^{t} ρ(s) ds per t ∈ ℝ.

Le (7.3) sono infatti immediate. Per quanto riguarda la (7.4), abbiamo per ogni t ∈ ℝ

\begin{matrix}r(t) + r(1 − t) = ∫_{0}^{t} ρ(s) ds + ∫_{0}^{1−t} ρ(s) ds = ∫_{0}^{t} ρ(s) ds + ∫_{t}^{1} ρ(1 − τ)dτ \\ = ∫_{0}^{t} ρ(s) ds + ∫_{t}^{1} ρ(τ)dτ = ∫_{0}^{1} ρ(s) ds = 1. \end{matrix}

Fissiamo ora ε ∈ (0, 1) e costruiamo R_{ε}. A partire dalla funzione r poniamo

r_{ε}(t) = r(\frac{t − (1 − ε)}{ε}) per t ∈ ℝ

e osserviamo che r_{ε} è di classe C^{∞} e che

r_{ε}(t) = 0 se t ≤ 1 − ε, r_{ε}(t) = 1 se t ≥ 1 e r′_{ε}(t) > 0 se 1 − ε < t < 1.

Tenendo conto di ciò e della (7.4) si deduce che

\begin{matrix}∫_{0}^{1} r_{ε}(t) dt = ∫_{1−ε}^{1} r_{ε}(t) dt = ε ∫_{0}^{1} r(s) ds = ε ∫_{0}^{1/2} r(s) ds + ε ∫_{1/2}^{1} r(s) ds \\ = ε ∫_{0}^{1/2} r(t) dt + ε ∫_{0}^{1/2} r(1 − t) dt = ε ∫_{0}^{1/2}(r(t) + r(1 − t)) dt = \frac{ε}{2} . \end{matrix}

A questo punto possiamo definire R_{ε} : ℝ → ℝ mediante la formula

R_{ε}(t) = ∫_{0}^{t} r_{ε}(s) ds − r_{ε}(t) ∫_{0}^{1} r_{ε}(s) ds per t ∈ ℝ.

Chiaramente R_{ε} è di classe C^{∞} e R_{ε}(t) = 0 se t ≤ 1 − ε. Inoltre, se t ≥ 1, si ha

R_{ε}(t) = ∫_{0}^{1} r_{ε}(s) ds + ∫_{1}^{t} r_{ε}(s) ds − ∫_{0}^{1} r_{ε}(s) ds = ∫_{1}^{t} r_{ε}(s) ds = t − 1.

Infine, se t ≤ 1, abbiamo

|R_{ε}(t)| ≤ ∫_{0}^{1} r_{ε}(s) ds + r_{ε}(t) ∫_{0}^{1} r_{ε}(s) ds ≤ 2 ∫_{0}^{1} r_{ε}(s) ds = ε.

7.8. Lemma. Siano t_{±} ∈ ℝ tali che t_{−} < t_{+} e w_{±} ∈ ℝ^{n}. Siano inoltre x_{0}, x_{±} ∈ ℝ^{n} e ε ∈ (0, 1/2) tali che |x_{±} − x_{0}| < ε/3. Si supponga infine che x_{+} − x_{−} e w_{−} siano linearmente indipendenti e che x_{+} − x_{−} e w_{+} siano linearmente indipendenti. Allora esiste una funzione v : ℝ → ℝ^{n} di classe C^{∞} e con derivata mai nulla tale che

v(t_{±}) = x_{±}, v′(t) = w_{−} per ogni t ≤ t_{−}, v′(t) = w_{+} per ogni t ≥ t_{+}  (7.6)
|v(t) − x_{0}| < ε per ogni t ∈ [t_{−}, t_{+}].  (7.7)

Dimostrazione. Poniamo y_{±} = (t_{+} − t_{−})w_{±} e scegliamo ε′ > 0 tale che |ε′y_{±}| < ε/6. Sia ora r, data dal Lemma 7.7, di classe C^{∞} verificante le (7.3–4). Applichiamo inoltre lo stesso lemma con ε′ anziché ε: otteniamo una funzione, che tuttavia chiamiamo ancora R_{ε}, che è di classe C^{∞} e verifica le (7.5) ove ε è sostituito da ε′ nell’ultima disuguaglianza. Finalmente definiamo v : ℝ → ℝ^{n} mediante la formula

v(t) = r(1 − ϑ(t)) x_{−} + r(ϑ(t)) x_{+} − R_{ε}(1 − ϑ(t)) y_{−} + R_{ε}(ϑ(t)) y_{+} ove ϑ(t) = \frac{t − t_{−}}{t_{+} − t_{−}} .

Chiaramente v è di classe C^{∞}. Inoltre, se t ≤ t_{−}, si ha ϑ(t) ≤ 0 e quindi 1 − ϑ(t) ≥ 1. Segue che v(t) = x_{−} + ϑ(t) y_{−}. Dunque v(t_{−}) = x_{−} e v′(t) = w_{−}. Supponiamo ora t ≥ t_{+} . Allora ϑ(t) ≥ 1 e quindi 1 − ϑ(t) ≤ 0. Segue che v(t) = x_{+} + (ϑ(t) − 1) y_{+} . Dunque v(t_{+}) = x_{+} e v′(t) = w_{+} . Ciò prova le (7.6). Per verificare la (7.7) osserviamo che la (7.4) implica

v(t) − x_{0} = r(1 − ϑ(t)) (x_{−} − x_{0}) + r(ϑ(t)) (x_{+} − x_{0}) − R_{ε}(1 − ϑ(t)) y_{−} + R_{ε}(ϑ(t)) y_{+}

e ricordiamo che, se s ∈ [0, 1], si ha senz’altro 0 ≤ r(s) ≤ 1 e |R_{ε}(s)| ≤ ε′. Quindi, se t ∈ [t_{−}, t_{+}], essendo ϑ(t) ∈ [0, 1], concludiamo che

|v(t) − x_{0}| ≤ |x_{−} − x_{0}| + |x_{+} − x_{0}| + ε′(|y_{−}| + |y_{+}|) < ε.

Resta da verificare che v′(t) non si annulla mai e, grazie alle (7.6), basta considerare il caso in cui t ∈ (t_{−}, t_{+}). Calcoliamo v′(t). Posto τ = t_{+} − t_{−}, scrivendo ϑ anziché ϑ(t) per semplificare la notazione e ricordando la (7.4), abbiamo

\begin{matrix}v′(t) = −\frac{1}{τ} r′(1 − ϑ) x_{−} + \frac{1}{τ} r′(ϑ) x_{+} + \frac{1}{τ} R′_{ε}(1 − ϑ) y_{−} + \frac{1}{τ} R′_{ε}(ϑ) y_{+} \\ = \frac{1}{τ} r′(ϑ) (x_{+} − x_{−}) + R′_{ε}(1 − ϑ) w_{−} + R′_{ε}(ϑ) w_{+} . \end{matrix}

Supponiamo ora t_{−} + ετ ≤ t ≤ t_{+} − ετ. Allora ε ≤ ϑ ≤ 1 − ε. Segue che r′(ϑ) > 0 mentre R′_{ε}(1 − ϑ) = R′_{ε}(ϑ) = 0. Siccome l’ipotesi di indipendenza fatta implica x_{+} − x_{−} ≠ 0, concludiamo che v′(t) ≠ 0. Supponiamo ora t_{−} < t < t_{−} + ετ. Allora 0 < ϑ < ε < 1 − ε per cui r′(ϑ) > 0 e R′_{ε}(ϑ) = 0. Siccome x_{+} − x_{−} e w_{−} sono indipendenti concludiamo che v′(t) ≠ 0. Infine, se t_{+} − ετ < t < t_{+} , si ragiona analogamente sfruttando l’indipendenza dei vettori x_{+} − x_{−} e w_{+} .

7.9. Teorema. Sia Ω un aperto di ℝ^{n}. Allora sono equivalenti le condizioni seguenti: i) Ω è connesso; ii) Ω è connesso per archi; iii) per ogni coppia di punti x, y ∈ Ω esiste un cammino di Ω avente x e y come estremi; iv) per ogni coppia di punti x, y ∈ Ω esistono punti x^{0}, …, x^{m} in numero finito verificanti x^{0} = x, x^{m} = y e x^{k−1} ≠ x^{k} per k = 1, …, m e tali che la poligonale [x^{0}, …, x^{m}] abbia sostegno incluso in Ω; v) per ogni coppia di punti x, y ∈ Ω esiste un cammino di Ω avente x e y come estremi che è anche di classe C^{∞}.

Dimostrazione. Se n = 1 tutto si banalizza e si ha l’equivalenza. Supponiamo dunque n > 1. Evidentemente la iv) implica iii) e la iii) implica ii). Allora, se verifichiamo che ii) implica iv), abbiamo l’equivalenza fra ii), iii) e iv). Inoltre, banalmente, la v) implica la iii). Resta allora da dimostrare che: la ii) implica la iv); la iv) implica la v); le i) e ii) sono equivalenti. Procediamo.

Supponiamo Ω connesso per archi e, dati x, y ∈ Ω, costruiamo la poligonale di cui in iv). Se x = y (ricordando l’Osservazione 3.6), scegliamo r > 0 tale che B_{r}(x) ⊆ Ω e z ∈ B_{r}(x)\{x} e come poligonale prendiamo [x, z, x]. Supponiamo ora x ≠ y. Siccome Ω è connesso per archi, esiste una funzione continua u : [0, 1] → Ω tale che u(0) = x e u(1) = y. Siccome la sua immagine K è compatta, il Lemma 7.6 fornisce ε > 0 tale che B_{ε}(x) ⊆ Ω per ogni x ∈ K. Ma u è uniformemente continua per il Teorema di Heine, per cui esiste δ > 0 tale che |u(t) − u(s)| < ε per ogni coppia di punti t, s ∈ [a, b] verificanti |t−s| ≤ δ. Scelto un intero m ≥ 1/δ, poniamo t_{k} = k/m e x^{k} = u(t_{k}) per k = 0, …, m. Eventualmente eliminando qualcuno dei punti x^{k} e rinumerando i rimanenti, ci riconduciamo al caso in cui x^{k−1} ≠ x^{k} per k = 1, …, m, così che questi punti individuano una poligonale. Vediamo che questa verifica quanto deve verificare. Si ha x^{0} = u(0) = x e x^{m} = u(1) = y. Rimane da dimostrare che il punto x_{s}^{k} = x^{k−1} + s(x^{k} − x^{k−1}) appartiene a Ω per ogni s ∈ [0, 1] e per k = 1, …, m. Ma |x_{s}^{k} − x^{k−1}| = s|x^{k} − x^{k−1}| ≤ |x^{k} − x^{k−1}|. D’altra parte si ha |x^{k} − x^{k−1}| = |u(t_{k}) − u(t_{k−1})| < ε dato che t_{k} − t_{k−1} ≤ δ. Dunque x_{s}^{k} ∈ B_{ε}(x^{k−1}) ⊆ Ω.

Supponiamo ora che valga la iv) e, a partire dalla poligonale dell’ipotesi, costruiamo il cammino di classe C^{∞}. Siano dunque x, y ∈ Ω e x^{k}, k = 0, …, m, come in iv). Denotiamo con P la poligonale in questione. Se m = 1 essa è un segmento e ne prendiamo una parametrizzazione di classe C^{∞}. Sia dunque m > 1. Con un eventuale lavoro preliminare ci riconduciamo al caso in cui, per k = 1, …, m − 1, i due vettori non nulli v^{k} = x^{k} − x^{k−1} e v^{k+1} = x^{k+1} − x^{k} sono indipendenti. Infatti, se v^{k+1} = cv^{k} per un certo k e una certa costante c ∈ ℝ, procediamo come segue. Se c > 0 sostituiamo il tratto poligonale T = [x^{k−1}, x^{k}, x^{k+1}] nell’intera poligonale P con il segmento [x^{k−1}, x^{k+1}]. Se c = −1 sopprimiamo il tratto. Se c < −1, il sostegno del tratto T = [x^{k−1}, x^{k}, x^{k+1}] coincide con quello della poligonale [x^{k−1}, x^{k}, x^{k−1}, x^{k+1}] per cui sostituiamo T con [x^{k−1}, x^{k+1}] in P. Se c ∈ (−1, 0) ci comportiamo analogamente. Dopo questo eventuale lavoro di semplificazione, procediamo. Fissiamo una parametrizzazione u : [a, b] → Ω di P tale che, per k = 1, …, m, le componenti della restrizione di u a [t_{k−1}, t_{k}] siano polinomi di primo grado. Segue che la derivata di tale restrizione è un vettore costante non nullo. L’idea è quella di modificare u solo vicino ai punti t_{k} per k = 1, …, m − 1 in modo da ottenere una funzione di classe C^{∞}, ancora con derivata non nulla. Organizziamo le cose in modo che tali modifiche possano essere fatte contemporaneamente senza che esse interferiscano fra loro creando conflitti: infatti, detto t′_{k} il punto medio dell’intervallo [t_{k−1}, t_{k}] per k = 1, …, m, per “smussare” la poligonale vicino a x^{k} (k = 1, …, m−1) modifichiamo u solo in (t′_{k}, t′_{k+1}). Per k = 1, …, m−1 procediamo come segue, omettendo l’indice k nelle notazioni di quanto introduciamo dato che ora k è fissato. Scegliamo ε ∈ (0, 1/2) tale che B_{ε}(x^{k}) ⊆ Ω. In corrispondenza scegliamo δ > 0 tale che |u(t)−x^{k}| < ε/3 per |t−t_{k}| ≤ δ. Scegliamo t_{−} ∈ (t′_{k}, t_{k}) e t_{+} ∈ (t_{k}, t′_{k+1}) tali che |t_{±} −t_{k}| ≤ δ e poniamo x_{±} = u(t_{±}). Infine denotiamo con w_{−} e w_{+} i due valori costanti che u′ assume negli intervalli (t′_{k}, t_{k}) e (t_{k}, t′_{k+1}). Applichiamo il Lemma 7.8 con x_{0} = x^{k} osservando che le ipotesi di indipendenza sono soddisfatte come conseguenza dell’indipendenza dei due vettori v^{k} e v^{k+1} garantita sopra. Troviamo una funzione v : ℝ → ℝ^{n} di classe C^{∞} con derivata mai nulla che coincide con u in ciascuno dei due intervalli (t′_{k}, t_{−}) e (t_{+}, t′_{k+1}). Sostituendo allora u(t) con v(t) per t ∈ (t_{−}, t_{+}) abbiamo regolarizzato come desiderato in quanto il cammino così modificato ha sostegno ancora in Ω. Infatti, per t ∈ (t_{−}, t_{+}), abbiamo |v(t) − x^{k}| < ε, da cui v(t) ∈ B_{ε}(x^{k}) ⊆ Ω. La funzione ottenuta parametrizza dunque il cammino richiesto in v).

Supponiamo ora Ω connesso e dimostriamo che esso è connesso per archi. Per x, y ∈ Ω, scriviamo x ∼ y quando esiste una funzione continua u : [0, 1] → Ω tale che u(0) = x e u(1) = y. Si vede senza difficoltà che ∼ è una relazione di equivalenza in Ω e ciò che dobbiamo dimostrare è che due punti qualunque di Ω sono equivalenti. Supponiamo che ciò sia falso e fissiamo due punti x_{0}, x′_{0} ∈ Ω non equivalenti fra loro. Denotiamo con A la classe di equivalenza di x_{0} e poniamo A′ = Ω \ A. Chiaramente x_{0} ∈ A e x′_{0} ∈ A′. Inoltre i due insiemi sono disgiunti e la loro unione è Ω. Se dimostriamo che essi sono entrambi aperti, vediamo allora che la coppia (A, A′) è una sconnessione di Ω e contraddiciamo l’ipotesi di connessione. Sia x ∈ A. Siccome Ω è aperto, esiste ε > 0 tale che B = B_{ε}(x) ⊆ Ω. Mostriamo che B ⊆ A. Infatti, siccome B è un insieme convesso, ogni suo punto è equivalente al suo centro x, il quale è equivalente a x_{0} . Dunque ogni punto di B è equivalente a x_{0} e di conseguenza appartiene ad A. Analogamente, fissati x′ ∈ A′ e una palla B′ = B_{ε′}(x′) inclusa in Ω, si vede che ogni punto di B′ è equivalente a x′, il quale non è equivalente a x_{0} . Dunque i punti di B′ non sono equivalenti a x_{0} e di conseguenza appartengono ad A′. Ciò mostra che anche A′ è aperto e conclude la dimostrazione dell’implicazione in questione.

Supponiamo infine Ω connesso per archi e dimostriamo che Ω è connesso. Per assurdo supponiamo Ω non connesso e fissiamo una sconnessione (A, A′) di Ω. Prendendo le intersezioni con Ω, che è aperto, ci riconduciamo al caso in cui A e A′ sono aperti non vuoti inclusi in Ω, disgiunti e aventi Ω come unione. Fissiamo x ∈ A e y ∈ A′. Grazie all’ipotesi di connessione per archi, esiste una funzione continua u : [0, 1] → Ω tale che u(0) = x e u(1) = y. Poniamo I = u^{−1}(A) e I′ = u^{−1}(A′). Allora 0 ∈ I, 1 ∈ I′ e, per δ > 0 abbastanza piccolo, abbiamo [0, δ) ⊆ I e (1 − δ, 1] ⊆ I′ dato che A e A′ sono aperti e u è continua. Deduciamo che sono aperti anche gli insiemi I_{δ} = I ∪ (−δ, δ) e I′_{δ} = I′ ∪ (1 − δ, 1 + δ), come si vede usando ancora la continuità di u e il fatto che A e A′ sono aperti. Dunque (I_{δ}, I′_{δ}) è una sconnessione di [0, 1], in contraddizione con l’Esempio 7.2.

