Gianni Gilardi

Analisi Matematica di Base: errata corrige

(aggiornamento del 18 maggio 2010)

Di norma ogni correzione indicata ha la struttura p/r/E/C ove p e r sono due numeri interi e E e C due testi. L’intero positivo p denota la pagina; il numero r, che invece può essere positivo o negativo, denota la riga di posto |r| contata a partire dall’alto o dal basso a seconda che r sia positivo o negativo; i testi E e C sono quello errato e, rispettivamente, quello corretto. Eventuali puntini dopo r indicano che vanno considerate anche righe (una o più) immediatamente successive a quella indicata. Talora, in sostituzione dei testi errato e corretto, vengono date indicazioni per la correzione.

20 17 lim_{n→∞} A_{n} ≤ lim_{n→∞} A_{n}  lim_{n→∞} A_{n} ≤ lim_{n→∞} B_{n}
21 10 agettivo  aggettivo

21 15 … Del criterio del confronto asintotico può essere usato solo l’enunciato che traspare dalla prima parte della dimostrazione: se ℓ è finito (anche nullo) e ∑ b_{n} converge, allora ∑ a_{n} converge.

24  5 … Il discorso successivo è corretto se x ≠ 0, ma la situazione è banale se x = 0.
34  7 y ↦ y^{2}  y ↦ 1/y^{2}
37  9 … a un limite ℓ > 0  a un limite ℓ > 0 per x → x_{0}
37 12 come I l’intorno di x_{0}  come I l’intorno di ℓ
37 −8 … la funzione può non essere definita nel punto x_{0}
42 −13 \frac{1}{πx} ∉ ℤ  \frac{1}{πx} − \frac{1}{2} ∉ ℤ
44 15 limite destro  limite sinistro
46 −14 f(x) ∈ J  f(x) ∈ I
52  1 supponiomo  supponiamo

63 −10 enunciato seguito  enunciato di seguito
66 −14 opporto  opposto
67 14 per ogni x ∈ J \ {0}  per ogni x ∈ J \ {x_{0}}
72  6 … segno segno  segno
77 −12 Discrivere  Descrivere
80 −13 … = \frac{∂f(x_{0})}{∂x_{1}}h_{1} + …  … = \frac{∂f(x_{0})}{∂x_{1}}h_{1} + …
83 −10 f(0, 0) = 0  f(x, y) = 0
88 15 … = D_{x} …  … = −D_{x} …
88 −10 … = D_{x} …  … = −D_{x} …
90 −6 in versore  il versore

111 −9 … Nelle tre formule f(…) = … sostituire sistematicamente 2 con 5 nei primi membri (9 sostituzioni).

113  7 tre insiemi  di tre insiemi
117 −11 disugualgianze  disuguaglianze
117 −7 ε = \frac{1}{2}(I_{+}(f) − I_{−}(f))  ε = \frac{1}{2}(inf I_{+}(f) − sup I_{−}(f))

118 −9 … Le affermazioni fatte sono corrette solo se ⋃_{i=1}^{p} E′_{i} = ⋃_{j=1}^{q} E′′_{j}, ma a questo caso ci si riconduce introducendo ulteriori E′_{i} ed E′′_{j} (applicando, la Prop. 3.11 alle due famiglie, nei due ruoli se necessario) e le corrispondenti costanti c′_{i} e c′′_{j} nulle.

