Alcuni spazi funzionali con ordine di derivazione reale

Nel seguito Ω denota un di IR^{n}. Per garantire l’effettiva validità dei risultati e l’equivalenza delle definizioni che diamo a quelle originali occorrono ipotesi su Ω e, per semplicità, possiamo limitarci ai tre casi dell’intero spazio, del semispazio e dell’aperto limitato e regolare, diciamo di classe C^{k} con k intero > s se gli spazi considerati fanno intervenire l’ordine di derivazione s, anche se potrebbe essere sufficiente una regolarità minore. Per quanto riguarda uguaglianze e inclusioni di spazi, sottintendiamo l’equivalenza delle rispettive norme e la continuità delle immersioni.

Premettiamo alcune notazioni e altre precisazioni. Denotiamo con IN l’insieme degli interi k ≥ 0 e con B_{R} la palla di IR^{n} di centro 0 e raggio R ∈ (0, ∞], con la convenzione ovvia B_{R} = IR^{n} se R = ∞. Per r > 0 poniamo poi

Ω_{r} = {x ∈ Ω : d(x, ∂Ω) > r}

convenendo che sia Ω_{r} = IR^{n} se Ω = IR^{n} e che le norme in L^{p}(Ω_{r}) che scriveremo valgano 0 per i valori di r per i quali Ω_{r} è vuoto.

Per h ∈ IR^{n} e u ∈ L_{loc}^{1}(Ω) definiamo inoltre le funzioni Δ_{h}u e Δ_{h}^{2}u (incrementi primo e secondo di u) mediante le formule

(Δ_{h}u)(x) = u(x + h) − u(x)  e  (Δ_{h}^{2}u)(x) = u(x + 2h) − 2u(x + h) + u(x)

da intendersi per quasi ogni x di Ω_{|h|} e di Ω_{2|h|} rispettivamente. Per semplificare le notazioni scriviamo ad esempio Δ_{h}u(x) anziché (Δ_{h}u)(x).

Denotiamo infine con L_{∗}^{p}(B_{R}) lo spazio L^{p}(B_{R}, dμ) costruito con la misura μ, eventualmente infinita, introdotta inizialmente sui boreliani dalla definizione μ(E) = ∫_{E} |h|^{−n} dh e, eventualmente, poi completata. Analogamente denotiamo con L_{∗∗}^{p}(Ω × Ω) lo spazio L^{p}(Ω × Ω, dν) ove ora ν(E) = ∫_{Ω×Ω} |x − y|^{−n} dx dy se E è un boreliano di Ω × Ω. Notiamo che, se p è finito, una funzione misurabile φ in B_{R} appartiene a L_{∗}^{p}(B_{R}) quando

∫_{B_{R}} |φ(h)|^{p} |h|^{−n} dh < ∞

e che L_{∗}^{∞}(B_{R}) coincide con l’usuale spazio L^{∞}(B_{R}). Considerazioni analoghe valgono poi per lo spazio L_{∗∗}^{p}(Ω × Ω).

Spazi di Besov. Per s, p, q reali verificanti

s > 0, 1 ≤ p ≤ ∞ e 1 ≤ q ≤ ∞  (1)

definiamo lo spazio di Besov B_{q}^{s,p}(Ω) come segue. Scriviamo s nella forma

s = k + σ  con k ∈ IN e 0 < σ ≤ 1  (2)

e fissiamo R ∈ (0, ∞]. Diciamo che u ∈ B_{q}^{s,p}(Ω) quando u ∈ W^{k,p}(Ω) e le funzioni

h ↦ ∥|h|^{−σ}Δ_{h}^{2}D^{α}u∥_{L^{p}(Ω_{2|h|})}  (3)

appartengono a L_{∗}^{q}(B_{R}) per |α| = k. Muniamo poi B_{q}^{s,p}(Ω) della norma del grafico.

Si dimostra che la definizione non dipende da R, nel senso che diverse scelte di R conducono allo stesso spazio di funzioni e a norme equivalenti. Ad esempio, con le notazioni introdotte, se p e q sono finiti e se scegliamo R = ∞, una funzione u ∈ W^{k,p}(Ω) appartiene a B_{q}^{s,p}(Ω) se le sue derivate D^{α}u di ordine k verificano

∫_{IR_{n}} (∫_{Ω_{2|h|}} ||h|^{−σ}Δ_{h}^{2}D^{α}u(x)|^{p} dx)^{q/p} \frac{dh}{|h|^{n}} < ∞.