7.10. Osservazione. Si dimostra senza eccessive difficoltà che le componenti connesse di un aperto di ℝ^{n} sono anch’esse degli aperti. Per questo motivo, quando può essere utile l’ipotesi che un aperto sia connesso, la si può fare con una certa tranquillità. Infatti, capita spesso che un risultato vero in ipotesi di connessione e falso per un aperto generico si estenda in forma opportuna semplicemente considerando le componenti connesse, che pure sono aperti, questa volta connessi. Ecco un esempio. Sappiamo che una funzione differenziabile in un intervallo con derivata identicamente nulla è necessariamente costante. D’altra parte l’analogo enunciato per un generico aperto di Ω ⊆ ℝ è falso. Resta invece vero per un aperto qualunque Ω ⊆ ℝ il fatto che una funzione con derivata nulla è costante su ciascuna delle componenti connesse di Ω. Pertanto, nei paragrafi successivi, supporremo sempre che gli aperti di volta in volta considerati siano connessi.

8. Forme differenziali esatte

Come abbiamo anticipato, nel caso di una sola variabile sostanzialmente ogni forma differenziale è il differenziale di una funzione. Al contrario il risultato è falso in più dimensioni. In questo paragrafo discutiamo a fondo il problema.

8.1. Definizione. Siano Ω un aperto di ℝ^{n} e ω : Ω → (ℝ^{n})^{∗} una forma differenziale. Diciamo che ω è una forma esatta, oppure che è un differenziale esatto, quando esiste una funzione differenziabile F : Ω → ℝ tale che ω = dF. Ogni funzione F in tali condizioni è detta primitiva di ω. Diciamo poi che ω è localmente esatta quando ogni punto di Ω ha un intorno aperto la restrizione di ω al quale è esatta. Le primitive delle restrizioni esatte di ω sono dette primitive locali di ω.

Se Ω è un intervallo aperto della retta, una forma differenziale ω è del tipo f dx, ove f è una funzione reale definita in Ω, e il problema dell’esattezza di ω coincide con quello di trovare una funzione F : Ω → ℝ differenziabile tale che F′ = f. Dunque il termine primitiva introdotto nella definizione precedente è sostanzialmente coerente con quello abituale: le primitive di ω sono esattamente le primitive di f. Ebbene il problema dell’esattezza si risolve nella sola ipotesi di continuità di f, che ora rileggiamo come segue: ω è una forma di classe C^{0} . Le primitive di ω costituiscono esattamente l’integrale indifinito di f, sono cioè tutte e sole le funzioni che si ottengono sommando costanti arbitrarie a una funzione integrale di f.

Nel caso generale la situazione è diversa, ma le considerazioni appena fatte suggeriscono di non scendere mai sotto il livello C^{0} di regolarità. In questa classe e in classi più ristrette troveremo condizioni necessarie e sufficienti per l’esattezza. A proposito di regolarità, facciamo un’osservazione di carattere generale: se k ≥ 0 è un intero e ω è di classe C^{k}, ogni sua (eventuale) primitiva F è di classe C^{k+1} . Infatti F è differenziabile e le sue derivate parziali prime D_{i}F coincidono ordinatamente con i coefficienti ω_{i} di ω, che sono di classe C^{k}.

Il motivo per cui in più variabili le forme esatte sono di tipo particolare è il seguente: trovare una primitiva F di una forma differenziale ω in Ω significa saper risolvere rispetto a F il sistema

ω_{i}(x) = D_{i}F (x) per ogni x ∈ Ω, per i = 1, …, n  (8.1)

il quale è un sistema di n equazioni alle derivate parziali nella sola incognita F. Se n = 1 il numero di equazioni eguaglia quello delle incognite, mentre il sistema è sovradimensionato se n > 1. Ci si aspetta pertanto che esso di norma non abbia soluzioni.

8.2. Esempio. Consideriamo le forme differenziali

ω(x, y) = dx + x dy e σ(x, y) = y dx + x dy per (x, y) ∈ ℝ^{2}

e cerchiamone primitive F attraverso la risoluzione del sistema (8.1). Nel primo caso abbiamo

\frac{∂F (x, y)}{∂x} = 1 e \frac{∂F (x, y)}{∂y} = x cioè F (x, y) = x + φ(y) e F (x, y) = xy + ψ(x)

per certe funzioni φ : ℝ → ℝ e ψ : ℝ → ℝ. In particolare si deve avere F (0, y) = φ(y) e F (0, y) = ψ(0) per ogni y, da cui φ(y) = ψ(0) per ogni y. Dunque, la prima rappresentazione di F diventa F (x, y) = x + c per una certa costante reale c. Ma ciò è incompatibile con la seconda. Dunque ω non ha primitive. Nel caso di σ il sistema (8.1) diventa invece

\frac{∂F (x, y)}{∂x} = y e \frac{∂F (x, y)}{∂y} = x cioè F (x, y) = xy + φ(y) e F (x, y) = xy + ψ(x)

per certe φ e ψ come sopra. Ora il confronto porta all’identità φ(y) = ψ(x) per ogni (x, y) ∈ ℝ^{2} , il che significa che le due funzioni φ e ψ sono una stessa costante. Dunque σ ha primitive e queste sono tutte e sole le funzioni definite dalla formula F (x, y) = xy + c con c ∈ ℝ ad arbitrio.

Le considerazioni e l’esempio precedenti dicono che le forme esatte sono “rare”. Dunque ci si aspetta pure che esse godano di proprietà notevoli. Ecco il risultato fondamentale.

8.3. Teorema. Siano Ω un aperto connesso di ℝ^{n} e ω : Ω → (ℝ^{n})^{∗} una forma differenziale di classe C^{0} . Allora sono equivalenti le condizioni seguenti:

i) ω è esatta;
ii) ∫_{C_{1}} ω = ∫_{C_{2}} ω per ogni coppia di cammini C_{1} e C_{2} di Ω aventi lo stesso primo estremo e lo stesso secondo estremo;

iii) ∫_{C} ω = 0 per ogni circuito di Ω.

Più precisamente valgono i fatti seguenti: iv) se vale la i) e F è una primitiva di ω, per ogni cammino C di Ω risulta

∫_{C} ω = F (y) − F (x) ove x è il primo estremo e y è il secondo estremo di C  (8.2)

v) se vale la ii) e x_{0} ∈ Ω è fissato ad arbitrio, la formula

F (x) = ∫_{C_{x}} ω  per x ∈ Ω, ove C_{x} è un cammino di Ω avente primo estremo in x_{0} e secondo estremo in x  (8.3)

definisce una primitiva di ω nulla in x_{0} . Infine: vi) due primitive qualunque di ω differiscono per una funzione costante.

Dimostrazione. Osserviamo preliminarmente che, per l’ipotesi di connessione e il Teorema 7.9, per ogni coppia di punti di Ω effettivamente esiste un cammino che li congiunge. Dimostriamo ora l’equivalenza fra le condizioni ii) e iii). Valga la ii) e sia C un circuito di Ω. Sia u : [0, 2] → Ω una parametrizzazione di C e siano C_{1} e C_{2} i cammini parametrizzati dalle restrizioni di u a [0, 1] e a [1, 2] rispettivamente. Allora il secondo estremo di C_{1} e il primo estremo di C_{2} coincidono. Ma anche il primo estremo di C_{1} e il secondo estremo di C_{2} coincidono. Infatti essi sono i punti u(0) e u(2), cioè gli estremi di C, i quali coincidono dato che C è un circuito. Deduciamo che C_{1} e −C_{2} hanno lo stesso primo estremo e lo stesso secondo estremo. Dall’ipotesi ii) e dalle formule (6.7) di additività otteniamo allora

∫_{C} ω = ∫_{C_{1}} ω + ∫_{C_{2}} ω = ∫_{C_{1}} ω − ∫_{−C_{2}} ω = 0

e la iii) è dimostrata. Supponiamo ora che valga la iii) e dimostriamo la ii). Siano C_{1} e C_{2} come in ii). Quindi è ben definita la somma C = C_{1} − C_{2} , la quale è un circuito. Con un calcolo analogo vediamo allora che gli integrali di ω sui due circuiti hanno lo stesso valore. Ciò conclude la dimostrazione dell’equivalenza fra le condizioni ii) e iii).

Dimostriamo ora l’equivalenza fra i) e ii) e le ultime affermazioni dell’enunciato. Precisamente dimostriamo dapprima la iv) e da ciò deduciamo sia che la i) implica la ii) sia la vi). Supponiamo dunque, come in iv), che ω sia esatta e siano F una primitiva di ω e C un cammino di Ω. Allora F è di classe C^{1} e, se u : [a, b] → Ω è una parametrizzazione di C, la composizione F ∘ u è di classe C^{1} a tratti e quindi verifica la formula fondamentale del calcolo. Abbiamo dunque

\begin{matrix}∫_{C} ω = ∫_{C} dF = ∫_{a}^{b} ⟨dF (u(t)), u′(t)⟩ dt = ∫_{a}^{b} ∑_{i=1}^{n} D_{i}F (u(t)) u′_{i}(t) dt \\ = ∫_{a}^{b} \frac{d}{dt} F (u(t)) dt = F (u(b)) − F (u(a)) = F (y) − F (x) \end{matrix}

ove x e y sono il primo e il secondo estremo di C. Ciò prova l’affermazione iv). In particolare, se vale i) e C_{1} e C_{2} sono come in ii), gli integrali di ω sui due cammini hanno lo stesso valore. Ciò prova che i) implica ii). Ma quanto abbiamo dimostrato sopra prova anche la vi). Siano infatti F e G due primitive di ω. Fissato x_{0} ∈ Ω, applicando la (8.2) a F e a G, al generico punto x ∈ Ω e a un cammino C avente primo estremo in x_{0} e secondo estremo in x, vediamo che, per ogni x ∈ Ω, si deve avere

F (x) − F (x_{0}) = ∫_{C} ω = G(x) − G(x_{0}) da cui F (x) − G(x) = F (x_{0}) − G(x_{0}).

Dunque la differenza F − G è la costante F (x_{0}) − G(x_{0}).

Per concludere la dimostrazione basta provare la v). Ciò, infatti, dimostra in particolare anche che ii) implica i). Valga dunque la ii) e verifichiamo che la formula (8.3) definisce una primitiva di ω nulla in x_{0} . Innanzi tutto la (8.3) ha senso grazie all’ipotesi ii). Fissiamo x ∈ Ω e dimostriamo che F è differenziabile in x e che dF (x) = ω(x), cioè che F (x + h) − F (x) − ⟨ω(x), h⟩ = o(|h|) per h → 0. Fissiamo anche un cammino C_{x} di Ω avente x_{0} come primo estremo e x come secondo estremo e una palla B_{r}(x) ⊆ Ω. Allora, per 0 < |h| < r, il cammino C_{x} +[x, x+h] è ben definito, è un cammino di Ω e i suoi estremi sono ordinatamente x_{0} e x + h. Pertanto esso può essere usato per calcolare F (x + h). Grazie all’additività dell’integrale abbiamo dunque

F (x + h) − F (x) = ∫_{C_{x}+[x,x+h]} ω − ∫_{C_{x}} ω = ∫_{C_{x}} ω + ∫_{[x,x+h]} ω − ∫_{C_{x}} ω = ∫_{[x,x+h]} ω.

Scegliendo la parametrizzazione standard di [x, x + h] otteniamo allora

F (x+h)−F (x)−⟨ω(x), h⟩ = ∫_{0}^{1} ⟨ω(x + th), h⟩ dt−∫_{0}^{1} ⟨ω(x), h⟩ dt = ∫_{0}^{1} ⟨ω(x + th) − ω(x), h⟩ dt

e ora dimostriamo che l’ultimo membro è o(|h|) per h → 0. Esso, per h ≠ 0, si scrive come

|h| q(h) ove q(h) = ∫_{0}^{1} ⟨ω(x + th) − ω(x), h/|h|⟩ dt

per cui occorre dimostrare che q è un infinitesimo. Fissato ε > 0 ad arbitrio, sia δ ∈ (0, r) tale che |ω(y) − ω(x)| ≤ ε per ogni y ∈ B_{δ}(x). Se |h| < δ abbiamo allora x + th ∈ B_{δ}(x) per ogni t ∈ [0, 1] e quindi |ω(x + th) − ω(x)| ≤ ε per ogni t ∈ [0, 1]. Abbiamo pertanto

|q(h)| ≤ ∫_{0}^{1}|⟨ω(x + th) − ω(x), h/|h|⟩| dt ≤ ∫_{0}^{1}|ω(x + th) − ω(x)| |h/|h|| dt ≤ ∫_{0}^{1} ε dt = ε.

Infine verifichiamo che F (x_{0}) = 0 Questo fatto, apparentemente ovvio, va dimostrato in quanto non esistono cammini aventi sostegno ridotto al solo x_{0} . Tuttavia non ci sono problemi: scelti r > 0 tale che B_{r}(x_{0}) ⊆ Ω e x′ ∈ B_{r}(x_{0}) \ {x_{0}}, possiamo prendere C_{x} = [x_{0}, x′, x_{0}]. Abbiamo

F (x_{0}) = ∫_{[x_{0},x′,x_{0}]} ω = ∫_{[x_{0},x′]} ω + ∫_{[x′,x_{0}]} ω = 0

in quanto [x′, x_{0}] = −[x_{0}, x′]. Ciò conclude la dimostrazione.

8.4. Esercizio. Si dia una dimostrazione alternativa di v) adattando quella data in modo da seguire la traccia indicata. Si dimostri che, per ogni x ∈ Ω, esiste la derivata parziale D_{i}F (x) e che questa vale ω_{i}(x). Si deduca direttamente che F è di classe C^{1} e si concluda.

8.5. Osservazione. Il teorema precedente, di grandissimo interesse teorico, è utile dal punto di vista operativo solo in alcune delle sue parti. Precisamente, se si sa già che ω è esatta, allora si sa anche che vale la ii) e quindi, per calcolare una primitiva, si può applicare la v) scegliendo il cammino C_{x} in dipendenza da x nel modo più conveniente di volta in volta. A questo proposito facciamo qualche osservazione: i) la (8.3) fornisce la primitiva, che è unica per l’ultimo punto del teorema, che si annulla in x_{0} ; ii) nella (8.3), per x ≠ x_{0} vicino a x_{0} , possiamo prendere C_{x} = [x_{0}, x], il che ci consente poi di eliminare la restrizione x ≠ x_{0} grazie alla convenzione dell’Esempio 6.5 e ottenere F (x_{0}) = 0; iii) se Ω è stellato rispetto a x_{0} , la scelta C_{x} = [x_{0}, x] è lecita per ogni x ∈ Ω; iv) supponendo Ω ⊆ ℝ^{2} e x_{0} = (0, 0) solo per non introdurre notazioni complicate, se per ogni x = (x_{1}, x_{2}) ∈ Ω (inizialmente con x_{i} ≠ 0 per i = 1, 2, poi si può abbandonare questa restrizione) è un cammino di Ω la poligonale [(0, 0), (x_{1}, 0), (x_{1}, x_{2})], si può prendere questa come C_{x}. Tuttavia le situazioni particolari possono suggerire scelte diverse. Ad esempio, se ω è una forma differenziale in ℝ^{2} con evidente simmetria circolare, si può pensare di prendere cammini che si descrivono agevolmente in coordinate polari attraverso condizioni del tipo ρ = costante e ϑ = costante. Inoltre si può anche cercare di risolvere il sistema (8.1), come abbiamo fatto nell’Esempio 8.2. Però ribadiamo: tutto ciò a patto di sapere già dell’esattezza per evitare un calcolo senza sbocco (come il primo dell’Esempio 8.2). Osserviamo infine che l’indipendenza dell’integrale dal cammino specificata nella condizione ii) suggerisce la notazione

∫_{x_{0}}^{x} ω in sostituzione del secondo membro della (8.3)  (8.4)

che nel caso n = 1 e ω(x) = f(x) dx diventa ∫_{x_{0}}^{x} f(y) dy e fornisce la funzione integrale.

8.6. Esercizio. Le seguenti forme differenziali in ℝ^{3}

z dx + x dz, y dx + x dy + z dz e yz dx + xz dy + xy dz

sono esatte. Calcolare le loro primitive che si annullano nell’origine seguendo, secondo le indicazioni dell’Osservazione 8.5, le varie vie possibili e confrontando i risultati ottenuti. Analogamente procedere con la forma (x dx+y dy)/(x^{2} +y^{2}) in ℝ^{2} \{(0, 0)}, che presenta una simmetria circolare.

Benché il Teorema 8.3 sia completamente esauriente, presentiamo come complemento altre condizioni equivalenti all’esattezza. Le riuniamo nel teorema enunciato di seguito. Invitiamo il lettore a meditare sul caso n = 1, anche se poco significativo, ricordando gli Esercizi 4.4 e 4.5.

8.7. Teorema. Siano Ω un aperto connesso di ℝ^{n} e ω : Ω → (ℝ^{n})^{∗} una forma differenziale di classe C^{0} . Allora sono equivalenti le condizioni seguenti:

i) ω è esatta;
ii) ∫_{P} ω = 0 per ogni poligonale chiusa P di Ω;
iii) ∫_{P} ω = 0 per ogni poligonale chiusa semplice P di Ω;
iv) ∫_{C} ω = 0 per ogni circuito semplice C di Ω.

