Appunti di Geometria Differenziale

Alessandro Ghigi

8 ottobre 2007

1 Richiami sulle funzioni di una variabile reale

Sia I = (a, b) ⊂ ℝ −∞ ≤ a < b ≤ +∞ un intervallo aperto della retta reale. Indichiamo con C^{0}(I) l’insieme formato dalle funzioni continue a valori reali definite su I. Se k > 0 è un numero naturale, indichiamo con C^{k}(I) l’insieme delle funzioni a valori reali che sono definite su I e che sono derivabili k volte in ogni punto di I e tali che tutte le derivate fino all’ordine k incluso siano continue su I. Se una funzione f : I → ℝ appartiene all’insieme C^{k}(I) diciamo che f è di classe C^{k}. Questa definizione si può riformulare in modo ricorsivo dicendo che una funzione f : I → ℝ è di classe C^{k} (per k > 0) su I se e soltanto se f è derivabile in ogni punto di I ed f′ ∈ C^{k−1}(I). Poniamo infine

C^{∞}(I) = ⋂_{k=1}^{∞} C^{k}(I).

L’insieme C^{∞}(I) è pertanto formato dalle funzioni a valori reali che sono definite su I e che sono ivi derivabili infinite volte. Tutte le derivate sono aumaticamente continue. Infatti è noto che se una funzione è derivabile in un punto essa è anche continua in quel punto. Se una funzione definita su I appartiene a C^{∞}(I) diciamo che f è di classe C^{∞} su I o che f è una funzione liscia su I.

Lemma 1. Sia k ∈ ℕ oppure k = ∞. Se f, g ∈ C^{k}(I) e λ ∈ ℝ, allora f + g, f · g, λf ∈ C^{k}(I).

Dimostrazione. È immediato verificare che f + g e λf sono ancora di classe C^{k}. Resta da provare che l’insieme C^{k}(I) è chiuso anche rispetto al prodotto. Procediamo per induzione su k. Se k = 0 l’enunciato è vero perché il prodotto di funzioni continue è una funzione continua. Sia ora k > 0 e supponiamo che l’insieme C^{k−1}(I) sia chiuso rispetto al prodotto (questa è l’ipotesi induttiva.) Vogliamo dedurre che anche C^{k}(I) è chiuso rispetto al prodotto. Siano dunque f, g ∈ C^{k}(I). Poiché k > 0 sia f che g sono derivabili su I. Dunque anche il prodotto fg è derivabile e vale D(fg) = f′·g+f ·g′. Ma le quattro funzioni f, f′, g e g′ appartendono tutte a C^{k−1}(I). Poiché questo insieme è chiuso rispetto alla somma ed al prodotto (ipotesi induttiva), anche D(fg) appartiene a C^{k−1}, dunque fg ∈ C^{k}(I). Ciò dimostra che C^{k}(I) è chiuso rispetto al prodotto. Per il principio di induzione il risultato vale per ogni k naturale. Che C^{∞}(I) sia chiuso rispetto al prodotto è conseguenza immediata del fatto che lo è C^{k}(I) per ogni k.

Lemma 2. Se f : I → J è una funzione di classe C^{k} ed u ∈ C^{k}(J), allora u ∘ f ∈ C^{k}(I).

Dimostrazione. Anche in questo caso si procede per induzione su k. Per k = 0 il risultato è noto: la composizione di funzioni continue è continua. Sia k > 0 e supponiamo che la composizione di funzioni di classe C^{k−1} sia ancora della stessa classe (ipotesi induttiva.) Se f ∈ C^{k}(I) ed u ∈ C^{k}(J), allora f ed u sono derivabili poiché k > 0. Inoltre se f(I) ⊂ J la funzione composta u ∘ f : I → ℝ è ben definita, è derivabile e D(u ∘ f)(x) = u′(f(x)) · f′(x), dunque D(u ∘ f) = (u′ ∘ f) · f′. Ma u′ ∈ C^{k−1}(J), e f ∈ C^{k}(I) ⊂ C^{k−1}(I). Pertanto per l’ipotesi induttiva u′ ∘ f ∈ C^{k−1}(I). D’altronde f′ ∈ C^{k−1}(I), e per il lemma predecente il prodotto (u′ ∘ f) · f′ è di classe C^{k−1}. Dunque D(u ∘ f) ∈ C^{k−1}(I), ossia u ∘ f ∈ C^{k}(I).

