Equazioni paraboliche astratte — Discretizzazione in tempo

1. Il problema continuo. Sia (V, H, V′) una terna hilbertiana e si denotino con ∥ · ∥, | · | e ∥ · ∥_{∗} le norme nei tre spazi rispettivi, con (( · , ·)) e ( · , ·) i prodotti scalari di V e di H e con ⟨ · , · ⟩ la dualità fra V′ e V . Si denoti inoltre con c_{∗} una costante tale che

|v| ≤ c_{∗}∥v∥ ∀ v ∈ V  e  ∥v∥_{∗} ≤ c_{∗}|v| ∀ v ∈ H.

Si consideri infine l’operatore A : V → V′ lineare e continuo associato a una forma bilinare a su V × V verificante la seguenti ipotesi di continuità e di coercività debole: esistono M ≥ 0 , α > 0 e λ ≥ 0 tali che

|a(v, v)| ≤ M∥v∥^{2}  ∀ v ∈ V  (1)
a(v, v) ≥ α∥v∥^{2} − λ|v|^{2}  ∀ v ∈ V.  (2)

Fissato T > 0 e assegnati

f ∈ L^{2}(0, T; V′)  e  u_{0} ∈ H,  (3)

si cerca u tale che

u ∈ L^{2}(0, T; V),  u′ + Au = f in D′(0, T; V′)  e  u(0) = u_{0}.  (4)

Si noti che da u ∈ L^{2}(0, T; V) segue Au ∈ L^{2}(0, T; V′) , per cui anche u ∈ H^{1}(0, T; V′) . Dunque u ∈ C^{0}([0, T]; V′) e la condizione di Cauchy ha senso.

Nel seguito lo stesso simbolo c denota costanti che possono essere diverse fra loro e che dipendono al più da c_{∗} , M , α, λ e T . Il simbolo C denota invece costanti che possono dipendere, in aggiunta, dalle norme di u_{0} e di f negli spazi H e L^{2}(0, T; V′) rispettivamente.

2. Il problema discreto. Fissiamo un numero naturale N , che potremo eventualmente supporre abbastanza grande, e poniamo τ = T/N . Il problema discretizzato che consideriamo è il seguente. Dato

(f_{0}, …, f_{N−1}) ∈ (V′)^{N}  (5)

si cerca (u_{1}, …, u_{N}) ∈ V^{N} tale che

\frac{u_{n+1} − u_{n}}{τ} + Au_{n+1} = f_{n}  per n = 0, …, N − 1  (6)

Osserviamo subito che, almeno per τ abbastanza piccolo, cioè per N abbastanza grande, il problema (6) ha una e una sola soluzione. Infatti esso si riscrive

a_{τ} (u_{n+1}, v) = (u_{n}, v) + τ⟨f_{n}, v⟩ ∀ v ∈ V

ove la forma a_{τ} è data dalla formula

a_{τ} (u, v) = (u, v) + τa(u, v).

Allora a_{τ} è bilineare e continua e verifica

a_{τ} (v, v) ≥ τα∥v∥^{2} + (1 − τλ)|v|^{2}.

Quindi essa è V − ellittica se τλ ≤ 1 . Supponiamo dunque τλ ≤ 1 .

3. Preliminari. Per arrivare a stime a priori utili osserviamo che vale la formula

2b(u − v, u) = b(u − v, u − v) + b(u, u) − b(v, v)  ∀ u, v ∈ W  (7)

ove W è uno spazio di Hilbert e b è una forma bilineare simmetrica su W × W . Basta infatti sviluppare i due membri per vedere che la (7) è vera. Notiamo che (7) vale, in particolare, se W è uno degli spazi V o H e b è il corrispondente prodotto scalare. La (7) vale inoltre nel caso W = V e b = a se a è anche simmetrica.

Utilizzeremo inoltre i due lemmi che seguono, il primo dei quali è una versione discreta del ben noto Lemma di Gronwall.

Lemma 1. Siano β, γ ≥ 0 assegnati e sia (c_{0}, …, c_{N}) ∈ IR^{N+1} tale che

c_{n+1} ≤ β + γ ∑_{k=1}^{n} c_{k}  per n = 0, …, N − 1.  (8)

Allora

c_{n} ≤ β(1 + γ)^{n−1}  per n = 1, …, N.  (9)

Dimostrazione. La tesi è ovvia se n = 1 , come si vede prendendo n = 0 nella (8). Procedendo per induzione, sia m < N e supponiamo che la formula da dimostrare valga per n = 1, …, m. Usando l’ipotesi abbiamo allora

c_{m+1} ≤ β + γ ∑_{n=1}^{m} β(1 + γ)^{n−1} = β + βγ \frac{(1 + γ)^{m} − 1}{(1 + γ) − 1} = β(1 + γ)^{m}.