Dimostrazione. L’equivalenza fra i) e ii) è una sorta di versione molto ridotta dell’enunciato del Teorema 8.3 in cui il termine “cammino” è sostituito dal termine “poligonale”. Se si riprende l’intera dimostrazione del teorema citato e si effettua in ogni occorrenza la stessa sostituzione, si vede che si ottiene la dimostrazione dell’equivalenza delle prime due condizioni del presente enunciato (e naturalmente anche molto altro). Osserviamo ora che la i) implica la iv) per il Teorema 8.3 e che, banalmente, la ii) implica la iii) e la iv) implica la iii). Per concludere basta allora provare che la iii) implica la ii). Assumiamo dunque la iii) e dimostriamo la ii). Procediamo per induzione sul numero di vertici delle poligonali della nostra tesi. Sia P = [x^{0}, …, x^{m}] una poligonale chiusa di Ω. Allora m ≥ 2, per cui m = 2 è il valore di innesco del procedimento ricorsivo. Sia dunque P = [x, y, x] con x ≠ y. Abbiamo allora

∫_{P} ω = ∫_{[x,y]} ω + ∫_{[y,x]} ω = ∫_{[x,y]} ω + ∫_{−[x,y]} ω = ∫_{[x,y]} ω − ∫_{[x,y]} ω = 0 .  (8.5)

Sia ora m > 2. Dimostriamo che ∫_{P} ω = 0 per ogni poligonale chiusa P = [x^{0}, …, x^{m}] di Ω assumendo come ipotesi di induzione che risulti ∫_{P′} ω = 0 per ogni poligonale chiusa P′ = [y^{0}, …, y^{k}] di Ω con k < m. Sia dunque P = [x^{0}, …, x^{m}] una poligonale chiusa di Ω. Se P è semplice allora ∫_{P} ω = 0 per l’ipotesi iii). Supponiamo allora che P non sia semplice. Per comodità, prendiamo la parametrizzazione u : [0, L] → Ω di P per lunghezza d’arco. Siano s_{0}, …, s_{m} ∈ [0, L] verificanti 0 = s_{0} < s_{1} < … < s_{m} = L e u(s_{k}) = x^{k} per k = 0, …, m. Per k = 1, …, m poniamo u_{k} = u|_{[s_{k−1},s_{k}]} e ℓ_{k} = s_{k} − s_{k−1} = |x^{k} − x^{k−1}|, per cui u_{k}(s) = x^{k−1} + (s − s_{k})ℓ_{k}^{−1}(x^{k} − x^{k−1}) per s ∈ [s_{k−1}, s_{k}]. Siccome P è chiusa e non semplice, esistono due punti a, b ∈ [0, L] con a < b tali che u(a) = u(b) e non verificanti contemporaneamente le due uguaglianze a = 0 e b = L. Siccome ciascuna delle funzioni u_{k} è iniettiva, a e b non possono appartenere a uno stesso degli intervalli [s_{k−1}, s_{k}].

Supponiamo dapprima che a e b appartengano a due consecutivi di tali intervalli, cioè che risulti s_{k−1} ≤ a ≤ s_{k} ≤ b ≤ s_{k+1} per un certo k verificante 0 < k < m. Per quanto detto sopra, nessuno dei due punti a e b può essere s_{k}, per cui a < s_{k} < b e il vettore v^{k} = x^{k} −u(a) = x^{k} −u(b) non è nullo. Deduciamo che x^{k} − x^{k±1} = c_{±}v^{k} per certi c_{±} > 0, da cui x^{k} − x^{k+1} = c(x^{k} − x^{k−1}) per un certo c > 0, e deve necessariamente essere c = ℓ_{k+1}/ℓ_{k}. Supponiamo ora ℓ_{k+1} = ℓ_{k}. Allora x^{k−1} = x^{k+1} e possiamo scrivere

P = P_{1} + P_{2} + P_{3} ove P_{1} = [x^{0}, …, x^{k−1}], P_{2} = [x^{k−1}, x^{k}, x^{k+1}] e P_{3} = [x^{k+1}, …, x^{m}] (8.6)

con la convenzione di ignorare P_{1} e P_{3} rispettivamente nei casi estremi k = 1 e k = m − 1. Siccome questi sono anche più semplici, supponiamo 1 < k < m − 1 e osserviamo che P_{1} + P_{3} è una poligonale ben definita in quanto x^{k−1} = x^{k+1} . Abbiamo allora

∫_{P} ω = ∫_{P_{1}} ω + ∫_{P_{2}} ω + ∫_{P_{3}} ω = ∫_{P_{1}+P_{3}} ω + ∫_{P_{2}} ω .  (8.7)

Ora (come per la (8.5)) l’ultimo integrale è nullo in quanto x^{k−1} = x^{k+1} . Ma anche il penultimo lo è, grazie all’ipotesi di induzione. Abbiamo infatti P_{1} + P_{3} = [y^{0}, …, y^{m−2}] ove y^{i} = x^{i} se 0 ≤ i < k e y^{i} = x^{i+2} se k ≤ i ≤ m − 2. Se invece ℓ_{k+1} ≠ ℓ_{k} la situazione è leggermente più complessa. Supponiamo ℓ_{k} < ℓ_{k+1} (l’altro caso è analogo). Allora il punto s′_{k} = s_{k} +ℓ_{k} appartiene a (s_{k}, s_{k+1}) e verifica u(s′_{k}) = x^{k−1} . Ne deriva che possiamo scrivere

P = [x^{0}, …, x^{k−1}] + [x^{k−1}, x^{k}, x^{k−1}] + [x^{k−1}, x^{k+1}, …, x^{m}]

e si verifica una situazione analoga alla precedente. Con analoga notazione, la differenza è che ora P_{1} + P_{3} si scive in una forma del tipo [y^{0}, …, y^{m−1}] anziché [y^{0}, …, y^{m−2}], ma ciò basta ancora per sfrutture l’ipotesi di induzione. Ciò conclude l’esame del caso in cui a e b appartengano a due consecutivi degli intervalli [s_{k−1}, s_{k}].

Nel caso opposto abbiamo s_{i−1} ≤ a ≤ s_{i} < s_{j} ≤ b ≤ s_{j+1} con 0 < i < j < m. Allora non avviene più necessariamente che la poligonale si ripieghi su se stessa, dato che può presentarsi il caso di un intreccio. Tuttavia, dal punto di vista tecnico, la dimostrazione ricalca quella svolta finora e possiamo procedere più speditamente. Introduciamo il vertice aggiuntivo x^{∗} = u(a) = u(b), che può coincidere o meno con uno dei vertici di P, e decomponiamo l’integrale in una forma analoga alle (8.6) e (8.7). Il caso peggiore è quello che massimizza il numero di vertici, cioè quello in cui x^{∗} è diverso dai vertici x^{k} con k = i − 1, i, j, j + 1. In tali condizioni, con notazioni analoghe a quelle usate sopra, abbiamo

P_{2} = [x^{∗}, x^{i}, …, x^{j}, x^{∗}] e P_{1} + P_{3} = [x^{0}, …, x^{i−1}, x^{∗}, x^{j+1}, …, x^{m}]

e possiamo scrivere tali poligonali nelle forme P_{2} = [y^{0}, …, y^{j−i}] e P_{1} + P_{3} = [z^{0}, …, z^{i+m−j}]. Chiaramente j − i < m. Ma abbiamo anche i + m − j < m dato che i < j. Dunque, anche in questo caso, possiamo usare l’ipotesi di induzione e concludere.

9. Forme differenziali chiuse

L’Osservazione 8.5 mette in particolare rilievo l’importanza di sapere già dell’esattezza della forma differenziale in esame. Dunque è essenziale riuscire a dare condizioni sufficienti. Partiamo da una condizione necessaria. Useremo in genere notazioni brevi per le derivate.

9.1. Definizione. Siano Ω un aperto di ℝ^{n} e ω : Ω → (ℝ^{n})^{∗} una forma differenziale di classe C^{1} . Diciamo che ω è chiusa quando

D_{i}ω_{j}(x) = D_{j}ω_{i}(x) per ogni x ∈ Ω e per i, j = 1, …, n.  (9.1)

9.2. Teorema. Siano Ω un aperto di ℝ^{n} e ω : Ω → (ℝ^{n})^{∗} una forma differenziale di classe C^{1} . Se ω è esatta, allora ω è chiusa.

Dimostrazione. Sia F sia una primitiva di ω. Siccome ω è di classe C^{1} , si ha che F è di classe C^{2} . Allora possiamo applicare il Teorema di Schwarz e dedurre che D_{i}D_{j}F = D_{j}D_{i}F per ogni i, j = 1, …, n. In termini di ω ciò significa appunto D_{i}ω_{j} = D_{j}ω_{i}.

Nasce spontaneamente la domanda: è vero che ogni forma chiusa è esatta? Ebbene la risposta è in generale negativa. Per studiare compiutamente il problema introduciamo un nuovo concetto.

9.3. Definizione. Sia Ω un aperto connesso di ℝ^{n}. Un’omotopia a valori in Ω, brevemente una Ω-omotopia, è un’applicazione H : R → Ω verificante le condizioni seguenti:

i) il dominio R di H è un rettangolo compatto [a, b] × [c, d] di ℝ^{2};  (9.2)
ii) la funzione H è continua;  (9.3)
iii) si ha H(a, λ) = H(b, λ) per ogni λ ∈ [c, d].  (9.4)

Se C_{0} e C_{1} sono due circuiti di Ω, diciamo che l’omotopia H è un’omotopia da C_{0} a C_{1} quando le due funzioni H( · , c) e H( · , d) sono parametrizzazioni di C_{0} e di C_{1} rispettivamente. Diciamo infine che i due circuiti sono Ω-omotopi quando esiste una Ω-omotopia da C_{0} a C_{1} .

Il concetto di omotopia è importante nella Topologia algebrica. Segnaliamo che, di solito, esso viene dato in una forma un po’ diversa, ma su questo punto ritorniamo successivamente. Notiamo invece subito che, come nel caso di un cammino possiamo prefissare ad arbitrio il dominio di una sua parametrizzazione, così possiamo prefissare il rettangolo R dominio dell’omotopia. Questa osservazione può essere utile in varie situazioni, ad esempio, per verificare che

l’omotopia rispetto a Ω è una relazione di equivalenza nell’insieme dei circuiti di Ω. (9.5)

Lasciamo questo controllo al lettore: ad esempio la transitività è l’esercizio successivo.

9.4. Esercizio. Siano Ω un aperto di ℝ^{n} e C_{i}, i = 1, 2, 3, tre circuiti di Ω. Siano inoltre H_{1} : [0, 1] × [0, 1] → Ω e H_{2} : [0, 1] × [1, 2] → Ω due Ω-omotopie da C_{1} a C_{2} e da C_{2} a C_{3} rispettivamente. Si definisca H : [0, 1] × [0, 2] → Ω mediante le formule

H(t, λ) = H_{1}(t, λ) se (t, λ) ∈ [0, 1] × [0, 1] e H(t, λ) = H_{2}(t, λ) se (t, λ) ∈ [0, 1] × (1, 2].

Si dimostri che H è una Ω-omotopia da C_{1} a C_{3} .

9.5. Osservazione. Notiamo che se H : [a, b]×[0, 1] → Ω è una Ω-omotopia tale che, per ogni λ ∈ [0, 1], la funzione H( · , λ) è la parametrizzazione di un cammino C_{λ} (il che non è sempre vero dato che H è solo continua), allora C_{λ} è un circuito di Ω per la proprietà (9.4) che “si muove con continuità” passando da C_{0} a C_{1} . Precisiamo questo fatto. Fissato ε > 0 ad arbitrio, grazie alla continuità uniforme di H data dal Teorema di Heine, esiste δ > 0 tale che |H(t, λ) − H(s, μ)| ≤ ε per ogni coppia di punti (t, λ), (s, μ) ∈ [a, b] × [0, 1] che distano al più δ. In particolare

|H(t, λ) − H(t, μ)| ≤ ε per ogni t ∈ [a, b] se |λ − μ| ≤ δ .

Ciò dice che, se |λ − μ| ≤ δ, il punto mobile H(t, λ) e il punto mobile H(t, μ) restano a distanza ≤ ε per ogni t ∈ [a, b]. In particolare si deduce la convergenza uniforme

lim_{λ→μ} sup_{t∈[a,b]} |H(t, λ) − H(t, μ)| = 0.

9.6. Esercizio. Con le notazioni dell’Esercizio 3.19, costruire un’omotopia da C a C′ avente come immagine il sostegno di C.

9.7. Esercizio. Riprendendo la costruzione della poligonale fatta nella dimostrazione del Teorema 7.9, dimostrare che ogni circuito di Ω è Ω-omotopo a una poligonale chiusa.

Il risultato che intendiamo presentare, che lega chiusura, esattezza locale e omotopia, necessita di un lemma piuttosto complicato dal punto di vista tecnico. Scriviamo ∂_{t} anziché ∂/∂t.

9.8. Lemma. Siano Ω un aperto di ℝ^{n}, C_{0} e C_{1} due circuiti di Ω e H : [a, b]×[0, 1] → Ω una Ω-omotopia da C_{0} a C_{1} . Allora, per ogni ε > 0, esiste una Ω-omotopia H^{∗} : [a, b] × [0, 1] → Ω di classe C^{∞} tale che

|H^{∗}(t, λ) − H(t, λ)| ≤ ε per ogni (t, λ) ∈ [a, b] × [0, 1]  (9.6)
∫_{a}^{b} |∂_{t}H^{∗}(t, λ) − ∂_{t}H(t, λ)| dt ≤ ε per λ = 0 e λ = 1.  (9.7)

Dimostrazione. Poniamo per comodità u_{λ} = H( · , λ) per λ = 0, 1, così che u_{0} parametrizza C_{0} e u_{1} parametrizza C_{1} . Fissiamo i punti intermedi in accordo con la Definizione 3.3 osservando che possiamo prendere gli stessi punti t_{0}, …, t_{m} relativamente a u_{0} e a u_{1} . Allora esiste M tale che

|u′_{λ}(t)| ≤ M per λ = 0, 1 e per ogni t ∈ [a, b] diverso dai t_{k} .  (9.8)

Osservato poi che l’immagine di H è un compatto incluso in Ω, applichiamo il Lemma 7.6, il quale ci fornisce un numero r > 0 tale che B_{r}(x) ⊆ Ω per ogni x dell’immagine di H, cioè della forma x = H(t, λ) con (t, λ) ∈ [a, b] × [0, 1]. Fissiamo ora ε > 0 e costruiamo H^{∗}. Non è restrittivo supporre ε < r. Allora vediamo che ogni funzione H^{∗} verificante la (9.6) assume automaticamente valori in Ω. Dunque non ci preoccupiamo più di questo fatto e cerchiamo solo di costruire una ℝ^{n} -omotopia da C_{0} a C_{1} che verifichi le (9.6–7). Siccome H è continua e le restrizioni di u_{0} e di u_{1} agli intervalli [t_{k−1}, t_{k}] sono di classe C^{1} , per il Teorema di Heine esiste η > 0 tale che

|H(t, λ) − H(t′, λ′)| ≤ ε, |u′_{0}(t) − u′_{0}(s)| ≤ \frac{ε}{2(b − a)} e |u′_{1}(t) − u′_{1}(s)| ≤ \frac{ε}{2(b − a)}

non appena t, t′ ∈ [a, b] e λ, λ′ ∈ [0, 1] verificano |t − t′| ≤ η e |λ − λ′| ≤ η e i punti t, s appartengono a uno stesso degli intervalli (t_{k−1}, t_{k}) e verificano |t − s| ≤ η. Scegliamo δ > 0 in modo che siano soddisfatte tutte le disuguaglianze

2δ < 1, 2δ ≤ η, 3δ < t_{k} − t_{k−1} per k = 1, …, m, 12 mMδ ≤ ε

e a partire da tale δ costruiamo una leggera deformazione H_{0} di H. Le funzioni ausiliarie che ora introduciamo sono approssimazioni delle funzioni t ↦ min{t, b} e λ ↦ min{λ, 1}. Definiamo dunque φ : [a, +∞) → [a, b], ψ : [0, +∞) → [0, 1] e H_{0} : [a, +∞) × [0, +∞) → ℝ ponendo

φ(t) = a se a ≤ t ≤ a + δ, φ(t) = a + 2(t − (a + δ)) se a + δ ≤ t ≤ a + 2δ
φ(t) = t se a + 2δ ≤ t ≤ b, φ(t) = b se t ≥ b
ψ(λ) = 0 se 0 ≤ λ ≤ δ, ψ(λ) = 2(λ − δ) se δ ≤ λ ≤ 2δ
ψ(λ) = λ se 2δ ≤ λ ≤ 1, ψ(λ) = 1 se λ ≥ 1
H_{0}(t, λ) = H(φ(t), ψ(λ)) per (t, λ) ∈ [a, +∞) × [0, +∞).

Fissiamo infine una funzione ρ : ℝ → ℝ di classe C^{∞} verificante le (7.1). Preparato tutto il materiale necessario definiamo finalmente H^{∗} : [a, b] × [0, 1] → ℝ mediante la formula

H^{∗}(t, λ) = ∫_{[0,1]^{2}} H_{0}(t + δs, λ + δr) ρ(s) ρ(r) ds dr per (t, λ) ∈ [a, b] × [0, 1]  (9.9)

e dimostriamo che H^{∗} verifica tutte le proprietà richieste. Per controllare la regolarità C^{∞} presentiamo H^{∗} in una forma diversa. Per (t, λ) ∈ [a, b] × [0, 1] risulta

\begin{matrix}H^{∗}(t, λ) = \frac{1}{δ^{2}} ∫_{[t,t+δ]×[λ,λ+δ]} H_{0}(s′, r′) ρ(\frac{s′ − t}{δ}) ρ(\frac{r′ − λ}{δ}) ds′ dr′ \\ = \frac{1}{δ^{2}} ∫_{[a,b+δ]×[0,1+δ]} H_{0}(s′, r′) ρ(\frac{s′ − t}{δ}) ρ(\frac{r′ − λ}{δ}) ds′ dr′. \end{matrix}

Ma la funzione integranda dell’ultimo membro è continua con le derivate parziali di tutti gli ordini rispetto alle variabili t e λ, per cui si applica la teoria degli integrali dipendenti da parametri (continuità e derivazione sotto il segno di integrale iterata).