Tale condizione si semplifica e diventa

∫_{IR_{n}} ∫_{Ω_{2|h|}} ||h|^{−σ}Δ_{h}^{2}D^{α}u(x)|^{p} \frac{dx dh}{|h|^{n}} < ∞

nel caso particolare in cui q = p. Si usa spesso la notazione B^{s,p} anziché B_{p}^{s,p}.

Spazi di Nikol’skiĭ. Questi si ottengono prendendo q = ∞ nella definizione degli spazi di Besov. Per s > 0 e 1 ≤ p ≤ ∞ abbiamo dunque

N^{s,p}(Ω) = B_{∞}^{q,p}(Ω).  (4)

Vedremo che gli spazi N^{s,p}(Ω) generalizzano gli spazi di funzioni hölderiane.

Spazi di Sobolev a esponente non intero, o di Slobodeckiĭ. Per s, p reali verificanti

s > 0 non intero e 1 ≤ p ≤ ∞

definiamo lo spazio di W^{s,p}(Ω) come segue. Scriviamo s nella forma

s = k + σ con k ∈ IN e 0 < σ < 1

e diciamo che u ∈ W^{s,p}(Ω) quando u ∈ W^{k,p}(Ω) e le funzioni

(x, y) ↦ \frac{D^{α}u(x) − D^{α}u(y)}{|x − y|^{σ}}, x, y ∈ Ω,

appartengono a L_{∗∗}^{p}(Ω × Ω) per |α| = k. Ad esempio, se p < ∞, richiediamo

∫_{Ω×Ω} |\frac{D^{α}u(x) − D^{α}u(y)}{|x − y|^{σ}} |^{p} \frac{dx dy}{|x − y|^{n}} < ∞.

Muniamo poi W^{s,p}(Ω) della norma del grafico. Equivalentemente, fissato R ∈ (0, ∞], possiamo richiedere che le funzioni

h ↦ ∥|h|^{−σ}Δ_{h}D^{α}u∥_{L^{p}(Ω_{|h|})}  (5)

appartengono a L_{∗}^{p}(B_{R}) per |α| = k. Notiamo che in (5) compare l’incremento del primo ordine Δ_{h}u, mentre in (3) abbiamo l’incremento del secondo ordine Δ_{h}^{2}u.

Riduzione al caso 0 < s ≤ 1. Valgano (1) e (2) e sia u ∈ W^{k,p}(Ω). Dalle definizioni date seguono immediatamente le doppie implicazioni seguenti

u ∈ B_{q}^{s,p}(Ω) ⟺ D^{α}u ∈ B_{q}^{σ,p}(Ω) per |α| = k
u ∈ N^{s,p}(Ω) ⟺ D^{α}u ∈ N^{σ,p}(Ω) per |α| = k
u ∈ W^{s,p}(Ω) ⟺ D^{α}u ∈ W^{σ,p}(Ω) per |α| = k

per cui si è ricondotti a esaminare solo il caso in cui s = σ ∈ (0, 1].

Confronti fra i diversi tipi di spazi. Supponiamo dunque s = σ ∈ (0, 1]. Nonostante la differenza segnalata poco sopra circa l’uso degli incrementi primi o secondi, abbiamo quanto segue. Se 0 < σ < 1 e u ∈ L^{p}(Ω), allora u ∈ B_{q}^{σ,p}(Ω) se e solo se appartiene a L_{∗}^{q}(B_{R}) la funzione

h ↦ ∥|h|^{−σ}Δ_{h}u∥_{L^{p}(Ω_{|h|})} .  (6)

In altre parole, nel caso in cui s non è intero, è indifferente l’uso di Δ_{h} o di Δ_{h}^{2} nella definizione degli spazi di Besov B_{q}^{s,p}(Ω). Confrontando questo risultato con la definizione di W^{σ,p}(Ω), vediamo che, in particolare, vale l’uguaglianza

B_{p}^{σ,p}(Ω) = W^{σ,p}(Ω) se 0 < σ < 1.

Consideriamo ora lo spazio W^{σ,∞}(Ω) considerando dapprima il caso σ < 1. Dire che una funzione u ∈ L^{∞}(Ω) appartiene a W^{σ,∞}(Ω) significa richiedere che

h ↦ ∥|h|^{−σ}Δ_{h}u∥_{L^{∞}(Ω_{|h|})} sia una funzione limitata.