120 −1 ≥ sup I_{+}(f) − ε  ≥ sup I_{−}(f) − ε
136  3 lim_{r→0} \frac{1}{area D_{r}(x_{0})} ∫ …  lim_{r→0} \frac{1}{area D_{r}(x_{0},u)} ∫ …
137 −9 (−ωx_{1}, ωx_{2}, 0)  (−ωx_{2}, ωx_{1}, 0)
138 −3 \frac{∂}{∂x_{1}} f_{i} = … \frac{∂f_{i}}{∂x_{1}}  \frac{∂}{∂x_{i}} f_{i} = … \frac{∂f_{i}}{∂x_{i}}

147 −13 … Ogni a con indice (a_{n}, a_{n_{0}},…) va sostituito da x (munito dello stesso indice).
148  8 sottosuccesssione  sottosuccessione
149  1 … solo)  … sono)
150 −7 sucessione  successione
160 −14 fra fra  fra
161  8 k = 1, …, r  per i k tali che E_{k} ⊆ B_{−}

162 12 … Nell’enunciato del Teorema 7.3 occorre aggiungere l’ipotesi che gli insiemi B_{1}^{i}, …, B_{p_{i}}^{i} siano a due a due disgiunti.

163  1 la proprietà  le proprietà
163 16 punti x′, x′′ ∈ B  punti x′, x′′ ∈ [a, b]
164  3 f : ℝ^{N} × B  f : ℝ^{N} × B → ℝ
164  8 |g(x) − g(x_{0}| ≤ ε  |g(x) − g(x_{0})| ≤ ε
170 −9 sciegliamo  scegliamo
178 −9 u : ℝ^{2} → ℝ  u : ℝ^{3} → ℝ
178 −5 letteore  lettore
183 −1 di addirittura  addirittura
184 −9 … f^{k}  f^{(k)}
186 −6 n = q  k = q
186 −5 k! … k ≤ q  j! … j ≤ q

192 16 … Anziché la seconda delle funzioni g della riga –5 di pagina 191 è stata erroneamente considerata la prima. Il calcolo corretto fornisce semplicemente x_{2} = λ e x_{1} = λ, da cui senza difficoltà lo stesso risultato finale.

193 18 k è dispari,  k è dispari e f^{(k)}(x_{0}) ≠ 0,
194  5 k è dispari,  k è dispari e f^{(k)}(x_{0}) ≠ 0,

197 12 che, valga  che valga
197 15 φ(t)  φ(s)
204  8 le altre proprietà  altre proprietà
204 19 reciprova  reciproca
205 −12 dei primo  del primo
209 −9 … = ℓ′  … = ℓ_{1}
219 −7 (1.8)  (1.10)

221 −3 Nel secondo caso occorre più attenzione: infatti si ha |y| ≥ 1 per tutti gli y dell’intervallo di integrazione, dunque sempre y ≥ 1 oppure sempre y ≤ −1, e nei due sottocasi le sostituzioni da usare sono y = cosh z e y = − cosh z.

228 −4 … dx_{1})dx_{2}  … dx_{2})dx_{1}
230 14 ∫_{0}^{1} 8z dz  ∫_{0}^{1} 4z dz

238 −15 … Di fatto il Teorema VI.7.1 non è applicabile dato che E e T (E) possono non essere chiusi. Esso può essere invece applicato ad A e a T (A). Dopo di che si hanno anche le integrabilità volute sui sottoinsiemi misurabili E e T (E).

238 −2 spazio di misure  spazio di misura

239 13 … Nemmeno il Teorema V.6.1 è applicabile alla lettera, ma la sua dimostrazione funziona ancora per integrandi limitati e uniformemente continui. La stessa osservazione vale per la riga -8.

239 −11 x′, y′ ∈ E_{k}^{i}  x′, y′ ∈ T (E_{k}^{i})

252 −5 mis_{2m+1} B_{r}^{2m+1} = \frac{(2r)^{2m+1}π^{m}}{(2m + 1)!}  mis_{2m+1} B_{r}^{2m+1} = \frac{(2r)^{2m+1}π^{m}m!}{(2m + 1)!}
258 −8 |w_{n+1}| ≤ …  |w_{n+1}(t)| ≤ …

260 16 … I casi considerati nelle sezioni citate non rientrano nel Teorema 1.1. Tuttavia il fatto qui segnalato è vero tutte le volte che vale un risultato di unicità, ad esempio quello contenuto nel successivo Teorema 2.2, nel quale rientrano i due casi in questione.