Il prossimo passo è la verifica dell’uguaglianza H^{∗}(a, λ) = H^{∗}(b, λ) per ogni λ ∈ [0, 1]. Ciò viene dalla correzione di H mediante la funzione φ nella costruzione di H_{0} . Per ogni λ ∈ ℝ e s ∈ [0, 1], essendo a + δs ∈ [a, a + δ] e b + δs ≥ b, si ha φ(a + δs) = a e φ(b + δs) = b, per cui H_{0}(a, λ) = H(a, ψ(λ)) e H_{0}(b, λ) = H(b, ψ(λ)). D’altra parte H(a, λ′) = H(b, λ′) per ogni λ′ ∈ [0, 1] dato che H è un’omotopia. Segue che le funzioni integrande degli integrali (9.9) con t = a e t = b sono le stesse e quindi che vale l’identità desiderata.

Passiamo alla verifica delle disuguaglianze (9.6–7) partendo dalla prima. Si vede facilmente che valgono le disuguaglianze

|φ(t′) − t| ≤ 2δ ≤ η se |t′ − t| ≤ δ e |ψ(λ′) − λ| ≤ 2δ ≤ η se |λ′ − λ| ≤ δ .

Ciò vale, in particolare, per le scelte t′ = t + δs e λ′ = λ + δr con s, r ∈ [0, 1]. Quindi

|H_{0}(t + δs, λ + δr) − H(t, λ)| ≤ ε per ogni t ∈ [a, b], λ ∈ [0, 1], s ∈ [0, 1] e r ∈ [0, 1].

Ora osserviamo che, grazie alle proprietà di ρ, abbiamo

H(t, λ) = H(t, λ) ∫_{[0,1]^{2}} ρ(s) ρ(r) ds dr = ∫_{[0,1]^{2}} H(t, λ) ρ(s) ρ(r) ds dr.

Segue immediatamente che

\begin{matrix}|H^{∗}(t, λ) − H(t, λ)| = |∫_{[0,1]^{2}}(H_{0}(t + δs, λ + δr) − H(t, λ)) ρ(s) ρ(r) ds dr| \\ ≤ ∫_{[0,1]^{2}} |H_{0}(t + δs, λ + δr) − H(t, λ)| ρ(s) ρ(r) ds dr ≤ ε ∫_{[0,1]^{2}} ρ(s) ρ(r) ds dr = ε. \end{matrix}

L’ultima verifica riguarda la (9.7). Dobbiamo calcolare ∂_{t}H^{∗}(t, λ) per λ = 0, 1. Innanzi tutto scriviamo la formula che fornisce le funzioni da derivare in una forma più adatta allo scopo. Notato che δr ∈ [0, δ] se r ∈ [0, 1], per cui ψ(δr) = 0, abbiamo per t ∈ [a, b]

\begin{matrix}H^{∗}(t, 0) = ∫_{[0,1]^{2}} H(φ(t + δs), ψ(δr)) ρ(s) ρ(r) ds dr = ∫_{[0,1]^{2}} H(φ(t + δs), 0) ρ(s) ρ(r) ds dr \\ = ∫_{0}^{1} ρ(r) dr ∫_{0}^{1} H(φ(t + δs), 0) ρ(s) ds = ∫_{0}^{1} u_{0}(φ(t + δs)) ρ(s) ds \end{matrix}

e la formula analoga vale per λ = 1, in quanto 1 + δr ≥ 1 se r ∈ [0, 1], per cui ψ(1 + δr) = 1. Ora, se u_{0} e u_{1} fossero di classe C^{1} , si potrebbe derivare sotto il segno di integrale e ottenere

∂_{t}H^{∗}(t, λ) = ∫_{0}^{1} u′_{λ}(φ(t + δs)) φ′(t + δs) ρ(s) ds per t ∈ [a, b] e λ = 0, 1.  (9.10)

Per aggirare l’ostacolo effettuiamo la sostituzione s = (s′ − t)/δ in modo da spostare la variabile t dentro la funzione regolare ρ. Aggiustiamo poi gli estremi di integrazione usando le proprietà di annullamento di ρ. Quindi deriviamo sotto il segno di integrale e integriamo per parti, il che è lecito per funzioni di classe C^{1} a tratti. Naturalmente le derivate di u_{λ} e di φ non sono definite in tutti i punti, ma ciò non ha conseguenze dato che si sta integrando. Abbiamo

∂_{t}H^{∗}(t, λ) = \frac{d}{dt} ∫_{0}^{1} u_{λ}(φ(t + δs)) ρ(s) ds = \frac{d}{dt} \frac{1}{δ} ∫_{t}^{t+δ} u_{λ}(φ(s′)) ρ(\frac{s′ − t}{δ}) ds′

= \frac{1}{δ} \frac{d}{dt} ∫_{a}^{b+δ} u_{λ}(φ(s′)) ρ(\frac{s′ − t}{δ}) ds′ = −\frac{1}{δ^{2}} ∫_{a}^{b+δ} u_{λ}(φ(s′)) ρ′(\frac{s′ − t}{δ}) ds′

= \frac{1}{δ} ∫_{a}^{b+δ} u′_{λ}(φ(s′)) φ′(s′) ρ(\frac{s′ − t}{δ}) ds′ = \frac{1}{δ} ∫_{t}^{t+δ} u′_{λ}(φ(s′)) φ′(s′) ρ(\frac{s′ − t}{δ}) ds′

e con la sostituzione inversa s′ = t + δs otteniamo la (9.10). Abbiamo allora

∂_{t}H^{∗}(t, λ) − u′_{λ}(t) = ∫_{0}^{1}(u′_{λ}(φ(t + δs)) φ′(t + δs) − u′_{λ}(t)) ρ(s) ds = ∫_{0}^{1} f_{λ}(t, s) ρ(s) ds (9.11)

con ovvia definizione di f_{λ}(t, s). Per valutare il primo membro stimiamo dapprima f_{λ}(t, s). Resta inteso che s ∈ [0, 1] mentre per t distinguiamo vari casi. Ancora ci saranno punti eccezionali in cui qualche derivata non esiste, ma ciò non ha conseguenze dato che poi integreremo. Ricordata la (9.8) e osservato che 0 ≤ φ′(τ) ≤ 2 per ogni τ ≥ a (diverso da a + δ, a + 2δ e b), abbiamo |f_{λ}(t, s)| ≤ 3M se a < t < a + 2δ. Sia ora a + 2δ < t < t_{1} − δ. Allora φ(t + δs) = t + δs. Inoltre entrambi i punti t e t + δs appartengono a (t_{0}, t_{1}) e distano al massimo δ ≤ η. Deduciamo che |f_{λ}(t, s)| = |u′_{λ}(φ(t + δs)) − u′_{λ}(t)| ≤ ε/(2(b − a)). La stessa disuguaglianza vale inoltre per t ∈ (t_{k} − δ, t_{k}) con k > 1 grazie a un ragionamento identico. Supponiamo ora t ∈ (t_{k−1}, t_{k−1} + δ) con k > 1. Allora |f_{λ}(t, s)| ≤ 2M. Stimato così il modulo di f_{λ}, prendiamo il modulo nella (9.11) e maggioriamo (abbondando per semplificare). Siccome ρ ≥ 0 e ∫_{0}^{1} ρ(s) ds = 1, concludiamo che

|∂_{t}H^{∗}(t, λ) − u′_{λ}(t)| ≤ 3M per t ∈ (a, a + 2δ) e t ∈ (t_{k−1}, t_{k−1} + δ) con k > 1

|∂_{t}H^{∗}(t, λ) − u′_{λ}(t)| ≤ \frac{ε}{2(b − a)} per t ∈ (a + 2δ, t_{1}) e t ∈ (t_{k} − δ, t_{k}) con k > 1

con l’eccezione di un numero finito di punti. Abbiamo dunque (abbondando ancora)

∫_{a}^{b} |∂_{t}H^{∗}(t, λ) − u′_{λ}(t)| dt ≤ ∑_{k=1}^{m}(2δ · 3M + (t_{k} − t_{k−1}) \frac{ε}{2(b − a)}) ≤ 6mMδ + \frac{ε}{2} ≤ ε

e la dimostrazione è conclusa.

Il punto chiave è il risultato che diamo di seguito e che presentiamo ancora nella forma di lemma: un’omotopia deforma progressivamente il circuito ma non altera il valore dell’integrale di una forma chiusa. Tuttavia l’enunciato riguarda una generica omotopia regolare e non fa esplicito riferimento ai circuiti, dato che non si impongono condizioni di non annullamento sulla derivata.

9.9. Lemma. Siano Ω un aperto di ℝ^{n}, ω : Ω → (ℝ^{n})^{∗} una forma differenziale di classe C^{1} chiusa e H^{∗} : [a, b] × [0, 1] → Ω una Ω-omotopia di classe C^{2} e sia I^{∗} : [0, 1] → ℝ definita da

I^{∗}(λ) = ∫_{a}^{b} ⟨ω(H^{∗}(t, λ)), ∂_{t}H^{∗}(t, λ)⟩ dt per λ ∈ [0, 1].  (9.12)

Allora I^{∗} è una funzione costante.

Dimostrazione. Per λ ∈ [0, 1], con le notazioni brevi D_{i} e ∂_{λ} per le derivate parziali, abbiamo

\frac{dI^{∗}(λ)}{dλ} = \frac{d}{dλ} ∫_{a}^{b} ⟨ω(H^{∗}(t, λ)), ∂_{t}H^{∗}(t, λ)⟩ dt = ∫_{a}^{b} ∂_{λ} ⟨ω(H^{∗}(t, λ)), ∂_{t}H^{∗}(t, λ)⟩ dt.

Sviluppiamo la funzione integranda. Abbiamo

\begin{matrix}∂_{λ} ⟨ω(H^{∗}(t, λ)), ∂_{t}H^{∗}(t, λ)⟩ = ∑_{i=1}^{n} ∂_{λ}(ω_{i}(H^{∗}(t, λ)) ∂_{t}H_{i}^{∗}(t, λ)) \\ = ∑_{i=1}^{n}(∑_{j=1}^{n} D_{j}ω_{i}(H^{∗}(t, λ)) ∂_{λ}H_{j}^{∗}(t, λ))∂_{t}H_{i}^{∗}(t, λ) + ∑_{i=1}^{n} ω_{i}(H^{∗}(t, λ)) ∂_{λ}∂_{t}H_{i}^{∗}(t, λ). \end{matrix}

D’altra parte abbiamo anche

∂_{t} ∑_{j=1}^{n} ω_{j}(H^{∗}(t, λ)) ∂_{λ}H_{j}^{∗}(t, λ)

= ∑_{j=1}^{n}(∂_{t}(ω_{j}(H^{∗}(t, λ)))∂_{λ}H_{j}^{∗}(t, λ) + ω_{j}(H^{∗}(t, λ)) ∂_{t}∂_{λ}H_{j}^{∗}(t, λ))

= ∑_{j=1}^{n}(∑_{i=1}^{n} D_{i}ω_{j}(H^{∗}(t, λ)) ∂_{t}H_{i}^{∗}(t, λ) ∂_{λ}H_{j}^{∗}(t, λ) + ω_{j}(H^{∗}(t, λ)) ∂_{t}∂_{λ}H_{j}^{∗}(t, λ))

= ∑_{i=1}^{n}(∑_{j=1}^{n} D_{i}ω_{j}(H^{∗}(t, λ)) ∂_{λ}H_{j}^{∗}(t, λ))∂_{t}H_{i}^{∗}(t, λ) + ∑_{j=1}^{n} ω_{j}(H^{∗}(t, λ)) ∂_{t}∂_{λ}H_{j}^{∗}(t, λ)

e notiamo che quanto abbiamo ottenuto differisce dal risultato del calcolo precedente solo in tre punti: abbiamo D_{i}ω_{j} anziché D_{j}ω_{i}; sono scambiate di ordine le derivazioni ∂_{t} e ∂_{λ} nella somma con un solo indice; tale indice, e la cosa è inessenziale, è ora j anziché i. Dunque i due calcoli portano allo stesso risultato in quanto ω è chiusa e H^{∗} è di classe C^{2} . Pertanto deduciamo che

∂_{λ} ⟨ω(H^{∗}(t, λ)), ∂_{t}H^{∗}(t, λ)⟩ = ∂_{t} ∑_{j=1}^{n} ω_{j}(H^{∗}(t, λ)) ∂_{λ}H_{j}^{∗}(t, λ).

Siccome H^{∗}(a, λ) = H^{∗}(b, λ) per ogni λ ∈ [0, 1], da cui anche ∂_{λ}H^{∗}(a, λ) = ∂_{λ}H^{∗}(b, λ) per ogni λ ∈ [0, 1], abbiamo allora

\begin{matrix}\frac{dI^{∗}(λ)}{dλ} = ∫_{a}^{b} ∂_{t} ∑_{j=1}^{n} ω_{j}(H^{∗}(t, λ)) ∂_{λ}H_{j}^{∗}(t, λ) dt \\ = ∑_{j=1}^{n}(ω_{j}(H^{∗}(b, λ)) ∂_{λ}H_{j}^{∗}(b, λ) − ω_{j}(H^{∗}(a, λ)) ∂_{λ}H_{j}^{∗}(a, λ)) = 0 \end{matrix}

e quindi I^{∗} è costante.

A questo punto abbiamo tutti gli strumenti per dimostrare il risultato successivo, che caratterizza le forme differenziali chiuse e lega la chiusura all’esattezza locale.

9.10. Teorema. Siano Ω un aperto di ℝ^{n} e ω : Ω → (ℝ^{n})^{∗} una forma differenziale di classe C^{1} . Allora sono equivalenti le condizioni seguenti: i) ω è localmente esatta; ii) ω è chiusa; iii) risulta ∫_{C_{0}} ω = ∫_{C_{1}} ω per ogni coppia di circuiti C_{0} e C_{1} di Ω fra loro Ω-omotopi.

Dimostrazione. Supponiamo ω localmente esatta e dimostriamo che ω è chiusa. Sia x ∈ Ω ad arbitrio. Siccome ω è localmente esatta, esiste una palla B = B_{r}(x) in cui ω è esatta. Per il Teorema 8.3 la restrizione di ω a B, in quanto esatta, è una forma chiusa. Per l’arbitrarietà di x concludiamo che ω è chiusa.

Supponiamo ora ω chiusa e dimostriamo la iii). Siano C_{0} e C_{1} due circuiti Ω-omotopi. Se sapessimo dell’esistenza di un’omotopia di classe C^{2} da C_{0} a C_{1} , potremmo applicare il Lemma 9.9 e concludere immediatamente. Ma le cose non stanno così e occorre un po’ di lavoro aggiuntivo. L’idea è la seguente: verifichiamo che, per ogni ε ∈ (0, 1), la differenza degli integrali di ω sui due circuiti è dell’ordine di ε. Dall’arbitrarietà di ε discenderà l’uguaglianza voluta. Fissiamo una Ω-omotopia H : [a, b] × [0, 1] → Ω da C_{0} a C_{1} e poniamo

M = max{|H(t, λ)| : (t, λ) ∈ [a, b] × [0, 1]} e L = max{lungh C_{0}, lungh C_{1}}  (9.13)

osservando che M è ben definito in quanto H è continua e il suo dominio è compatto. Fissiamo ora ε ∈ (0, 1) ad arbitrio e applichiamo il Lemma 9.8: otteniamo un’omotopia H^{∗} : [a, b] × [0, 1] → Ω di classe C^{∞} verificante le (9.6–7). Per il Lemma 9.9 abbiamo I^{∗}(0) = I^{∗}(1), da cui

|∫_{C_{0}} ω − ∫_{C_{1}} ω| ≤ |∫_{C_{0}} ω − I^{∗}(0)| + |∫_{C_{1}} ω − I^{∗}(1)|  (9.14)

e ora stimiamo i due termini del secondo membro. Poniamo per comodità u_{λ}(t) = H(t, λ) e v_{λ}(t) = H^{∗}(t, λ) per t ∈ [a, b] e λ = 0, 1. Per tali λ abbiamo allora

∫_{C_{λ}} ω − I^{∗}(λ) = ∫_{a}^{b} ⟨ω(u_{λ}(t)) − ω(v_{λ}(t)), u′_{λ}(t)⟩ dt + ∫_{a}^{b} ⟨ω(v_{λ}(t)), u′_{λ}(t) − v′_{λ}(t)⟩ dt.

Ricordiamo ora le (9.6–7) e (9.13) e notiamo che |v_{λ}(t)| ≤ |u_{λ}(t)|+|v_{λ}(t)−u_{λ}(t)| ≤ M +ε ≤ M +1 per t ∈ [a, b] e λ = 0, 1. Abbiamo pertanto

|∫_{C_{λ}} ω − I^{∗}(λ)| ≤ ∫_{a}^{b} |ω(u_{λ}(t)) − ω(v_{λ}(t))| |u′_{λ}(t)| dt + ∫_{a}^{b} |ω(v_{λ}(t))| |u′_{λ}(t) − v′_{λ}(t)| dt

≤ sup_{t∈[a,b]} |ω(u_{λ}(t)) − ω(v_{λ}(t))| ∫_{a}^{b} |u′_{λ}(t)| dt + sup_{t∈[a,b]} |ω(v_{λ}(t))| ∫_{a}^{b} |u′_{λ}(t) − v′_{λ}(t)| dt

≤ εL + (M + 1)ε = ε(L + M + 1).

Quindi il primo membro della (9.14) è ≤ 2ε(L + M + 1) per ogni ε ∈ (0, 1) e, di conseguenza, è nullo. Ciò completa la dimostrazione di iii) nell’ipotesi ii).