Abbiamo allora che u ∈ W^{σ,∞}(Ω) se e solo se u ha un rappresentante hölderiano di esponente σ. D’altra parte questo fatto continua a valere anche quando σ = 1 dato che W^{1,∞}(Ω) è costituito dalle funzioni lipschitziane. Abbiamo dunque

W^{σ,∞}(Ω) = C^{0,σ}(\overline{Ω}) per 0 < σ ≤ 1.

In particolare, vale la catena di uguaglianze

B_{∞}^{σ,∞}(Ω) = N^{σ,∞}(Ω) = W^{σ,∞}(Ω) = C^{0,σ}(\overline{Ω}) per 0 < σ < 1.

Supponiamo ora p < ∞ e σ = 1 e confrontiamo i vari spazi. Ebbene, lo spazio B_{p}^{1,p}(Ω) è in generale diverso dallo spazio di Sobolev usuale W^{1,p}(Ω). Abbiamo precisamente

B_{p}^{1,p}(Ω) ⊆ W^{1,p}(Ω)  se 1 ≤ p ≤ 2
B_{p}^{1,p}(Ω) ⊇ W^{1,p}(Ω)  se 2 ≤ p ≤ ∞

e le inclusioni sono strette se p ≠ 2. Per p = 2, riunendo i risultati enunciati, abbiamo invece le uguaglianze

B_{2}^{σ,2}(Ω) = W^{σ,2}(Ω) := H^{σ}(Ω) per 0 < σ ≤ 1

da cui più in generale

B_{2}^{s,2}(Ω) = W^{s,2}(Ω) := H^{s}(Ω) per ogni s > 0 reale, intero o meno.

Ci si può chiedere, infine, sempre per p < ∞, che cosa comporti la richiesta, per una certa u ∈ L^{p}(Ω), che la funzione

h ↦ ∥|h|^{−1}Δ_{h}u∥_{L^{p}(Ω_{|h|})}

appartenga a L_{∗}^{∞}(B_{R}), ad esempio con R = ∞ dato che ancora la scelta di R è inessenziale, cioè la limitatezza in IR^{n} della (6). Rispetto alla (4), stiamo sostituendo gli incrementi secondi Δ_{h}^{2}u con gli incrementi primi Δ_{h}u. Occorre allora distinguere il caso p = 1, che è eccezionale.

Se 1 < p ≤ ∞ e u ∈ L^{p}(Ω), allora la limitatezza della (6) equivale all’appartenenza di u allo spazio W^{1,p}(Ω), in particolare non alla condizione u ∈ N^{1,p}(Ω).

Se poi p = 1 e u ∈ L^{1}(Ω), la limitatezza di (6) ha un significato ancora diverso. Lo spazio delle funzioni u ∈ L^{1}(Ω) tali che la (6) sia limitata costituiscono lo spazio denotato BV (Ω) e detto spazio delle funzioni a variazione limitata. Se Ω è un intervallo limitato (a, b), una funzione u ∈ L^{1}(a, b) appartiene a BV (a, b) se e solo se ha un rappresentante a variazione limitata nel senso tradizionale.

Ulteriori confronti. Siano s, p, q e s_{i}, p_{i}, q_{i} per i = 1, 2 nelle condizioni (1). Abbiamo allora i fatti seguenti

s_{1} > s_{2} ⟹ W^{s_{1},p}(Ω) ⊆ B_{q}^{s_{2},p}(Ω)
s_{1} > s_{2} ⟹ B_{q}^{s_{1},p}(Ω) ⊆ W^{s_{2},p}(Ω)
s_{1} > s_{2} ⟹ W^{s_{1},p}(Ω) ⊆ W^{s_{2},p}(Ω)
s_{1} > s_{2} ⟹ B_{q_{1}}^{s_{1},p}(Ω) ⊆ B_{q_{2}}^{s_{2},p}(Ω)
q_{1} < q_{2} ⟹ B_{q_{1}}^{s,p}(Ω) ⊆ B_{q_{2}}^{s,p}(Ω)
p_{2} > p_{1} e Ω limitato ⟹ B_{q}^{s,p_{2}}(Ω) ⊆ B_{q}^{s,p_{1}}(Ω).