Lemma 2. Siano W uno spazio di Hilbert e {W_{n}} una successione di sottospazi chiusi di W tale che ogni sua sottosuccessione {W_{n_{k}}} abbia unione densa in W . Sia inoltre w ∈ W e, per ogni n, sia w_{n} la proiezione di w su W_{n} . Allora la successione {w_{n}} converge a w.

Dimostrazione. Basta dimostrare che da ogni sottosuccessione estratta da {w_{n}} si può estrarre ulteriormente una sottosuccessione convergente a w. Sia dunque {w_{n_{k}}} una sottosuccessione di {w_{n}}. Per ipotesi, considerata la sottosuccessione {W_{n_{k}}} e detta U_{1} la sua unione, U_{1} è densa in W . Esiste dunque z_{1} ∈ U_{1} tale che

∥w − z_{1}∥ ≤ 1

e risulta z_{1} ∈ W_{n_{k_{1}}} per un certo indice k_{1} . Applicato lo stesso discorso alla sottosuccessione {W_{n_{k}}}_{k>k_{1}} e detta U_{2} l’unione corrispondente, troviamo z_{2} ∈ U_{2} tale che

∥w − z_{2}∥ ≤ 1/2

e risulta z_{2} ∈ W_{n_{k_{2}}} per un certo indice k_{2} > k_{1} . Procedendo in tal modo si costruiscono una successione {z_{i}} di elementi di W e una successione di indici {k_{i}} strettamente crescente tali che

z_{i} ∈ W_{n_{k_{i}}}  e  ∥w − z_{i}∥ ≤ 1/i  ∀ i.

Siccome, per definizione di proiezione, per ogni i vale la disuguaglianza

∥w − w_{n_{k_{i}}} ∥ ≤ ∥w − z_{i}∥

abbiamo costruito la sottosuccessione desiderata e la dimostrazione è conclusa.

4. Stime a priori. Scriviamo (6) con n = k, testiamo con u_{k+1} e sommiamo rispetto a k da 0 al generico n < N , ottenendo

∑_{k=0}^{n}(u_{k+1} − u_{k}, u_{k+1}) + τ ∑_{k=0}^{n} a(u_{k+1}, u_{k+1}) = τ ∑_{k=0}^{n}⟨f_{k}, u_{k+1}⟩

per n = 0, …, N −1 . Applicando ora (7) al prodotto scalare di H , la (2) e disuguaglianze elementari deduciamo

∑_{k=0}^{n} |u_{k+1} − u_{k}|^{2} + |u_{n+1}|^{2} − |u_{0}|^{2} + 2τα ∑_{k=0}^{n} ∥u_{k+1}∥^{2} − 2τλ ∑_{k=0}^{n} |u_{k+1}|^{2}

≤ 2τ ∑_{k=0}^{n}⟨f_{k}, u_{k+1}⟩ ≤ τα ∑_{k=0}^{n} ∥u_{k+1}∥^{2} + \frac{τ}{α} ∑_{k=0}^{n} ∥f_{k}∥_{∗}^{2}

da cui subito

∑_{k=0}^{n} |u_{k+1} − u_{k}|^{2} + |u_{n+1}|^{2} + τα ∑_{k=0}^{n} ∥u_{k+1}∥^{2} ≤ D + 2τλ ∑_{k=0}^{n} |u_{k+1}|^{2}  (10)

ove abbiamo posto per comodità

D = |u_{0}|^{2} + \frac{τ}{α} ∑_{k=0}^{N−1} ∥f_{k}∥_{∗}^{2}.

Se supponiamo 2τλ ≤ 1/2 , deduciamo

∑_{k=0}^{n} |u_{k+1} − u_{k}|^{2} + \frac{1}{2}|u_{n+1}|^{2} + τα ∑_{k=0}^{n} ∥u_{k+1}∥^{2} ≤ D + 2τλ ∑_{k=1}^{n} |u_{k}|^{2}

cioè

s_{n+1} ≤ D + 2τλ ∑_{k=1}^{n} |u_{k}|^{2}

con la notazione

s_{n} = ∑_{k=0}^{n−1} |u_{k+1} − u_{k}|^{2} + \frac{1}{2}|u_{n}|^{2} + τα ∑_{k=0}^{n−1} ∥u_{k+1}∥^{2}.