Supponiamo infine che valga la iii) e dimostriamo che ω è localmente esatta. Fissato x_{0} ∈ Ω, si scelga una palla B = B_{r}(x_{0}) ⊆ Ω. Sia ora C un circuito qualunque di B e sia u : [a, b] → B una sua parametrizzazione. Introduciamo la funzione continua H : [a, b] × [0, 1] → B mediante la formula H(t, λ) = u(t) + λ(x_{0} − u(t)) osservando che, effettivamente, H assume i suoi valori in B dato che B è un convesso. Abbiamo inoltre H(a, λ) = H(b, λ) per ogni λ dato che u(a) = u(b). Quindi H è una B -omotopia. Infine, per λ ∈ [0, 1), H( · , λ) parametrizza un circuito C_{λ} e si ha C_{0} = C. Siccome, per ogni λ ∈ (0, 1), la restrizione di H ad [a, b] × [0, λ] è una Ω-omotopia da C a C_{λ} e vale la iii) per ipotesi, abbiamo

∫_{C} ω = ∫_{C_{λ}} ω = ∫_{a}^{b} ⟨ω(u(t) + λ(x_{0} − u(t))), (1 − λ)u′(t)⟩ dt per ogni λ ∈ (0, 1).

Facendo tendere λ a 1 concludiamo che ∫_{C} ω = 0 e l’esattezza di ω in B segue dal Teorema 8.3. Ciò conclude la dimostrazione.

9.11. Esempio (seguito di 6.6). Riprendiamo l’Esempio 6.6. Un semplice calcolo mostra che la forma ω in questione, che è addirittura di classe C^{∞}, è chiusa in ℝ^{2} \ {x^{∗}}. D’altra parte, se ω fosse esatta, il suo integrale su ogni circuito sarebbe nullo, il che non è. La forma ω è invece (come deve essere dato che è chiusa) localmente esatta. Fissato x_{0} ≠ x^{∗}, una primitiva di ω in un intorno di x_{0} è la coordinata angolare, cioè la seconda coordinata polare nel sistema di centro x^{∗}, come mostra il calcolo fatto nell’esercizio citato. Variare questa di una costante additiva significa ruotare l’asse polare. Ad esempio, se x^{∗} = 0 per semplificare e se ci restringiamo al primo o quarto quadrante, una primitiva di ω è data dalla formula F (x) = arctan(x_{2}/x_{1}), cioè esattamente la coordinata angolare che assume valori in (−π/2, π/2). Ma si può fare agevolmente la verifica:

D_{1} arctan \frac{x_{2}}{x_{1}} = \frac{−x_{2}/x_{1}^{2}}{1 + (x_{2}/x_{1})^{2}} = −\frac{x_{2}}{|x|^{2}} = ω_{1}(x) e D_{2} arctan \frac{x_{2}}{x_{1}} = … = \frac{x_{1}}{|x|^{2}} = ω_{2}(x).

9.12. Osservazione. L’esempio precedente è una sorta di prototipo. Una forma differenziale chiusa è localmente esatta e quindi esiste una collezione di sue primitive locali. Supponiamo che due di queste, diciamo F_{1} e F_{2} , siano definite in B_{1} = B_{r_{1}}(x^{1}) e in B_{2} = B_{r_{2}}(x^{2}) e che l’intersezione I = B_{1} ∩ B_{2} non sia vuota. Allora le restrizioni di F_{1} e F_{2} a I sono primitive di ω in I e, di conseguenza, differiscono per una costante (I è connessa). Alterando pertanto F_{2} della costante adeguata, si ottiene F_{1} = F_{2} in I. Allora possiamo considerare l’unione U = B_{1} ∪ B_{2} e la funzione F : U → ℝ definita dalla formula F (x) = F_{i}(x) se x ∈ B_{i}. Essa è effettivamente ben definita e ogni punto di U ha un intorno in cui ω = dF. Quindi F è una primitiva di ω in U. Ebbene il caso di una forma chiusa non esatta corrisponde al fatto che, data la collezione delle primitive locali, non è possibile aggiustare le costanti additive in modo che le primitive locali così modificate siano tutte restrizioni di una stessa funzione. Ciò è appunto quanto accade nell’Esempio 9.11.

9.13. Osservazione. A livello operativo, se si è già verificato che ω è una forma chiusa, si può calcolare una sua primitiva locale F in un certo intorno I di un punto davvero fissato. Se questa è una funzione elementare, si può vedere se la formula stessa continua ad assumere significato anche per gli altri valori x ∈ Ω \ I della variabile e non solo per x ∈ I. In caso affermativo, tale formula fornisce un prolungamento di F definito in tutto Ω e si può vedere con un calcolo diretto se tale prolungamento è una primitiva di ω o meno. Naturalmente, come mostra l’Esempio 9.11, non sempre questo tentativo porta alla costruzione di una primitiva globale.

Diamo ora un’ipotesi su Ω di carattere topologico che assicura che tutte le forme chiuse sono esatte. La prima delle definizioni precisa la possibilità di ridurre a un punto un circuito C mediante una deformazione continua che avvenga completamente dentro Ω.

9.14. Definizione. Siano Ω un aperto connesso di ℝ^{n} e C un circuito di Ω. Diciamo che C è Ω-contraibile quando esiste una Ω-omotopia H : [0, 1] × [0, 1] → Ω tale che i) la funzione H( · , 0) parametrizza C; ii) la funzione H( · , 1) è costante.

Notiamo che H( · , 1) non parametrizza un circuito. Per semplificare altrove la trattazione, infatti, non abbiamo accettato le funzioni costanti fra le parametrizzazioni ammissibili di cammini.

9.15. Definizione. Sia Ω un aperto connesso di ℝ^{n}. Diciamo che Ω è semplicemente connesso quando ogni circuito di Ω è Ω-contraibile.

9.16. Proposizione. Ogni aperto stellato di ℝ^{n} è semplicemente connesso.

Dimostrazione. Sia Ω stellato rispetto al suo punto x_{0} . Vediamo che Ω è semplicemente connesso sostanzialmente ripetendo l’ultima parte della dimostrazione del Teorema 9.10. Siano infatti C un circuito di Ω e u : [a, b] → Ω una sua parametrizzazione. Introduciamo la funzione continua H : [a, b] × [0, 1] → Ω mediante la formula H(t, λ) = u(t) + λ(x_{0} − u(t)) osservando che, effettivamente, H assume i suoi valori in Ω dato che Ω è stellato rispetto a x_{0} . Abbiamo inoltre H(a, λ) = H(b, λ) per ogni λ dato che u(a) = u(b). Quindi H è una Ω-omotopia. Infine, H(t, 1) = x_{0} per ogni t ∈ [a, b] per cui H( · , 1) è costante. Dunque C è Ω-contraibile.

Al contrario, non è semplicemente connesso l’aperto Ω = ℝ^{2} \ {0}: si intuisce infatti che una circonferenza di centro l’origine percorsa una o più volte in senso orario o antiorario non può essere Ω-contraibile. Allo stesso modo non è semplicemente connesso il complementare di una retta di ℝ^{3} , mentre è semplicemente connesso ℝ^{n} \ {0} per ogni n > 2.

9.17. Esercizio. “Convincersi” che Ω_{n} = ℝ^{n}\{0} è semplicemente connesso se n > 2. Ad esempio, per ogni n > 2, si costruisca esplicitamente una Ω_{n} -omotopia nelle condizioni della Definizione 9.14 relativa al circuito C individuato dalla parametrizzazione u : [0, 2π] → Ω_{n} definita dalla formula u(t) = (cos t, sin t, 0, …, 0).

9.18. Esercizio. Decidere, a livello intuitivo, se sono semplicemente connessi o meno gli aperti seguenti: i) il complementare in ℝ^{2} di un disco; ii) il complementare in ℝ^{2} di una semiretta; iii) il complementare in ℝ^{2} del grafico di una funzione continua su un intevallo compatto; iv) il complementare in ℝ^{3} di una palla; v) il complementare in ℝ^{3} di una circonferenza; vi) il complementare in ℝ^{3} di una parabola; vii) il complementare in ℝ^{3} dell’unione di due rette incidenti; viii) il complementare in ℝ^{3} di un cubo; ix) una corona circolare di ℝ^{2} ; x) una corona sferica di ℝ^{3} , quale B_{R}(0) \ \overline{B}_{r}(0) con 0 < r < R; xi) il complementare in ℝ^{3} di un insieme finito; xii) il complementare in ℝ^{3} di un semipiano chiuso; xiii) il complementare in ℝ^{3} di una palla chiusa; xiv) una palla di ℝ^{3} privata di un suo sottoinsieme finito; una palla di ℝ^{3} privata di una circonferenza inclusa nella palla stessa; xv) l’aperto ℝ^{4} \ \overline{B}_{1}(0).

9.19. Proposizione. Un aperto connesso Ω di ℝ^{n} è semplicmente connesso se e solo se tutti i circuiti di Ω sono Ω-omotopi fra loro.

Dimostrazione. Supponiamo Ω semplicemente connesso e siano C_{1} e C_{2} due circuiti di Ω. Siccome questi sono Ω-contraibili, esistono due omotopie H_{1}, H_{2} : [0, 1] × [0, 1] → Ω tali che, per i = 1, 2, H_{i}( · , 0) parametrizza C_{i} e H_{i}( · , 1) assume un valore costante x^{i} ∈ Ω. Siccome Ω è connesso per archi (Teorema 7.9), esiste una funzione continua u : [0, 1] → Ω tale che u(0) = x^{1} e u(1) = x^{2} . Se definiamo H : [0, 1] × [0, 3] → Ω mediante le formule

H(t, λ) = H_{1}(t, λ), H(t, λ) = u(λ − 1) e H(t, λ) = H_{2}(t, 3 − λ)
per t ∈ [0, 1] e rispettivamente per λ ∈ [0, 1], λ ∈ (1, 2) e λ ∈ [2, 3]

otteniamo una Ω-omotopia da C_{1} a C_{2} come subito si controlla.

Supponiamo ora che tutti i circuiti di Ω siano Ω-omotopi fra loro. Sia C un circuito di Ω: dimostriamo che esso è Ω-contraibile. Si fissino x_{0} ∈ Ω, una palla B = B_{r}(x_{0}) ⊆ Ω e un punto x′ ∈ B \ {x_{0}} e si consideri il circuito C′ = [x_{0}, x′, x_{0}]. Allora C′ è un circuito di Ω, dunque Ω-omotopo a C. Detta H_{0} : [0, 1] × [0, 1] → Ω un’omotopia da C a C′, costruiamo H : [0, 1] × [0, 2] → Ω mediante le formule, entrambe per t ∈ [0, 1]

H(t, λ) = H_{0}(t, λ) se λ ∈ [0, 1] e H(t, λ) = H_{0}(t, 1) + (λ − 1)(x_{0} − H_{0}(t, 1)) se λ ∈ (1, 2]

e osserviamo che H assume effettivamente valori in Ω in quanto la palla B è stellata rispetto a x_{0} . Inoltre, come si controlla senza difficoltà, H è un’omotopia, H( · , 0) parametrizza C e H( · , 2) è costante. Dunque C è Ω-contraibile.

9.20. Teorema. Sia Ω un aperto semplicemente connesso di ℝ^{n}. Allora una forma differenziale ω di classe C^{1} in Ω è esatta se e solo se è chiusa.

Dimostrazione. Se ω è esatta, allora essa è chiusa per il Teorema 9.2. Supponiamo ora ω chiusa e sia C un circuito di Ω: dimostriamo che l’integrale di ω su C è dell’ordine di ε per ogni ε > 0, dunque nullo. Fissiamo x_{0} ∈ Ω e una palla chiusa B = \overline{B}_{r}(x_{0}) ⊂ Ω. Allora esiste una costante M tale che |ω(x)| ≤ M per ogni x ∈ B. Per ogni ε > 0 scegliamo un circuito C_{ε} di B avente lunghezza ≤ ε. Siccome C è Ω-omotopo a C_{ε} per la Proposizione 9.19 e ω è chiusa, grazie al Teorema 9.10 otteniamo

∫_{C} ω = ∫_{C_{ε}} ω da cui |∫_{C} ω| ≤ M lungh C_{ε} ≤ Mε.

Siccome ε è arbitrario, abbiamo ∫_{C} ω = 0 e l’esattezza di ω è garantita dal Teorema 8.3.

9.21. Osservazione. Consideriamo il caso di un aperto Ω non semplicemente connesso. Se si sa già che la forma in esame è chiusa, si deduce che il suo integrale è invariante per omotopia (nel senso preciso della condizione iii) del Teorema 9.10). Tuttavia, siccome non tutti i circuiti siano contraibili, non possiamo dedurre che la forma è esatta. Ma in certi casi si intuisce che, fra i circuiti possibili, se ne possono selezionare alcuni tali che ogni altro circuito risulti o Ω-contraibile oppure Ω-omotopo a uno di quelli scelti o a loro somme o a loro opposti. Detta S la famiglia dei circuiti che abbiamo così privilegiato, per controllare che l’integrale della forma chiusa ω su ogni circuito è nullo è sufficiente verificare che è nullo l’integrale di ω su ciascuno dei circuiti di S. Un caso di questo tipo si verifica se Ω = ℝ^{2} \ {(0, 0)}. Si intuisce che, fissato comunque un circuito C di Ω, questo è o contraibile oppure omotopo a una delle circonferenze ripercorse dell’Esempio 3.9 o a uno dei rispettivi cammini opposti (vedi anche l’Esempio 3.14). Precisamente la situazione è regolata dal valore dell’indice di avvolgimento di C intorno all’origine (Esempio 6.6), come mostra il risultato che presentiamo tra breve. Allora, tenendo conto della proprietà additiva, per decidere se ω è esatta o meno, è sufficiente calcolare l’integrale di ω su un circuito di indice 1.

9.22. Esempio. Per chiarire quanto abbiamo detto studiamo la complicata forma differenziale

\frac{2x(x^{2} + y^{2} − 1) dx + 2y(x^{2} + y^{2} − 1) dy + z dz}{(x^{2} + y^{2} − 1)^{2} + z^{2}} , (x, y, z) ∈ Ω = ℝ^{3} \ Γ

ove Γ = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} − 1 = z = 0} è la circonferenza del piano z = 0 avente centro nell’origine e raggio 1. Un calcolo laborioso ma privo di difficoltà mostra che ω è chiusa e si pone il problema della sua esattezza. A tale proposito osserviamo che, come si intuisce e potrebbe essere dimostrato, ogni circuito di Ω è Ω-contraibile oppure Ω-omotopo a uno dei circuiti seguenti:

i) la circonferenza C_{0} parametrizzata da t ↦ (1 + cos t, 0, sin t), t ∈ [0, 2π], o una somma finita C_{0} + … + C_{0} , cioè la circonferenza C_{0} ripercorsa più volte; ii) il circuito −C_{0} o una somma finita −C_{0} − … − C_{0} , cioè uno dei cammini opposti dei precedenti. Per decidere se ω è esatta o meno basta dunque calcolare I = ∫_{C_{0}} ω: la forma ω è esatta se e solo se I = 0. Naturalmente, siccome ω è chiusa, nel calcolo di I possiamo sostituire C_{0} con un qualunque altro circuito Ω-omotopo a C_{0} , e uno particolarmente comodo è la poligonale

[(0, 0, 1), (0, 0, −1), (\sqrt{2}, 0, −1), (\sqrt{2}, 0, 1), (0, 0, 1)].

Infatti gli integrali di ω sui suoi lati si elidono a due a due, come si vede calcolandoli secondo quanto è stato detto nell’Osservazione 6.3. Abbiamo ad esempio

∫_{[(0,0,1),(0,0,−1)]} ω = ∫_{1}^{−1} \frac{z}{1 + z^{2}} dz e ∫_{[(\sqrt{2},0,−1),(\sqrt{2},0,1)]} ω = ∫_{−1}^{1} \frac{z}{1 + z^{2}} dz

e i due integrali sono l’uno l’opposto dell’altro.

La via prospettata nell’Osservazione 9.13 consiste invece nella ricerca e nella successiva estensione, se possibile, di una primitiva locale. Prendiamo la palla unitaria B di ℝ^{3} (cioè con centro nell’origine e raggio 1), che non interseca Γ, e definiamo F : B → ℝ mediante

F (x, y, z) = ∫_{P (x,y,z)} ω ove P (x, y, z) = [(0, 0, 0), (x, 0, 0), (x, y, 0), (x, y, z)] per (x, y, z) ∈ B .

Notiamo che, se (x, y, z) ∈ B (inizialmente se x, y, z ≠ 0, poi…), la poligonale P (x, y, z) è un cammino di B e calcoliamo l’integrale usando l’idea dell’Osservazione 6.3. Abbiamo

F (x, y, z) = ∫_{0}^{x} \frac{2t}{t^{2} − 1} dt + ∫_{0}^{y} \frac{2t}{x^{2} + t^{2} − 1} dt + ∫_{0}^{z} \frac{t}{(x^{2} + y^{2} − 1)^{2} + t^{2}} dt

= [ ln(1 − t^{2})]_{t=0}^{t=x} + [ ln(1 − x^{2} − t^{2})]_{t=0}^{t=y} + \frac{1}{2} [ ln(x^{2} + y^{2} − 1)^{2} + t^{2}]_{t=0}^{t=z}

= \frac{1}{2} ln((x^{2} + y^{2} − 1)^{2} + z^{2}).

Ma l’espressione così trovata ha senso per ogni (x, y, z) ∈ Ω. Quindi essa definisce una funzione G : Ω → ℝ che prolunga F. Un calcolo immediato mostra poi che dG = ω in tutto Ω. Concludiamo che ω è esatta e che G è una sua primitiva, precisamente la primitiva nulla nell’origine.

Descriviamo ora in dettaglio la situazione dell’aperto Ω = ℝ^{2} \ {(0, 0)} più volte preso in considerazione. Usiamo la terminologia introdotta negli Esempi 3.9 e 6.6.