Notiamo in particolare che la variazione dello spazio B_{q}^{s,p}(Ω) è più sensibile al cambiamento di s o di p che non a quello di q e che dalle relazioni precedenti si deducono le due immersioni

B_{q}^{s,p}(Ω) ⊆ N^{s,p}(Ω)
W^{s_{2},p_{2}}(Ω) ⊆ W^{s_{1},p_{1}}(Ω) se s_{2} > s_{1}, p_{2} > p_{1} e Ω è limitato

la seconda delle quali vale anche se s_{1} = s_{2} ∈ IN. Segnaliamo inoltre l’inclusione

W^{s,p}(Ω) ⊆ N^{s,p}(Ω)

e le immersioni simili alle classiche di Sobolev

s_{1} < s_{2}, p_{1} > p_{2} e s_{1} − \frac{n}{p_{1}} ≤ s_{2} − \frac{n}{p_{2}} ⟹ B_{q}^{s_{2},p_{2}}(Ω) ⊆ B_{q}^{s_{1},p_{1}}(Ω)

che però, al contrario di quelle, sono valide senza eccezioni. Per esempio nel caso n = 2, combinando le varie immersioni introdotte, abbiamo

H^{2}(Ω) = B_{2}^{2,2}(Ω) ⊆ B_{2}^{1,∞}(Ω) ⊆ B_{∞}^{1,∞}(Ω) = N^{1,∞}(Ω)

mentre, se vogliamo restare nell’ambito degli spazi di Sobolev, possiamo dire solo che

H^{2}(Ω) ⊆ W^{1,p}(Ω) per 2 ≤ p < ∞

potendo scendere anche a 1 ≤ p ≤ 2 se Ω è limitato.

Tracce. Se Ω è limitato e regolare oppure un semispazio e Γ = ∂Ω, gli spazi B_{q}^{s,p}(Γ), N^{s,p}(Γ) e W^{s,p}(Γ) possono essere definiti per carte locali e partizione dell’unità. Tali spazi godono allora di proprietà perfettamente analoghe a quelli introdotti sopra e valgono un teorema di traccia e un corrispondente teorema di rilevamento. Precisamente, nelle ipotesi

1 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ q ≤ ∞ e s > 1/p

l’operatore u ↦ u|_{Γ} definito sulle funzioni u regolari si prolunga in uno e in un solo modo a un operatore

γ : B_{q}^{s,p}(Ω) → B_{q}^{s−1/p,p}(Γ)  (7)

lineare e continuo ed esiste un operatore

R : B_{q}^{s−1/p,p}(Γ) → B_{q}^{s,p}(Ω)  (8)

lineare e continuo di rilevamento, cioè tale che γRv = v per ogni v ∈ B_{q}^{s−1/p,p}(Γ).

Nel caso p = q = ∞ ritroviamo le tracce delle funzioni hölderiane o lipschitziane o con derivate che che godono di tali proprietà e il risultato sarebbe di facile dimostrazione.

Supponiamo ora 1 ≤ p < ∞ e q = p. Se nessuno dei due numeri s e s − 1/p è intero, tutti gli spazi di Besov coinvolti coincidono con i corrispondenti spazi di Sobolev e la stessa cosa avviene se p = 2 per ogni s > 1/2. Se invece s è intero e p ≠ 2, il risultato è diverso rispetto al corrispondente sugli spazi W^{s,p}(Ω) dato che i due spazi W^{s,p}(Ω) e B_{p}^{s,p}(Ω) non coincidono. Tuttavia, almeno per p > 1, essi vengono ad avere le stesse tracce. Se poi p ≠ 1, 2 e s − 1/p è l’intero k > 0, abbiamo W^{s,p}(Ω) = B_{p}^{s,p}(Ω), mentre i corrispondenti spazi di tracce W^{k,p}(Γ) e B_{p}^{k,p}(Γ) sono diversi. In tal caso deduciamo dalle (7) e (8)

γ : B_{p}^{s,p}(Ω) → W^{k,p}(Γ) e R : B_{p}^{k,p}(Γ) → W^{s,p}(Ω) se p < 2
γ : W^{s,p}(Ω) → B_{p}^{k,p}(Γ) e R : W^{k,p}(Γ) → B_{p}^{s,p}(Ω) se p > 2

a causa delle diverse immersioni in dipendenza dal valore di p. Tuttavia si dimostra che γ opera da W^{s,p}(Ω) in B_{p}^{k,p}(Γ) anche per 1 < p ≤ 2. Infine, nel caso in cui p = 1 e s è l’intero k + 1, resta vero che γ opera da W^{s,1}(Ω) in W^{k,1}(Γ), mentre non si deduce che R operi da W^{k,1}(Γ) in W^{s,1}(Ω). Per concludere segnaliamo un risultato limite: è ben definito l’operatore di traccia γ da B_{1}^{1/p,p}(Ω) in L^{p}(Γ). Notiamo che, al contrario, non hanno tracce le funzioni dello spazio appena più grande B_{q}^{1/p,p}(Ω) con q > 1.