Maggiorando ulteriormente il secondo membro troviamo

s_{n+1} ≤ D + 4τλ ∑_{k=1}^{n} s_{k}

e, applicando il Lemma 1, otteniamo

s_{n} ≤ D(1 + 4τλ)^{n−1} per n = 1, …, N.

A maggior ragione abbiamo allora

s_{n} ≤ D(1 + 4τλ)^{N} = D(1 + 4τλ)^{T/τ} per n = 0, …, N.

Siccome la funzione x ↦ (1 + 4λx)^{T/x} è limitata in (0, ∞) , concludiamo

s_{n} ≤ cD ≤ c (|u_{0}|^{2} + τ ∑_{k=0}^{N−1} ∥f_{k}∥_{∗}^{2})

per n = 1, …, N . Ciò significa la stima a priori

∑_{k=0}^{n} |u_{k+1} − u_{k}|^{2} + |u_{n+1}|^{2} + τ ∑_{k=0}^{n} ∥u_{k+1}∥^{2} ≤ c (|u_{0}|^{2} + τ ∑_{k=0}^{N−1} ∥f_{k}∥_{∗}^{2})  (11)

che vale per n = 0, …, N − 1 .

5. Funzioni interpolanti. Ora interpretiamo la (11) in termini di funzioni interpolanti i valori u_{n} . Introduciamo l’interpolata costante a tratti \overline{u} ∈ L^{2}(0, T; V) e l’interpolata lineare a tratti û ∈ C^{0}([0, T]; V) definite quasi ovunque dalle formule

\overline{u}((n + ϑ)τ) = u_{n+1} per 0 < ϑ < 1,  n = 0, …, N − 1,
û((n + ϑ)τ) = u_{n} + ϑ(u_{n+1} − u_{n}) per 0 < ϑ < 1,  n = 0, …, N − 1.

Essendo

max_{0≤t≤T} |û(t)|^{2} = max_{0≤n≤N} |u_{n}|^{2}  e  ∫_{0}^{T} ∥\overline{u}(t)∥^{2} dt = τ ∑_{n=1}^{N} ∥u_{n}∥^{2}

la (11) implica subito

max_{0≤t≤T} |û(t)|^{2} + ∫_{0}^{T} ∥\overline{u}(t)∥^{2} dt ≤ c (|u_{0}|^{2} + τ ∑_{k=0}^{N−1} ∥f_{k}∥_{∗}^{2}) .  (12)

Ora sfruttiamo la stima del primo termine della (11). Abbiamo

∫_{0}^{T} |\overline{u}(t) − û(t)|^{2} dt = τ ∑_{n=0}^{N−1} ∫_{0}^{1} |\overline{u}((n + ϑ)τ) − û((n + ϑ)τ)|^{2} dϑ

= τ ∑_{n=0}^{N−1} ∫_{0}^{1}(1 − ϑ)^{2}|u_{n+1} − u_{n}|^{2} dϑ = \frac{τ}{3} ∑_{n=0}^{N−1} |u_{n+1} − u_{n}|^{2}.

La (11) fornisce allora

∫_{0}^{T} |\overline{u}(t) − û(t)|^{2} dt ≤ cτ (|u_{0}|^{2} + τ ∑_{k=0}^{N−1} ∥f_{k}∥_{∗}^{2}) .  (13)

6. Discretizzazione dei dati. Riprendiamo il problema continuo (4) e scegliamo i dati del problema discreto (6). Lasciamo u_{0} come dato iniziale e come f_{n} prendiamo

f_{n} = \frac{1}{τ} ∫_{nτ}^{(n+1)τ} f(t) dt,  n = 0, …, N − 1.  (14)

Benché sia τ = T/N e ora intendiamo lasciar variare N , non appesantiamo le notazioni e continuiamo a denotare con τ il valore T/N . Evidenziamo invece la dipendenza da N nei simboli delle funzioni interpolanti. Denotiamo dunque con \overline{u}_{N} e û_{N} le funzioni \overline{u} e û costruite al passo precedente e definiamo in aggiunta la funzione f ∗_{N} mediante la formula

f ∗_{N}((n + ϑ)τ) = f_{n} per 0 < ϑ < 1,  n = 0, …, N − 1.  (15)

Notiamo che f ∗_{N} è la proiezione di f , nella metrica di L^{2}(0, T; V′) , sul sottospazio