9.23. Proposizione. Sia Ω = ℝ^{2} \ {(0, 0)}. Per n intero positivo denotiamo con C_{n} la circonferenza di centro (0, 0) e raggio 1 percorsa n volte in senso antiorario e poniamo C_{−n} = −C_{n}. Siano ora C un circuito di Ω e n ∈ ℤ il suo indice di avvolgimento intorno all’origine. Allora C è Ω-contraibile se n = 0 mentre è Ω-omotopo a C_{n} se n ≠ 0. In particolare due circuiti di Ω sono Ω-omotopi se e solo se essi hanno lo stesso indice di avvolgimento intorno all’origine.

Dimostrazione. L’ultima affermazione segue banalmente dalla parte precedente dell’enunciato, per cui basta dimostrare quella. Sia u : [a, b] → Ω una parametrizzazione di C. Presentiamo u nella forma (come nella (6.4), ora con x^{∗} = (0, 0))

u(t) = ρ(t)(cos ϑ(t), sin ϑ(t)) per t ∈ [a, b]

ove ρ : [a, b] → (0, +∞) e ϑ : [a, b] → ℝ sono due funzioni di classe C^{1} a tratti. Abbiamo allora ρ(a) = ρ(b) e ϑ(b) − ϑ(a) = 2nπ. Per t ∈ [a, b] e λ ∈ [0, 1] poniamo

\begin{matrix}ϑ^{∗}(t) = 2nπ \frac{t − a}{b − a} , ϑ_{λ}(t) = ϑ(t) + λ(ϑ^{∗}(t) − ϑ(t)) \\ H(t, λ) = (ρ(t) + λ(1 − ρ(t)))(cos ϑ_{λ}(t), sin ϑ_{λ}(t)) \end{matrix}

e dimostriamo che H è una Ω-omotopia. Sia ha ρ(t) + λ(1 − ρ(t)) > 0 per ogni t ∈ [a, b] e λ ∈ [0, 1] in quanto ρ(t) > 0 per ogni t. Dunque H assume effettivamente valori in Ω. Inoltre H è continua, chiaramente. Infine risulta

ϑ_{λ}(a) = (1 − λ)ϑ(a) e ϑ_{λ}(b) = (1 − λ)ϑ(b) + 2nπλ = (1 − λ)ϑ(a) + 2nπ

per cui H(a, λ) = H(b, λ) per ogni λ ∈ [0, 1] e anche la (9.4) è verificata. Inoltre chiaramente H(t, 0) = u(t) per ogni t ∈ [a, b], per cui H( · , 0) è una parametrizzazione di C. Siccome risulta H(t, 1) = (cos ϑ^{∗}(t), sin ϑ^{∗}(t)) per ogni t ∈ [a, b], possiamo concludere semplicemente esaminando i tre casi: i) se n = 0 si ha ϑ^{∗}(t) = 0 per ogni t per cui H( · , 1) è costante e C è Ω-contraibile; ii) se n > 0, allora ϑ^{∗} : [a, b] → [0, 2nπ] è biiettiva, crescente e di classe C^{∞} con l’inversa, per cui H( · , 1) parametrizza C_{n} e C è Ω-omotopo a C_{n}; iii) se n < 0, allora ϑ^{∗} : [a, b] → [2nπ, 0] è biiettiva, decrescente e di classe C^{∞} con l’inversa, per cui H( · , 1) parametrizza −C_{|n|} = C_{n} e ancora C è Ω-omotopo a C_{n}.

9.24. Esercizio. Calcolare l’integrale ∫_{C} e^{x} sin y dx+e^{x} cos y dy+z dz ove C è il cammino di ℝ^{3} parametrizzato dalla funzione t ↦ (t, t^{2}, t^{3}), t ∈ [0, 1].

9.25. Esercizio. Calcolare l’integrale della forma differenziale

\frac{(x^{2} + y^{2} − y) dx + (x^{2} + y^{2} + x) dy}{x^{2} + y^{2}} , (x, y) ∈ ℝ^{2} \ \{(0, 0)\}

su ciascuno dei seguenti circuiti poligonali:

\begin{matrix}[(−1, 0), (−2, −1), (−2, 1), (1, 0)], [(0, 1), (−1, 0), (0, −1), (2, 1), (2, −1), (1, 0)] \\ [(−1, 1), (2, 0), (−1, −1), (−1, 0), (1, 1), (0, −1), (−1, 1)]. \end{matrix}

9.26. Esercizio. Siano ω una forma di classe C^{1} e chiusa in Ω = ℝ^{2} \ {(0, 0)} e C un circuito di Ω. Dare una formula che leghi l’integrale di ω su C al valore dell’integrale di ω sulla circonferenza unitaria percorsa una volta in senso antiorario.

9.27. Esercizio. Studiare le forme differenziali da Ω in (ℝ^{2})^{∗} date dalle formule

\frac{−2xy dx + (x^{2} − y^{2}) dy}{(x^{2} + y^{2})^{2}} e \frac{(x^{2} − y^{2}) dx + 2xy dy}{(x^{2} + y^{2})^{2}}  (9.15)

ove Ω = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : (x, y) ≠ (0, 0)}.

9.28. Esercizio. Studiare le forme differenziali da Ω in (ℝ^{3})^{∗} date dalle stesse formule (9.15) ove ora Ω = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : (x, y) ≠ (0, 0)}.

9.29. Esercizio. Tenendo conto dell’esercizio precedente studiare la forma differenziale

(\frac{−2xy}{(x^{2} + y^{2})^{2}} + \frac{x^{2} − z^{2}}{(x^{2} + z^{2})^{2}} ) dx + \frac{x^{2} − y^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}} dy + \frac{2xz}{(x^{2} + z^{2})^{2}} dz

nell’aperto Ω complementare dell’unione degli assi y e z di ℝ^{3} .

9.30. Esercizio. Siano Ω = ℝ^{2} \ {(0, 0)} e ω : Ω → (ℝ^{2})^{∗} definita dalla formula

ω(x, y) = \frac{−ye^{x} cos y + xe^{x} sin y}{x^{2} + y^{2}} dx + \frac{xe^{x} cos y + ye^{x} sin y}{x^{2} + y^{2}} dy per (x, y) ∈ Ω.

Studiare l’esattezza di ω in Ω. Studiare poi l’esattezza della restrizione di ω a ciascuno degli aperti: i) ℝ × (0, +∞); ii) il complementare di [0, +∞) × {0} in ℝ^{2} ; iii) ℝ^{2} \ [−1, 1]^{2} .

9.31. Esercizio. Siano Ω = ℝ^{2} \ ([−1, 1] × {0}) e ω : Ω → (ℝ^{2})^{∗} definita dalla formula

ω(x, y) = (\frac{y + 1}{x^{2} + (y + 1)^{2}} + \frac{1 − y}{x^{2} + (y − 1)^{2}} ) dx + (\frac{x}{x^{2} + (y + 1)^{2}} + \frac{x}{x^{2} + (y − 1)^{2}} ) dy (9.16)

per (x, y) ∈ Ω. Dimostrare che ω è esatta. Studiare poi l’esattezza della della forma differenziale definita ancora dalla formula (9.16) in ciascuno degli aperti seguenti: i) il complementare in ℝ^{2} del grafico della funzione x ↦ 1 − x^{2} , x ∈ [−1, 1]; ii) il complementare in ℝ^{2} dell’unione delle semirette (−∞, 0] × {0} e [0, +∞) × {0}; iii) il complementare in ℝ^{2} dell’unione delle semirette {±1} × [0, +∞); iv) il complementare in ℝ^{2} dell’insieme costituito dai due punti (±1, 0).

9.32. Esercizio. Sia ω una forma differenziale di classe C^{1} e chiusa in Ω = ℝ^{2} \ {(±1, 0)}. Dimostrare che il suo integrale sul circuito

\begin{aligned}C & = [(0, 0), (1, 1), (2, 1), (2, −2), (−3, −2), (−3, 3), (−1, 3), (0, 0)] \\ & + [(0, 0), (1, −3), (3, −3), (3, 2), (−2, 2), (−2, −1), (−1, −1), (0, 0)] \end{aligned}

è nullo. Il circuito C è Ω-contraibile?

10. Campi vettoriali conservativi

Nelle applicazioni alla fisica e all’ingegneria si è spesso interessati a campi vettoriali e a loro potenziali piuttosto che a forme differenziali. Formalizziamo queste nozioni. Supponiamo fin d’ora n = 3 dato che, anche se inizialmente volessimo considerare il caso generale, dovremmo rapidamente ripiegare sul caso particolare per mantenere la trattazione ad un livello elementare.

10.1. Definizione. Sia Ω un aperto di ℝ^{3} . Un campo vettoriale in Ω è una funzione f : Ω → ℝ^{3} e un potenziale di f è una funzione F : Ω → ℝ differenziabile tale che ∇F (x) = f(x) per ogni x ∈ Ω. Un campo vettoriale f è conservativo se esiste un suo potenziale.

Notiamo che, presso i fisici, la definizione di potenziale è diversa: anziché ∇F = f si richiede che −∇F = f. Tuttavia noi ci atterremo alla definizione data in quanto questa meglio si presta al discorso che intendiamo fare.

Le nozioni introdotte nella definizione precedente costituiscono semplicemente un linguaggio alternativo a quello delle forme differenziali e il motivo è il seguente: gli spazi ℝ^{3} e (ℝ^{3})^{∗} sono canonicamente isomorfi (più in generale lo sono ℝ^{n} e (ℝ^{n})^{∗}): l’isomorfismo canonico è l’unico isomorfismo che trasforma gli elementi della base canonica di ℝ^{3} ordinatamente negli elementi della base canonica di (ℝ^{3})^{∗}. Ciò si ripercuote sui campi vettoriali e sulle forme differenziali. Diamo direttamente la definizione seguente:

10.2. Definizione. Siano Ω un aperto di ℝ^{3} e f : Ω → ℝ^{3} un campo vettoriale. La forma differenziale ω : Ω → (ℝ^{3})^{∗} definita dalla formula

ω(x) = ∑_{i=1}^{3} f_{i}(x) dx_{i} per ogni x ∈ Ω  (10.1)

è detta forma differenziale associata a f.

Naturalmente, data comunque una forma differenziale in Ω, esiste uno e un solo campo vettoriale f tale che ω sia la forma associata a f. Diremo anche che f è associato a ω oppure che f e ω sono associati fra loro. Si noti che, con le notazioni della definizione, abbiamo subito

⟨ω(x), h⟩ = ∑_{i=1}^{3} f_{i}(x) h_{i} = f(x) · h per ogni x ∈ Ω e h ∈ ℝ^{3} .  (10.2)

Veniamo ora alle questioni di esattezza e di chiusura della forma ω associata al campo vettoriale f: intendiamo ridire tutto in termini di f anziché di ω. Ricordiamo che, se f è di classe C^{1} , il suo rotore è dato dalla formula

rot f = (D_{2}f_{3} − D_{3}f_{2}, D_{3}f_{1} − D_{1}f_{3}, D_{1}f_{2} − D_{2}f_{1}).

Ricordate anche tutte le definizioni relative, abbiamo immediatamente che

i) una funzione F : Ω → ℝ è un potenziale di f se e solo se è una primitiva di ω;
ii) la forma ω è esatta se e solo se il campo f è conservativo;
iii) se f è di classe C^{1}, allora la forma ω è chiusa se e solo se rot f = 0 in Ω.

Dai Teoremi 9.2 e 9.20 deduciamo pertanto:

10.3. Teorema. Siano Ω un aperto di ℝ^{3} e f : Ω → ℝ^{3} un campo vettoriale di classe C^{1} . Allora valgono le affermazioni seguenti: i) se f è conservativo allora rot f = 0 in Ω; ii) se Ω è semplicemente connesso, allora f è conservativo se e solo se rot f = 0 in Ω.

Segnaliamo che un campo f verificante rot f = 0 è detto irrotazionale. Per introdurre le versioni relative ai campi delle caratterizzazioni dell’esattezza e della chiusura che abbiamo dato nei paragrafi precedenti occorre introdurre l’integrale di un campo lungo un cammino.

10.4. Definizione. Siano Ω un aperto di ℝ^{3} , f : Ω → ℝ^{3} un campo vettoriale continuo e C un cammino di Ω. L’integrale di f lungo C è l’integrale

∫_{a}^{b} f(u(t)) · u′(t) dt  (10.3)

ove u : [a, b] → Ω è una parametrizzazione di C.

Si porrebbero vari problemi: l’indipendenza dalla parametrizzazione, le proprietà dell’integrale, eccetera. In realtà non dobbiamo dimostrare proprio nulla in quanto, grazie alla (10.2), riconosciamo nella (10.3) l’integrale ∫_{C} ω della forma differenziale ω associata a f

∫_{a}^{b} f(u(t)) · u′(t) dt = ∫_{a}^{b} ⟨ω(u(t)), u′(t)⟩ dt = ∫_{C} ω

e di questo sappiamo tutto. In particolare, ricordando le formule (6.2) e (6.8), vediamo che l’integrale di f lungo C può essere scritto nelle forme

∫_{C} f(x) · τ(x) ds e ∑_{k=1}^{m} ∫_{C_{k}} f(x) · τ_{k}(x) ds  (10.4)

rispettivamente nel caso dell’arco semplice e in quello generale. Naturalmente si sono usate le notazioni delle Osservazioni 6.4 e 6.9. Tenendo conto delle ultime parole della seconda delle osservazioni citate, possiamo comunque usare per l’integrale di f lungo C la prima delle notazioni (10.4), con la convenzione che essa debba essere interpretata con il significato della seconda quando il cammino non è un arco semplice. Notiamo che si usa spesso scrivere

∮_{C} f(x) · τ(x) ds anziché ∫_{C} f(x) · τ(x) ds se C è un circuito

e parlare della circuitazione di f lungo C in tal caso. Notiamo infine che anche la Proposizione 6.10 può essere riespressa in termini di campi. Ci limitiamo a riscrivere le somme (6.10) tenendo conto anche dell’Osservazione 6.11. Abbiamo

\begin{aligned}S′ & = ∑_{k=1}^{m} f(u(t_{k}^{∗})) · u′(t_{k}^{∗})(t_{k} − t_{k−1}) = ∑_{k=1}^{m} f(x_{k}^{∗}) · u′(t_{k}^{∗})(t_{k} − t_{k−1}) \\ S′′ & = ∑_{k=1}^{m} f(u(t_{k}^{∗})) · (u(t_{k}) − u(t_{k−1})) = ∑_{k=1}^{m} f(x_{k}^{∗}) · (x_{k} − x_{k−1}) \end{aligned}

naturalmente con le notazioni dell’osservazione citata.

Semplicemente cambiando le notazioni, cioè usando il linguaggio dei campi appena introdotto anziché quello delle forme differenziali, vediamo che i Teoremi 8.3 e 9.10 diventano i due seguenti:

10.5. Teorema. Siano Ω un aperto connesso di ℝ^{3} e f : Ω → ℝ^{3} un campo vettoriale continuo. Allora sono equivalenti le condizioni seguenti:

i) f è conservativo;
ii) ∫_{C_{1}} f(x) · τ(x) ds = ∫_{C_{2}} f(x) · τ(x) ds

per ogni coppia di cammini di Ω con lo stesso primo estremo e lo stesso secondo estremo;

iii) ∮_{C} f(x) · τ(x) ds = 0 per ogni circuito di Ω.

Più precisamente valgono i fatti seguenti: iv) se vale la i) e F è un potenziale di f, per ogni cammino C di Ω risulta

∫_{C} f(z) · τ(z) ds = F (y) − F (x) ove x è il primo estremo e y è il secondo estremo di C (10.5)

v) se vale la ii) e x_{0} ∈ Ω è fissato ad arbitrio, la formula

F (x) = ∫_{C_{x}} f(y) · τ(y) ds  per x ∈ Ω, ove C_{x} è un cammino di Ω avente primo estremo in x_{0} e secondo estremo in x  (10.6)

definisce un potenziale di f nullo in x_{0} . Infine: vi) due potenziali qualunque di f differiscono per una funzione costante.

10.6. Teorema. Siano Ω un aperto di ℝ^{3} e f : Ω → ℝ^{3} un campo vettoriale di classe C^{1} . Allora sono equivalenti le condizioni seguenti: i) f è localmente conservativo, cioè ogni punto di Ω ha un intorno in cui è definito un potenziale di f; ii) risulta rot f = 0 in Ω; iii) risulta

∮_{C_{0}} f(x) · τ(x) ds = ∮_{C_{1}} f(x) · τ(x) ds

per ogni coppia di circuiti C_{0} e C_{1} di Ω fra loro Ω-omotopi.

10.7. Esempio. Riprendiamo gli Esempi 6.6 e 9.11 e costruiamone una versione tridimensionale adatta alle situazioni che stiamo discutendo. Poniamo

Ω = \{x ∈ ℝ^{3} : (x_{1}, x_{2}) ≠ (0, 0)\} e f(x) = \frac{(−x_{2}, x_{1}, 0)}{(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})^{1/2}} per x ∈ Ω.  (10.7)

Abbiamo dunque definito le cose in modo che la scrittura della forma differenziale associata

ω(x) = −\frac{x_{2}}{(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})^{1/2}} dx_{1} + \frac{x_{1}}{(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})^{1/2}} dx_{2}

appaia formalmente identica a quella considerata negli esempi citati ma sia ora interpretata nel caso tridimensionale. Questa costruzione è caso particolare della seguente: se Ω_{2} è un aperto connesso di ℝ^{2} e σ è una forma differenziale in Ω_{2} , poniamo

Ω = Ω_{2} × ℝ e ω(x) = σ_{1}(x_{1}, x_{2}) dx_{1} + σ_{2}(x_{1}, x_{2}) dx_{2} per x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ Ω

e poi consideriamo il campo f associato a ω. Per evitare i calcoli conviene considerare il caso generale ora prospettato. Abbiamo i fatti seguenti: i) se F_{2} è una primitiva di σ in Ω_{2} , allora la formula F (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = F_{2}(x_{1}, x_{2}) definisce una primitiva di ω in Ω, come subito si vede calcolando le derivate parziali; ii) se F è una primitiva di ω in Ω, allora deve essere D_{3}F = ω_{3} = 0, per cui F ha la forma F (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = F_{2}(x_{1}, x_{2}) per una certa F_{2} : Ω_{2} → ℝ differenziabile, necessariamente primitiva di σ in Ω_{2} , come si vede calcolando le derivate D_{i}F_{2} attraverso quelle di F per i = 1, 2. Concludiamo che il campo f associato a ω è conservativo in Ω se e solo se σ è esatta in Ω_{2} e considerazioni analoghe valgono per le proprietà locali corrispondenti. Nel caso specifico (10.7), ricordato quanto abbiamo detto negli esempi citati, concludiamo che

f è localmente conservativo ma non conservativo in Ω.

