PROGRAMMA DEL CORSO

1. Breve richiamo dei risultati per equazioni ellittiche a coefficienti limitati e misurabili.

2. Metodo di Moser: Stime per l'estremo superiore - Stime per l'estremo inferiore - Una disuguaglianza di Poincaré con peso - Lemma logaritmico - Dimostrazione della disuguaglianza di Harnack vera e propria - Hölderianità locale della soluzione - Stime sulla soluzione fondamentale - Lemma di John-Nirenberg parabolico.

3. Metodo di Nash.

ORARIO DELLE LEZIONI
 
Martedì 11:00 - 12:00;
Giovedì 11:00 - 13:00.
 

BIBLIOGRAFIA
 

Sezione 1

1. L. Saloff-Coste - Aspects of Sobolev-Type Inequalities - London Mathematical Society Lecture Note Series #289, (2002).

Il capitolo 2 fornisce un ottima introduzione alle stime di Moser ellittiche, addirittura nel contesto delle varietà.

2. L. C. Evans - Entropy and Partial Differential Equations - Lecture Notes, Department of Mathematics, UC Berkeley, (2001).

Il capitolo IV considera il legame fra disuguaglianza di Harnack ellittica ed entropia.

Sezione 2

1. J. Moser - A Harnack Inequality for Parabolic Differential Equations - Communications on Pure and Applied Mathematics, vol XVII, 101 - 134, (1964).

2. J. Moser - Correction to ``A Harnack Inequality for Parabolic Differential Equations'' - Communications on Pure and Applied Mathematics, vol XX, 231 - 236, (1967).

Sono i lavori originari di Moser, in cui è estesa al caso parabolico la tecnica già sviluppata nel caso ellittico per dimostrare la disuguaglianza di Harnack; il lavoro 2 contiene la correzione della dimostrazione del Lemma 4 del lavoro 1.

3. J. Moser - On a pointwise estimate for parabolic differential equations - Communications on Pure and Applied Mathematics, vol XXIV, 727 - 740, (1971).

4. E. Bombieri - Theory of minimal surfaces and a counter - example to the Bernstein conjecture in high dimension - Lecture Notes, Courant Institute, (1970).

5. E. Bombieri, E. Giusti - Harnack's inequality for Elliptic Differential Equations on Minimal Surfaces - Inventiones Mathematicae, 15, 24-46, (1972).

Nelle note 4 di Bombieri è introdotta una disuguaglianza di John - Nirenberg astratta, che è poi ripresa in 5 ed utilizzata per dimostrare una disuguaglianza di Harnack per soluzioni di equazioni ellittiche su superfici minime. In 3 Moser riprende l'idea e la estende al caso parabolico, semplificando in questo modo la dimostrazione originaria ed eliminando il ricorso alle stime di John - Nirenberg paraboliche.

6. L. Saloff-Coste - Aspects of Sobolev-Type Inequalities - London Mathematical Society Lecture Note Series #289, (2002).

Il capitolo 6 sviluppa la disuguaglianza di Harnack per equazioni paraboliche su varietà. Lo sforzo continuo dell'autore è rivolto a mettere in luce le ipotesi strutturali essenziali che garantiscono la validità della Harnack.

7. L. C. Evans - Entropy and Partial Differential Equations - Lecture Notes, Department of Mathematics, UC Berkeley, (2001).

Il capitolo IV considera il legame fra disuguaglianza di Harnack parabolica ed entropia.

8. G. M. Lieberman - Second Order Parabolic Differential Equations - World Scientific, (1998).

Il capitolo VI tratta estesamente la disuguaglianza di Harnack per equazioni paraboliche molto generali.

9. G. Auchmuty, D. Bao - Harnack-Type Inequalities for Evolution Equations - Proceedings of the American Mathematical Society, 122, 1, (1994), 117 - 129.

Attraverso opportune stime del tipo dell'entropia, gli autori estendono la disuguaglianza di Harnack per soluzioni definite su tutto lo spazio di equazioni paraboliche degeneri, del tipo p-laplaciano o mezzi porosi.

Sezione 3

1. J. Nash - Continuity of Solutions of Parabolic and Elliptic Equations - American Journal of Mathematics 80, 4, (1958), 931 - 954.

2. E. B. Fabes, D. W. Stroock - A new proof of Moser's parabolic Harnack inequality using the old idea of Nash - Archive of Rational Mechanics and Analysis, 96 (1986), 327 - 338.