S_{N}(V′) = {v ∈ L^{2}(0, T; V′) : v|_{(nτ,(n+1)τ)} = costante per n = 0, …, N − 1} (16)

costituito dalle funzioni a scala con punti di suddivisione nτ , n = 0, …, N . Infatti S_{N}(V′) è un sottospazio chiuso di L^{2}(0, T; V′) , la funzione f ∗_{N} appartiene a S_{N}(V′) e la differenza f −f ∗_{N} è ortogonale a S_{N}(V′) in L^{2}(0, T; V′) come si verifica immediatamente. Abbiamo perciò

τ ∑_{n=0}^{N−1} ∥f_{n}∥_{∗}^{2} = ∫_{0}^{T} ∥f ∗_{N}(t)∥_{∗}^{2} dt ≤ ∫_{0}^{T} ∥f(t)∥_{∗}^{2} dt  (17)

Le stime a priori (12) e (13) forniscono allora

\left∥{ \atop u_{N}}\right∥_{L^{∞}(0,T;H)} + ∥\overline{u}_{N}∥_{L^{2}(0,T;V)} ≤ C.  (18)
∥\overline{u}_{N} − û_{N}∥_{L^{2}(0,T;H)} ≤ Cτ^{1/2}.  (19)

7. Sottosuccessioni convergenti. Dalla (18) deduciamo che

û_{N} ⇀^{∗} u  in L^{∞}(0, T; H)  (20)
\overline{u}_{N} ⇀ z  in L^{2}(0, T; V)  (21)

per opportune funzioni limite appartenenti agli spazi considerati e almeno per una sottosuccessione estratta {N_{k}}. D’altra parte, la (19) implica

\overline{u}_{N} − û_{N} → 0 in L^{2}(0, T; H)

per cui z = u e la (21) diventa

\overline{u}_{N} ⇀ u  in L^{2}(0, T; V).  (22)

8. Passaggio al limite. Dimostriamo infine che la funzione u data dal passo precedente risolve il problema continuo (4). Sappiamo già che la prima condizione è soddisfatta. Per ricavare la seconda osserviamo che la (6) si riscrive

u′_{N} + A\overline{u}_{N} = f ∗_{N} in (0, T)  (23)

e dimostriamo che possiamo passare al limite in ciascuno dei tre termini e ottenere il termine corrispondente di (4). Per correttezza consideriamo solo le sottosuccessioni estratte al passo precedente, ma un risultato di unicità per la soluzione di (4) garantisce che, di fatto, le intere successioni convergono a u.

Dalla (20) deduciamo che û_{N} → u in D′(0, T; V′) . Abbiamo dunque

u′_{N} → u′ in D′(0, T; V′).

Dalla (22), usando anche la continuità di A da V in V′ , otteniamo

A\overline{u}_{N} ⇀ Au in L^{2}(0, T; V′).

Per concludere la verifica dell’equazione in (4), basta allora dimostrare che

f ∗_{N} → f in L^{2}(0, T; V′).

Per far questo è sufficiente applicare il Lemma 2 a L^{2}(0, T; V′) e alla successione dei sottospazi (16). Infatti f ∗_{N} è, come abbiamo osservato, la proiezione di f su S_{N}(V′) e l’ipotesi di densità che compare nel lemma è conseguenza dal fatto seguente, di facile controllo: per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che in ciascuno degli spazi S_{N}(V′) con T/N ≤ δ troviamo una g tale che ∥f − g∥_{L^{2}(0,T;V′)} ≤ ε.

Per ottenere la condizione di Cauchy di (4) dimostriamo una convergenza più significativa della successione \left\{{ \atop u_{N}}\right\}. Riscrivendo la (23) nella forma

u′_{N} = f ∗_{N} − A\overline{u}_{N}

vediamo che la successione {u′_{N}}, come quella dei secondi membri, converge debolmente in L^{2}(0, T; V′) . Siccome il suo limite debole è f − Au, cioè u′ , tenendo conto della (20) vediamo che

û_{N} ⇀ u  in H^{1}(0, T; V′).  (24)

Siccome H^{1}(0, T; V′) è incluso in C^{0}([0, T]; V′) con immersione continua, deduciamo che

û_{N}(0) ⇀ u(0) in V′.

Siccome û_{N}(0) = u_{0} per ogni N , concludiamo.