Infatti σ è localmente esatta ma non esatta, per cui delle stesse proprietà gode la forma ω. Deduciamo che rot f = 0 in Ω, ma che di f esistono solo potenziali locali. Tali potenziali locali, rivisti nel quadro bidimensionale, devono essere, a meno di costanti additive, le coordinate angolari locali. Interpretati nel caso tridimensionale che ci interessa, essi devono essere, sempre a meno di costanti additive, le coordinate angolari locali nel sistema di coordinate cilindiche con asse x_{3} .

10.8. Esempio (campi radiali). Siano R_{1}, R_{2} > 0 tali che R_{1} < R_{2} e g : (R_{1}, R_{2}) → ℝ una funzione continua. Poniamo

Ω = \{x ∈ ℝ^{3} : R_{1} < |x| < R_{2}\} e f(x) = g(|x|) \frac{x}{|x|} per x ∈ Ω.  (10.8)

Un campo f ottenuto con una costruzione di questo tipo è detto radiale e abbiamo che

ogni capo radiale è conservativo.

Infatti la formula F (x) = G(|x|) per x ∈ Ω, ove G : (R_{1}, R_{2}) → ℝ è una primitiva di g, è un potenziale di f, come si verifica immediatamente. Precisamente, se x_{0} ∈ Ω e G è la primitiva di g che si annulla in |x_{0}|, il corrispondente potenziale F è quello (l’unico) che si annulla in x_{0} . Ritroviamolo mediante la (10.6). Supponiamo |x| > |x_{0}| lasciando al lettore il compito di completare la costruzione. Scegliamo il cammino C_{x} della (10.6) in modo opportuno. Consideriamo il punto ausiliario z = (|x_{0}|/|x|)x, il quale verifica |z| = |x_{0}| e z/|z| = x/|x|, e due cammini, il primo da x_{0} a z, il secondo da z a x, ignorando il primo se per caso avviene che z = x_{0} . Supponiamo dunque z ≠ x_{0} e consideriamo un arco di cerchio A di estremi x_{0} e z che giace sulla sfera Σ di centro 0 e raggio |x_{0}|, orientandolo da x_{0} a z, e poniamo C_{x} = A + [z, x]. Abbiamo allora

F (x) = ∫_{C_{x}} f(y) · τ(y) ds = ∫_{A} f(y) · τ(y) ds + ∫_{[z,x]} f(y) · τ(y) ds

Ma, se y appartiene al sostegno di A, si ha f(y) · τ(y) = 0 in quanto f(y) è ortogonale a Σ e τ(y) è invece tangente. Dunque il corrispondente integrale è nullo. D’altra parte, il versore τ è costante lungo il cammino [z, x] e vale x/|x| dato che stiamo supponendo |x| > |x_{0}|. Abbiamo pertanto

F (x) = ∫_{[z,x]} f(y) · τ(y) ds = ∫_{0}^{1} f(z + t(x − z)) · \frac{x}{|x|} |x − z| dt.

Ma x − z = x − (|x_{0}|/|x|)x = (|x| − |x_{0}|)x/|x|, da cui |x − z| = |x| − |x_{0}| e anche, per t ∈ [0, 1], z + t(x − z) = (|x_{0}| + t(|x| − |x_{0}|))x/|x| e |z + t(x − z)| = |x_{0}| + t(|x| − |x_{0}|). Quindi

f(z+t(x−z))· \frac{x}{|x|} |x−z| = g(|z+t(x−z)|) \frac{z + t(x − z)}{|z + t(x − z)|} · \frac{x}{|x|} |x−z| = g(|x_{0}|+t(|x|−|x_{0}|)) (|x|−|x_{0}|).

Concludiamo che

F (x) = ∫_{0}^{1} g(|x_{0}| + t(|x| − |x_{0}|)) (|x| − |x_{0}|) dt = ∫_{|x_{0}|}^{|x|} g(s) ds = G(|x|)

ove appunto G è la primitiva di g nulla in |x_{0}|.

10.9. Esercizio. Completare la costruzione del potenziale F dell’esempio precedente considerando i due casi restanti |x| = |x_{0}| e |x| < |x_{0}|.

10.10. Esercizio. Con le notazioni dell’Esempio 10.8 verificare con il calcolo esplicito che rot f = 0 in Ω se g è di classe C^{1} in (R_{1}, R_{2}).

10.11. Esercizio. Verificare che tutto quanto abbiamo detto nell’Esempio 10.8 si estende ai casi R_{1} = 0 e R_{2} = +∞ con tutte le combinazioni possibili. Verificare inoltre che un discorso analogo vale per la palla B_{R}(0) e per l’intero spazio nell’ipotesi che g e f siano definite nell’origine (di ℝ e di ℝ^{3} rispettivamente) mediante g(0) = 0 e f(0) = 0 e che g sia continua anche in 0. Che accade invece se il limite lim_{r→0^{+}} g(r) esiste finito ma non è nullo?

10.12. Esercizio. Considerare il caso a simmetria di tipo cilindrico seguente:

Ω = \{x ∈ ℝ^{3} : R_{1} < |x′| < R_{2}\} e f(x) = g(|x′|) \frac{x′}{|x′|}  (10.9)
ove abbiamo posto x′ = (x_{1}, x_{2}) se x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ Ω.

Nelle formule precedenti R_{1} e R_{2} sono numeri positivi tali che R_{1} < R_{2} e g : (R_{1}, R_{2}) → ℝ è una funzione continua. Dimostrare che f è conservativo trovando una formula per i suoi potenziali. Si noti che ora Ω non è semplicemente connesso. Si ricostruisca il potenziale nullo in un punto fissato mediante la (10.6) adattando quanto abbiamo fatto nell’Esempio 10.8.

10.13. Esercizio. Costruire un campo irrotazionale ma non conservativo nel dominio cilindrico Ω dato dalla prima delle (10.9).

11. Potenziale vettore

Come complemento consideriamo un altro problema, quello dell’esistenza del cosiddetto potenziale vettore. Tuttavia, siccome la sua discussione approfondita ci porterebbe troppo lontano, diamo solo un cenno. Il problema è il seguente:

dato un campo vettoriale f, trovare un altro campo vettoriale F tale che rot F = f . (11.1)

Diamo la definizione seguente:

11.1. Definizione. Siano Ω un aperto di ℝ^{3} e f : Ω → ℝ^{3} un campo vettoriale. Un campo F : Ω → ℝ^{3} differenziabile tale che rot F = f in Ω si chiama potenziale vettore di f.

Se è facile trovare condizioni necessarie per l’esistenza del potenziale vettore, come mostra il risultato dato di seguito, la discussione completa è delicata perché il problema è complesso.

11.2. Teorema. Siano Ω un aperto di ℝ^{3} e f : Ω → ℝ^{3} un campo vettoriale di classe C^{1} . Se esiste un potenziale vettore di classe C^{2} di f, allora div f(x) = 0 per ogni x ∈ Ω.

Dimostrazione. Sia F un potenziale vettore di classe C^{2} di f. Allora

div f = ∑_{i=1}^{3} D_{i}f_{i} = D_{1}(D_{2}F_{3} − D_{3}F_{2}) + D_{2}(D_{3}F_{1} − D_{1}F_{3}) + D_{3}(D_{1}F_{2} − D_{2}F_{1}) = 0

in ogni punto di Ω, grazie al Teorema di Schwarz.

Come nel caso del potenziale scalare la condizione di annullamento del rotore è solo necessaria per l’esistenza, così la condizione di divergenza nulla trovata ora, che si esprime dicendo che f un campo solenoidale, è solo necessaria per l’esistenza del potenziale vettore. La sua sufficienza o meno dipende da proprietà topologiche dell’aperto Ω e queste sono diverse dalla semplice connessione. Ci limitiamo al risultato dato di seguito, il quale, per quanto riguarda la regolarità, presenta una discrepanza rispetto alla situazione del Teorema 11.2.

11.3. Teorema (Lemma di Poincaré). Siano Ω un aperto di ℝ^{3} e f : Ω → ℝ^{3} un campo vettoriale di classe C^{1} tale che div f(x) = 0 per ogni x ∈ Ω. Allora valgono le conclusioni seguenti:

i) ogni punto di Ω ha un intorno in cui è definito un potenziale vettore di classe C^{1} di f; ii) se Ω è stellato, esiste un potenziale vettore di classe C^{1} di f definito in tutto Ω.

Dimostrazione. Basta dimostrare il punto ii). Infatti, noto questo, per dimostrare i), basta scegliere, per ogni punto x_{0} , un intorno stellato di x_{0} incluso in Ω, ad esempio la palla B_{r}(x_{0}), ove r > 0 è preso in modo che B_{r}(x_{0}) ⊆ Ω. Sia dunque Ω stellato rispetto a un suo punto x_{0} . Definiamo

F (x) = ∫_{0}^{1} f(x_{0} + t(x − x_{0})) × (t(x − x_{0})) dt per x ∈ Ω

ove × è il simbolo di prodotto vettoriale. Osserviamo che la definizione ha senso proprio perché Ω è stellato rispetto a x_{0} e che F è di classe C^{1} in quando, essendo f è di classe C^{1} , possiamo derivare sotto il segno di integrale. Nella verifica dell’uguaglianza rot F = f prendiamo x_{0} = 0 per semplificare le notazioni. Siccome f è di classe C^{1} , possiamo passare anche il rotore sotto il segno di integrale e otteniamo per ogni x ∈ Ω

rot F (x) = ∫_{0}^{1} rot(f(tx) × (tx)) dt = ∫_{0}^{1} t rot(f(tx) × x) dt.

Conviene sviluppare i calcoli sulla funzione integranda. A tale scopo scriviamo una formula generale. Se g e h sono due campi vettoriali di classe C^{1} e se Jg e Jh sono le loro matrici jacobiane, risulta

rot(g × h) = g div h − h div g + (Jg)h − (Jh)g

ove negli ultimi due termini h e g sono intesi come vettori colonna. La verifica della formula consiste semplicemente nello sviluppo dei due membri con un po’ di pazienza e quindi la omettiamo. Siccome div x = 3, div(f(tx)) = t div f(tx), J(f(tx)) = tJf(tx) e Jx è la matrice identità, abbiamo

rot(f(tx) × x)= 3f(tx) − tx div f(tx) + tJf(tx)x − f(tx) = 2f(tx) + tJf(tx)x − tx div f(tx)

e l’ultimo addendo è nullo in quanto div f = 0 in Ω. Abbiamo dunque

rot F (x) = ∫_{0}^{1} t(2f(tx) + tJf(tx)x) dt = ∫_{0}^{1} \frac{d}{dt} (t^{2}f(tx)) dt = f(x)

e la dimostrazione è conclusa.

11.4. Osservazione. Sorge spontaneo il problema della caratterizzazione di tutti i potenziali vettori. Siccome il rotore è un operatore lineare, se F_{0} è una soluzione particolare di classe C^{1} dell’equazione rot F = f, l’insieme di tutte le soluzioni di classe C^{1} è descritto dalla formula

F = F_{0} + I ove I è di classe C^{1} e irrotazionale, cioè tale che rot I = 0 in Ω.

Se poi Ω è un aperto stellato, abbiamo sia l’esistenza di un potenziale vettore F_{0} sia la caratterizzazione dei campi irrotazionali: essi sono tutti e soli quelli conservativi. Dunque la formula

F = F_{0} + ∇Ψ al variare di Ψ fra le funzioni reali di classe C^{2}

descrive l’insieme di tutti i potenziali vettori di classe C^{1} di f.

11.5. Osservazione. Sull’esistenza del potenziale scalare abbiamo il Teorema 10.5, versione nel linguaggio dei campi vettoriali del Teorema 8.3 sulle forme differenziali. Anche lo studio dell’esistenza del potenziale vettore è il corrispondente nel linguaggio dei campi vettoriali di una teoria su forme differenziali. Queste sono le cosiddette 2-forme, casi particolari delle k -forme (k intero non negativo, fra cui le 1-forme già note) in un numero arbitrario n di variabili, la cui trattazione costituisce un capitolo importante della Geometria differenziale. In particolare vengono definiti i concetti di k -forma esatta e di k -forma chiusa, nonché quello di integrale di una k -forma su oggetti che sono versioni k -dimensionali dei cammini. Noi ci limitiamo a dire quanto segue: nel caso n = 3 una 2-forma ω è caratterizzata da 3 coefficienti f_{i} : Ω → ℝ, così che si possono associare biunivicamente le 2-forme in Ω ai campi vettoriali f : Ω → ℝ^{3} in un modo naturale: si considera il campo le cui componenti sono i coefficienti della forma considerata. In tal modo la teoria delle 2-forme in tre dimensioni e quella dei campi vettoriali diventano due linguaggi nei quali si dicono le stesse cose in modo diverso. La 2-forma ω corrispondente al campo f è esatta se e solo se f è il rotore di qualche campo F, mentre ω è chiusa quando il campo corrispondente f verifica la condizione div f = 0. Quindi il Teorema 11.2, in termini di 2-forme, si enuncia semplicemente dicendo che ogni 2-forma esatta di classe C^{1} è chiusa. Per quanto riguarda l’integrale di una 2-forma, il “dominio di integrazione” è, come si è accennato nel caso in cui k è generico, un oggetto che è un equivalente bidimensionale del cammino. Nel parallelismo fra cammini e “cammini bidimensionali”, il corrispondente di un arco semplice (che sappiamo essere assimilabile a una curva orientata mediante una funzione continua τ che a ogni punto della curva associa un versore tangente) è una “superficie S orientata con bordo”. Il corrispondente di un circuito semplice è una “superficie S orientata chiusa”. L’integrale su S della 2-forma corrispondente al campo vettoriale f è il cosiddetto flusso di f attraverso la superficie S

∫_{S} f(x) · n(x) dS  (11.2)

ove n : S → ℝ^{3} , che è l’orientamento di S come la funzione τ è l’orientamento della curva, è una funzione continua verificante per ogni x ∈ S: n(x) è normale a S in x e |n(x)| = 1. La superficie S è orientabile quando esiste una siffatta funzione n (e non tutte le superfici lo sono): se S è orientabile e connessa, essa ha esattamente due orientamenti e, se n è uno di essi, l’altro è −n. La condizione analoga all’annullamento dell’integrale di una 1-forma esatta su ogni circuito si enuncia in forma vaga come segue: se f = rot F, il flusso (11.2) di f è nullo tutte le volte che S è una “superficie orientabile chiusa”. Ciò è un caso particolare del Teorema di Stokes.

Una trattazione compiuta, anche limitatamente al caso k = 2 e n = 3 e nel linguaggio dei campi vettoriali anziché in quello delle 2-forme, deve passare innanzi tutto per la precisazione di tutti i concetti che in queste righe sono comparsi in forma vaga.

11.6. Esempio. Nonostante la vaghezza di quanto abbiamo detto, usiamo la condizione di annullamento del flusso di un rotore appena enunciata per costruire un esempio di campo f regolare verificante div f = 0 ma privo di potenziale vettore. Prendiamo

Ω = ℝ^{3} \ \{0\} e f(x) = \frac{x}{|x|^{3}} per x ∈ Ω.  (11.3)

Vediamo che div f = 0. Per ogni x ∈ Ω abbiamo infatti

div f(x) = div(|x|^{−3}x) = ∇|x|^{−3} · x + |x|^{−3} div x = −3|x|^{−4} \frac{x}{|x|} · x + 3|x|^{−3} = 0.

D’altra parte, se come S prendiamo la sfera unitaria di ℝ^{3} , descritta cioè dall’equazione |x| = 1, la funzione n definita semplicemente da n(x) = x verifica quanto richiesto e l’integrale (11.2) è chiaramente positivo anziché nullo. Dunque f non può essere il rotore di un altro campo vettoriale e il potenziale vettore di f non esiste. Si noti che Ω è semplicemente connesso: come preannunciato, tale condizione non è importante nella ricerca del potenziale vettore.

12. Complementi

Concludiamo con due possibili applicazioni della teoria delle forme differenziali esatte e delle forme differenziali chiuse. Diamo anche un cenno sulla costruzione del cosiddetto gruppo fondamentale di un aperto connesso di ℝ^{n} e sulle relazioni fra quanto abbiamo detto in queste pagine e su quanto abitualmente si fa in Topologia algebrica.