260 −4 completo  in avanti
276  1 i = 1, 2, 3  i = 0, 1, 2
277  2 v′(t) = …  v′_{i}(t) = …
278 16 prima  seconda
282  6 c(a_{1} + 2λa_{2}) = c  c(a_{1} + 2λa_{2}) = b
290 17 {x_{n}}  {x^{n}}
293 10 ∇f proprio  ∇f è proprio

293 16 A tale scopo fissiamo A tale scopo osserviamo che g è continua per il Teorema 2.4, fissiamo

293 19 Teorema 2.5  Corollario 2.6
297 14 z_{n}  z^{n}
299 −12 di centro x_{0}  di centro 0
301 11 ln x  ln(1 + x)
311 −10 Siano  Sia

312 5 … Al contrario di quanto si afferma, gli insiemi E_{1} ∩ E′_{k}, E_{2} ∩ E′_{k}, … possono non essere disgiunti. Occorre usare la Prop. 1.9 anziché la σ-additività e sostituire il primo “=” con “≥” nella catena successiva.

314 −8 m^{∗}(B_{n})  m^{∗}(B_{k})
315  4 cha  che
315 13 di funzione di  di
319 −4 n′, n′′ > n_{1}  n′, n′′ ≥ n_{1}
319 −1 n′, n′′ > n_{1}  n′, n′′ ≥ n_{1}
320 −3 n′, n′′ > n_{1}  n′, n′′ ≥ n_{1}
323  7 Fissimi  Fissiamo

325 7 … Con la definizione data di C l’affermazione “In particolare… insiemi A_{n_{k}}” della riga 8 è errata. Scriviamo C = B ∪ B′ ove B′ = ∩_{i=1}^{∞} ∪_{k=i}^{∞} A_{n_{k}} in sostituzione della riga 7 e vediamo che si aggira l’errore. Infatti la (5.4) implica ∑_{k} m^{∗}(A_{n_{k}}) ≤ ∑_{n} m^{∗}(A_{n}) < +∞, per cui la Prop. 2.8 assicura due cose: B′ è trascurabile, quindi anche C; se x ∉ C allora esiste k_{0} tale che x ∉ A_{n_{k}} per ogni k ≥ k_{0}, per cui l’ultimo passaggio della catena della riga 10 è effettivamente implicato dalla (5.4) per k ≥ k_{0}, e ciò basta per ottenere la convergenza della riga 11.

331 11 ±g  f ± g
334 14 … fondamentale è invece quello  fondamentali sono invece quelli
342  4 ∫_{A} σ dm … ∫_{A} s dm  ∫_{A} σ_{n} dm … ∫_{A} s_{n} dm
346 12 α > −N  α < −N
350 17 x ↦ ln |x|  x ↦ 1/ ln |x|
352  6 vp ∫_{a}^{b} f(x) dx = …  vp ∫_{−∞}^{+∞} f(x) dx = …
356 −12 sondizioni  condizioni
400 −1 entrambi i secondi membri della (10.7) vanno moltiplicati per 2
445 −4 1 − tan^{2} x = \frac{1}{cosh^{2} x}  1 − tanh^{2} x = \frac{1}{cosh^{2} x}
448 13 … cos s  … cos x
453 −3 eliminare uno dei tre “no;” consecutivi
454 12 (−R cos t, R sin t, c)  (−R sin t, R cos t, c)
454 13 (−R, 0, c) . . . . . . (−Rh, 0, ch)  (0, R, c) . . . . . . (0, Rh, ch)

454 −16

(0, ln 2, 0) + … + (0, 1/2, 1/ cosh^{2} 1)(x_{2} − 1) + …

(0, ln 2, tanh 1) + …
+ (0, 1, 1/ cosh^{2} 1)(x_{2} − 1) + …
455 10 −∞  +∞