9. Ulteriore regolarità. Dimostriamo ora che, se la forma a è anche simmetrica e se valgono le condizioni

f ∈ L^{2}(0, T; H)  e  u_{0} ∈ V,  (25)

allora la soluzione u costruita sopra verifica

u ∈ H^{1}(0, T; H) ∩ L^{∞}(0, T; V) ∩ L^{2}(0, T; W)  (26)

ove W è lo spazio

W = {v ∈ V : Av ∈ H}  (27)

munito della norma del grafico.

Per far questo riprendiamo il problema discreto (6) e troviamo un’ulteriore stima a priori. Le notazioni sono le stesse del passo 4.

Scriviamo (6) con n = k, testiamo con u_{k+1} − u_{k} e applichiamo la (7) alla forma simmetrica a. Sommando rispetto a k, otteniamo per n = 0, …, N − 1

\frac{1}{τ} ∑_{k=0}^{n} |u_{k+1} − u_{k}|^{2} + \frac{1}{2} ∑_{k=1}^{n} a(u_{k+1} − u_{k}, u_{k+1} − u_{k}) + \frac{1}{2}a(u_{n+1}, u_{n+1})

= \frac{1}{2}a(u_{0}, u_{0}) + ∑_{k=0}^{n}(f_{k}, u_{k+1} − u_{k}).

Usando (2) e disuguaglianze elementari abbiamo allora

\frac{1}{τ} ∑_{k=0}^{n} |u_{k+1} − u_{k}|^{2} + \frac{α}{2} ∑_{k=0}^{n} ∥u_{k+1} − u_{k}∥^{2} + \frac{α}{2}∥u_{n+1}∥^{2}

≤ \frac{1}{2}a(u_{0}, u_{0}) + \frac{τ}{2} ∑_{k=0}^{n} |f_{k}|^{2} + (\frac{1}{2τ} + \frac{λ}{2}) ∑_{k=0}^{n} |u_{k+1} − u_{k}|^{2} + \frac{λ}{2}|u_{n+1}|^{2}.

Nell’ipotesi 2τλ ≤ 1 , che equivale a λ/2 ≤ 1/(4τ) , assorbiamo la seconda sommatoria del secondo membro nella prima del primo e per stimare l’ultimo termine possiamo usare la (11). Otteniamo allora immediatamente

\frac{1}{τ} ∑_{k=0}^{n} |u_{k+1} − u_{k}|^{2} + ∥u_{n+1}∥^{2} ≤ c (∥u_{0}∥^{2} + τ ∑_{k=0}^{N−1} |f_{k}|^{2}) .  (28)

A questo punto possiamo riprendere il discorso del passo 6 e dei successivi. La (28) fornisce

∥u′_{N}∥_{L^{2}(0,T;H)} + \left∥{ \atop u_{N}}\right∥_{L^{∞}(0,T;V)} ≤ c (∥u_{0}∥ + ∥f∥_{L^{2}(0,T;H)}) .  (29)

Dunque, a meno di estrazioni di sottosuccessioni, concludiamo che \{u′_{N}\} e \left\{{ \atop u_{N}}\right\} convergono debolmente in L^{2}(0, T; H) e debolmente* in L^{∞}(0, T; V) rispettivamente. Siccome i limiti deboli non possono essere che u′ e u, concludiamo che valgono le prime due affermazioni della (26). Ma l’ultima viene di conseguenza, dato che Au = f − u′ .

10. Osservazione. Nelle ipotesi (3), la stima (18) passa al limite per semicontinuità inferiore. Inoltre l’equazione in (4) fornisce di conseguenza una stima per u′ . La stessa cosa avviene poi, nelle ipotesi aggiuntive fatte, per la (29), dalla quale pure si trae una conseguenza su Au sfruttando l’equazione (4). Allora, rispettivamente nelle ipotesi (3) e (25) sui dati u_{0} e f , per la soluzione u che abbiamo costruito abbiamo esattamente le stime formali che si ottengono testando la (4) con u e con u′ , cioè

∥u∥_{L^{2}(0,T;V)} + ∥u∥_{C^{0}([0,T];H)} + ∥u∥_{H^{1}(0,T;V′)} ≤ c (|u_{0}| + ∥f∥_{L^{2}(0,T;V′)})  (30)
∥u∥_{L^{2}(0,T;W)} + ∥u∥_{C^{0}([0,T];V)} + ∥u∥_{H^{1}(0,T;H)} ≤ c (∥u_{0}∥ + ∥f∥_{L^{2}(0,T;H)}) (31)

la (30) nelle sole ipotesi (1) e (2) sulla forma bilineare a e la (31) nell’ipotesi aggiuntiva che a sia anche simmetrica.