12.1. Equazioni differenziali ordinarie. Supponiamo che f : Ω → ℝ sia una funzione definita e continua in un aperto Ω ⊆ ℝ^{2} . Scriviamo f, se ci riusciamo, nella forma

f(t, y) = −\frac{a(t, y)}{b(t, y)} per (t, y) ∈ Ω ove a, b : Ω → ℝ e b(t, y) ≠ 0 per ogni (t, y) ∈ Ω (12.1)

scegliendo a e b continue e tali che la forma differenziale a(t, y) dt + b(t, y) dy sia esatta. Diciamo subito che ciò di solito non si riesce a fare “a mano”. Tuttavia, in certi casi, si ha successo e, per continuare, supponiamo di esserci riusciti. Consideriamo l’equazione differenziale

u′(t) = f(t, u(t)) = −\frac{a(t, u(t))}{b(t, u(t))}  (12.2)

della quale, perché il tutto abbia un senso, cerchiamo soluzioni u : I → ℝ definite e differenziabili in un certo intervallo I e tali che (t, u(t)) ∈ Ω per ogni t ∈ I. Supponiamo infine che F sia una primitiva in Ω della forma differenziale considerata. Allora vale quanto segue: una funzione u : I → ℝ nelle condizioni dette è soluzione della (12.2) se e solo se

la restrizione di F al grafico di u è costante.  (12.3)

Supponiamo infatti che u risolva la (12.2). Allora, per t ∈ I, abbiamo

\frac{d}{dt} F (t, u(t)) = \frac{∂F (t, u(t))}{∂t} + \frac{∂F (t, u(t))}{∂y} u′(t) = a(t, u(t)) + b(t, u(t)) f(t, u(t)) = 0.

Dunque la funzione t ↦ F (t, u(t)) è costante in I e quindi vale la (12.3). Viceversa, supponiamo che valga la (12.3). Allora, per t ∈ I, abbiamo

0 = \frac{d}{dt} F (t, u(t)) = \frac{∂F (t, u(t))}{∂t} + \frac{∂F (t, u(t))}{∂y} u′(t) = a(t, u(t)) + b(t, u(t)) u′(t).

Dividendo per b(t, u(t)) e riarrangiando vediamo che u risolve la (12.2). Notiamo che i passaggi privi di un senso preciso

\frac{du}{dt} = −\frac{a(t, u)}{b(t, u)}, a(t, u) dt + b(t, u) du = 0, dF (t, u) = 0, F (t, u) = costante  (12.4)

in realtà portano al risultato corretto, se si intende l’ultima delle (12.4) come un’equazione dalla quale ricavare u in funzione di t. Ciò viene solo grazie al linguaggio che è stato scelto. Consideriamo ad esempio l’equazione differenziale u′ = u e scriviamola seguendo le (12.4). Abbiamo successivamente du/dt = u e u dt − du = 0, ma la forma u dt − du non è esatta in alcun aperto di ℝ^{2} , dato che non è chiusa. Tuttavia è esatta in ℝ × (0, +∞) la forma dt − (1/u) du dato che una sua primitiva è data dalla formula F (t, u) = t − ln u e tale forma si ottiene dalla precedente semplicemente dividendo per u. Dunque le soluzioni positive dell’equazione considerata sono tutte e sole quelle che rendono vera la condizione t−ln u(t) = costante e sono pertanto date dalla formula u(t) = exp(t − c) con c ∈ ℝ. Siccome exp(−c) descrive (0, +∞) quando c descrive ℝ, le soluzioni cercate sono date da u(t) = C exp t con C > 0 ad arbitrio. Analogamente si poteva considerare la forma dt − (1/u) du in ℝ × (−∞, 0), pure esatta, una sua primitiva essendo F (t, u) = t − ln(−u). Procedendo avremmo trovato le soluzioni negative: u(t) = C exp t con C < 0 ad arbitrio. Si noti che tutto ciò corrisponde alle scelte a(t, y) = 1 e b(t, y) = −1/y, nei due casi solo per y > 0 e solo per y < 0 rispettivamente, cioè a riscrivere l’equazione u′ = u nella forma u′ = −1/(−1/u). Notiamo che vi sono infinite forme differenziali esatte in ℝ × (0, +∞) adatte allo scopo. Un’intera famiglia si ottiene prendendo −e^{−αt}u^{α} dt + e^{−αt}u^{α−1} du, ove α è un parametro reale. Una forma differenziale più semplice, che è esatta in tutto ℝ^{2} , è data da −e^{−t}u dt + e^{−t} du.

12.2. Esercizio. Cercare le soluzioni positive dell’equazione u′(t) = −t/u(t) considerando la forma differenziale t dt + y dy in ℝ × (0, +∞). Cercare poi anche le soluzioni negative e meditare.

12.3. Osservazione. Il motivo per cui è in generale difficile presentare f in una forma (12.1) connessa con una forma differenziale esatta è il seguente: in condizioni di regolarità C^{1} , già a livello di condizioni necessarie, la forma differenziale deve essere chiusa. Ciò comporta che debbano essere soddisfatte contemporaneamente le condizioni

f(t, y) = −\frac{a(t, y)}{b(t, y)} , b(t, y) ≠ 0 e \frac{∂a(t, y)}{∂y} = \frac{∂b(t, y)}{∂t} per ogni (t, y) ∈ Ω.  (12.5)

Ricavando a dalla prima delle (12.5) ed inserendola nell’ultima uguaglianza, deduciamo

b(t, y) ≠ 0 e \frac{∂b(t, y)}{∂t} + f(t, y) \frac{∂b(t, y)}{∂y} + \frac{∂f(t, y)}{∂y} b(t, y) = 0 per ogni (t, y) ∈ Ω.

Quanto ottenuto equivale poi alle condizioni (12.5) dato che, nota b, basta prendere a = −bf. Ma la ricerca di una tale funzione b, detta fattore integrante, corrisponde a risolvere una equazione alle derivate parziali, di regola più complicata dell’equazione differenziale ordinaria da cui si parte.

12.4. Esempio. Siano α : I → ℝ e β : J → ℝ due funzioni continue negli intervalli aperti I e J rispettivamente e supponiamo che β non abbia zeri. Consideriamo l’equazione

u′(t) = α(t) β(u(t))  (12.6)

della quale cerchiamo soluzioni definite in intervalli inclusi in I che assumono valori in J. Seguendo le indicazioni (12.4) senza sforzarci nella ricerca di fattori integranti, siamo indotti a considerare, nell’aperto Ω = I × J, semplicemente la forma differenziale α(t) dt − du/β(u). Fortunatamente questa è chiusa, dunque esatta dato che Ω è convesso. Fissati t_{0} ∈ I e u_{0} ∈ J, una sua primitiva (quella nulla in (t_{0}, u_{0})), è data dalla formula

F (t, u) = A(t) − B(u) ove A(t) = ∫_{t_{0}}^{t} α(s) ds e B(u) = ∫_{u_{0}}^{u} \frac{dy}{β(y)} per (t, u) ∈ Ω

e le soluzioni della (12.6) si ottengono risolvendo rispetto a u l’equazione A(t) − B(u) = costante.

12.5. Esempio. Consideriamo l’equazione lineare u′(t) = α(t) u(t) + β(t) ove α e β sono due funzioni reali continue in un intervallo aperto I. La prima forma differenziale da considerare sarebbe (α(t)u + β(t)) dt − du, ma questa non è chiusa in generale. Fissato t_{0} ∈ I poniamo allora

γ(t) = ∫_{t_{0}}^{t} α(s) ds per t ∈ I

e riscriviamo l’equazione nella forma (12.5) ove

Ω = I × ℝ, a(t, y) = e^{−γ(t)}(α(t) y + β(t)) e b(t, y) = −e^{−γ(t)} per (t, y) ∈ Ω.

Allora la forma a(t, y) dt+b(t, y) dy è chiusa, dunque esatta dato che Ω è convesso. In altre parole, con la terminologia dell’Osservazione 12.3, −e^{−γ(t)} è un fattore integrante. Una primitiva F della forma differenziale in gioco (quella nulla in (t_{0}, 0)) è data dalla formula

F (t, y) = ∫_{t_{0}}^{t} a(s, 0) ds + ∫_{0}^{y} b(t, z) dz = ∫_{t_{0}}^{t} e^{−γ(s)}β(s) ds − ye^{−γ(t)} per (t, y) ∈ Ω

e una funzione u : I → ℝ verifica la (12.3) se e solo se

∫_{t_{0}}^{t} e^{−γ(s)}β(s) ds − u(t) e^{−γ(t)} = c per ogni t ∈ I

ove c ∈ ℝ è un parametro arbitrario. Ritroviamo allora la formula ben nota

u(t) = ce^{γ(t)} + e^{γ(t)} ∫_{t_{0}}^{t} e^{−γ(s)}β(s) ds per t ∈ I

ove abbiamo scritto c anziché −c, dato che c e −c svolgono lo stesso ruolo.

12.6. Funzioni olomorfe. Identificato ℂ con ℝ^{2} nel modo canonico, imponendo cioè l’uguaglianza x+iy = (x, y) per ogni x, y ∈ ℝ, l’insieme delle funzioni f : Ω → ℂ definite in un aperto Ω di ℂ resta identificato a quello delle coppie (u, v) : Ω → ℝ^{2} di funzioni reali definite in Ω. In termini espliciti, la funzione f e la coppia (u, v) sono identificate fra loro quando u(x, y) = Re f(x + iy) e v(x, y) = Im f(x + iy) per ogni (x, y) ∈ Ω o equivalentemente f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) per ogni x + iy ∈ Ω. Per semplicità assumiamo che u e v siano differenziabili. Supponiamo ora che, per ogni z ∈ Ω, esista finita la derivata complessa (qui h sarà una variabile complessa)

f′(z) = lim_{h→0} \frac{f(z + h) − f(z)}{h} .  (12.7)

In particolare converge a f′(z) la successione ottenuta prendendo h = h_{n} nel rapporto incrementale non appena {h_{n}} sia una successione infinitesima tale che h_{n} ≠ 0 per ogni n. Deduciamo che

lim_{n→∞} \frac{f(z + 1/n) − f(z)}{1/n} = lim_{n→∞} \frac{f(z + i/n) − f(z)}{i/n} .

Esprimendo ciò in termini di u e v e aggiustando la posizione di i al secondo membro abbiamo

\begin{matrix}lim_{n→∞} & \frac{u(x + 1/n, y) + iv(x + 1/n, y) − u(x, y) − iv(x, y)}{1/n} \\ = lim_{n→∞} \frac{−iu(x, y + 1/n) + v(x, y + 1/n) + iu(x, y) − v(x, y)}{1/n} \end{matrix}

cioè ∂_{x}u+i∂_{x}v = −i∂_{y}u+∂_{y}v nel punto (x, y), con notazioni brevi per le derivate. Concludiamo che ∂_{x}u = ∂_{y}v e ∂_{y}u = −∂_{x}v in ogni punto di Ω, vale a dire che

le due forme differenziali v dx + u dy e u dx − v dy sono chiuse in Ω.  (12.8)

Tuttavia tali forme differenziali possono non essere esatte. Le (12.8) sono dette condizioni di Cauchy-Riemann. Una funzione dotata di derivata complessa in tutti i punti dell’aperto Ω è detta olomorfa in Ω e nella teoria delle funzioni olomorfe si dimostra poi molto di più, ad esempio che: i) il limite (12.7) esiste (finito) in ogni punto di Ω (cioè f è olomorfa) se e solo se u e v sono differenziabili in Ω e verificano le (12.8); ii) se f è olomorfa, la funzione f′ : Ω → ℂ è automaticamente olomorfa, per cui, per iterazione, esistono in tutto Ω le derivate di f di tutti gli ordini e ha senso il problema della serie di Taylor; iii) se f è olomorfa e il disco D = B_{r}(z_{0}) è incluso in Ω, la serie di Taylor di f di centro z_{0} converge a f(z) in ogni punto z ∈ D; iv) se f è olomorfa, allora u e v sono di classe C^{∞} e, in aggiunta, risolvono l’equazione di Laplace, cioè verificano Δu = 0 e Δv = 0 in Ω.

12.7. Esercizio. Confermare quanto detto nel caso f(z) = e^{z}, z ∈ ℂ.

12.8. Esercizio. Considerare anche il caso f(z) = 1/z, z ∈ ℂ \ {0}, nel quale una sola delle forme differenziali (12.8) è esatta. Verificare il tutto con cura.

12.9. Esercizio. Inventare una quantità smisurata di forme differenziali chiuse in aperti di ℝ^{2} .

12.10. Il gruppo fondamentale. Fissato un aperto connesso Ω di ℝ^{n}, diamo un cenno sulla costruzione del suo gruppo fondamentale π(Ω) (scritto anche π_{1}(Ω), primo gruppo di omotopia). Procediamo per piccoli passi, ciascuno dei quali può essere sviluppato dal lettore come esercizio.

i) Sia x_{0} ∈ Ω e sia C(x_{0}) l’insieme dei circuiti di Ω con estremi in x_{0} . Se C e C′ sono due elementi di C(x_{0}), diciamo che C è equivalente a C′ e scriviamo C ∼ C′ quando esiste una Ωomotopia H : [a, b] × [c, d] → Ω da C a C′ tale che H(a, λ) = H(b, λ) = x_{0} per ogni λ ∈ [c, d]. Si dimostra che ∼ è effettivamente una relazione di equivalenza.

ii) Si dimostra che, se C_{1}, C_{2}, C′_{1}, C′_{2} ∈ C(x_{0}), dalle due equivalenze C_{1} ∼ C′_{1} e C_{2} ∼ C′_{2} segue l’equivalenza C_{1} + C_{2} ∼ C′_{1} + C′_{2} .

iii) Introdotto il quoziente π(Ω, x_{0}) = C(x_{0})/ ∼, denotiamo con C ↦ [C] la proiezione canonica di C(x_{0}) su π(Ω, x_{0}). Dunque, se C ∈ C(x_{0}), il simbolo [C] denota la classe di equivalenza di C. Si dimostra che la formula [C_{1}]∗[C_{2}] = [C_{1}+C_{2}] definisce un’operazione in π(Ω, x_{0}), cioè che [C_{1} + C_{2}] non dipende dai rappresentanti scelti per [C_{1}] e [C_{2}].

iv) Si dimostra che tutti i circuiti Ω-contraibili sono equivalenti. Detta E la loro classe di equivalenza, π(Ω, x_{0}) diventa un gruppo rispetto all’operazione ∗ avente E come elemento neutro.

v) Fissato un cammino C_{0} di Ω, siano x e y il primo e il secondo estremo di C_{0} . Considerata l’applicazione F : C(x) → C(y) data dalla formula F (C) = −C_{0} + C + C_{0} , Si controlla che essa è ben definita e si dimostra che esiste una e una sola applicazione F : π(Ω, x) → π(Ω, y) che verifica F([C]) = [F (C)] per ogni C ∈ C(x), ove è inteso che nei due membri della formula lo stesso simbolo [ ·] denoti le due rispettive proiezioni canoniche.

vi) Si dimostra che F è un isomorfismo da (π(Ω, x), ∗) su (π(Ω, y), ∗), ove lo stesso simbolo ∗ denota l’operazione del punto iii) in ciascuno dei due gruppi.

vii) Il gruppo fondamentale π(Ω) è il gruppo astratto al quale sono isomorfi tutti i gruppi (π(Ω, x_{0}), ∗) con x_{0} ∈ Ω.

Chiaramente π(Ω) = {E} quando Ω è semplicemente connesso, mentre risulta π(Ω) = (ℤ, +) se Ω = ℝ^{2} \ {0} per la Proposizione 9.23 e l’additività dell’indice di avvolgimento.

12.11. Osservazione. Tuttavia va detto che non serve passare dalle parametrizzazioni ai cammini tramite quoziente: si può definire direttamente l’omotopia fra parametrizzazioni con l’avvertenza di scegliere un dominio comune a tutte le parametrizzazioni (viene che due parametrizzazioni equivalenti nel senso della Definizione 3.4, naturalmente ora con lo stesso dominio, risultano omotope con la nuova nozione di omotopia fra parametrizzazioni anziché fra cammini; corrispondentemente i termini cammino e arco vengono di solito usati con un significato diverso). Il risultato è che si fa un solo passaggio al quoziente anziché due, ma la sostanza non cambia. Va anche detto che la costruzione di π(Ω) non necessita di ipotesi sulle derivate (per noi motivate dalla successiva teoria dell’integrazione delle forme differenziali). Dunque la stessa costruzione può essere ripetuta a partire da parametrizzazioni solo continue. Ne viene che tutto ciò si può fare rimpiazzando l’aperto connesso Ω con qualcosa di molto più generale, sempre che si possa parlare di connessione per archi, e il caso tipico della Topologia algebrica è quello degli spazi topologici connessi per archi (già nel caso di un aperto Ω ⊆ ℝ^{n} non connesso il gruppo (π(Ω, x), ∗) può dipendere da x in modo essenziale, cioè cambiando x si può ottenere un gruppo non isomorfo a quello di partenza). Qui notiamo solo che potremmo prendere come Ω, ad esempio, una circonferenza, oppure una superficie di ℝ^{3} immagine tramite una funzione continua di un aperto connesso di ℝ^{2} : la connessione per archi sarebbe garantita in entrambi i casi. Ad esempio il gruppo fondamentale di una circonferenza è il gruppo additivo degli interi, come si vede adattando la dimostrazione della Proposizione 9.23 alla situazione presente (si ha semplicemente ρ(t) = 1), mentre quello di una superficie sferica di ℝ^{3} è il gruppo banale ridotto al solo elemento neutro. Osserviamo infine che, anche in casi semplici, il gruppo π(Ω) non è abeliano. Ad esempio, se Ω è il piano privato di due punti, π(Ω) è il gruppo libero su due generatori. Per questo motivo abbiamo usato qui la notazione ∗ di tipo moltiplicativo. Al contrario abbiamo usato la notazione additiva per la somma di cammini (Definizione 3.12) perché, più che a questioni di tipo algebrico, eravamo interessati all’integrale delle forme differenziali. In particolare la formulazione della proprietà additiva dell’integrale risulta più suggestiva con la notazione additiva che non con quella moltiplicativa.

Indice

Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 Il duale dello spazio euclideo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Forme differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 Cammini, archi e circuiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4 La struttura dei cammini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5 Lunghezza di un cammino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 6 L’integrale di una forma differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 7 Aperti connessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 8 Forme differenziali esatte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 9 Forme differenziali chiuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 10 Campi vettoriali conservativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 11 Potenziale vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 12 Complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49