1. Introduzione generale. XIX e XX problema di Hilbert - L'equazione di Eulero di un funzionale integrale in ipotesi di regolarità - Cenno ai metodi diretti del Calcolo delle Variazioni - Problema della regolarità degli estremali - Differenziabilità dei funzionali integrali negli spazi di Sobolev: condizioni di crescita controllata e naturali - Soluzioni deboli dell'equazione di Eulero - Regolarità delle derivate seconde - Riduzione del problema di Hilbert alla regolarità hölderiana per una equazione ellittica del secondo ordine a coefficienti limitati e misurabili.

2. Dimostrazione di De Giorgi della regolarità hölderiana. Classi di De Giorgi - Lemma di caratterizzazione delle funzioni hölderiane - Una disuguaglianza tipo Poincaré - Stime per l'estremo superiore della soluzione - Conclusione della dimostrazione.

3. Dimostrazione di Moser della regolarità hölderiana. Lemma di Calderon e Zygmund - Lemma di John e Nirenberg - Stime per l'estremo superiore della soluzione - Disuguaglianza debole di Harnack - Disuguaglianza di Harnack - Conclusione della dimostrazione.

4. Disuguaglianza di Harnack per funzioni nelle classi di De Giorgi: Teorema di DiBenedetto e Trudinger. Stime per l'estremo superiore - Lemma di ricopertura di Krylov e Safonov - Disuguaglianza di Harnack debole - Conclusione della dimostrazione - Alcune considerazioni e confronti fra il metodo di De Giorgi e quello di Moser.