Esercizio 1. Dimostrare che

D^{m} \frac{1}{x} = (−1)^{m} \frac{m!}{x^{m+1}} .  (1)

(Suggerimento: procedere per induzione su m.)

Esercizio 2. Se I è un intervallo aperto ed f ∈ C^{k}(I) non si annulla mai su I, allora la funzione g = 1/f è ancora di classe C^{k} su I.

Esercizio 3. Sia f ∈ C^{k}(I) ed x_{0} ∈ I. Per x ∈ I poniamo

F (x) = ∫_{x_{0}}^{x} f(ξ)dξ.

(F è la funzione integrale di f.) Allora F ∈ C^{k+1}(I).

Esercizio 4. Dimostrare che C^{∞} ⊊ C^{k} ⊊ C^{k−1} ⊊ ⋯ ⊊ C^{1} ⊊ C^{0}. (Suggerimento: per C^{0} ⊊ C^{1} si può sfruttare p.e. la funzione x ↦ |x|. Il caso generale si può ricondurre a questo grazie all’esercizio precedente.)

Definizione 3. Siano I e J intervalli aperti della retta reale e k > 0. Un diffeomorfismo di classe C^{k} fra I e J è una funzione h : I → J tale che (1) h ∈ C^{k}(I), (2) h è invertibile (cioè biunivoca) e (3) h^{−1} ∈ C^{k}(J).

È importante osservare che la terza condizione non segue dalle prime due. P.e. la funzione h(x) = x^{3} è di classe C^{∞} su tutto ℝ ed è biunivoca da ℝ in ℝ. La sua inversa h^{−1}(y) = \sqrt[3]{y} è continua, dunque h è un omeomorfismo di ℝ in sé. Tuttavia h^{−1} non è derivabile per y = 0, dunque h^{−1} non è di classe C^{1}. Pertanto h non è un diffeomorfismo C^{1} anche se h è C^{∞}.

Sia h : I → J è un diffeomorfismo. Applicando la regola di derivazione della funzione composta alla composizione h^{−1} ∘ h e sfruttando il fatto che h^{−1}(h(x)) = x, otteniamo

(Dh^{−1})(h(x)) · h′(x) = Dx = 1.

Pertanto h′(x) ≠ 0 per ogni x ∈ I. Dunque la derivata di un diffeomorfismo non si annulla mai. (Nell’esempio predecente la derivata di x^{3} si annulla in 0. Questo è un altro modo per verificare che h non è un diffeomorfismo.) La proposizione seguente dice che questa proprietà caratterizza i diffeomorfismi fra gli intervalli di ℝ.

Proposizione 4. Sia I ⊂ ℝ intervallo aperto, k ≥ 1 ed h : I → ℝ una funzione di classe C^{k}. Supponiamo che h′(x) ≠ 0 per ogni x ∈ I. Allora J = h(I) è un intervallo aperto ed h : I → J è un diffeomorfismo C^{k}.

Dimostrazione. Poiché la funzione h′ è continua sull’intervallo I e non si annulla mai, essa è o sempre positiva o sempre negativa. Nella dimostrazione supponiamo che sia sempre positiva. Dunque h è strettamente crescente e in particolare iniettiva. Pertanto h : I → J è biunivoca. Inoltre poiché la funzione h è continua, ed I è un intervallo, l’immagine J = h(I) è ancora un intervallo. Dimostriamo che J è aperto. Sia y_{0} ∈ J ed x_{0} ∈ I tale che y_{0} = h(x_{0}). Poiché I è aperto, esiste ε > 0 tale che [x_{o} − ε, x_{0} + ε] ⊂ I. Poiché h è strettamente crescente h(x_{0} − ε) < y_{0} < h(x_{0} + ε). Dunque l’intervallo (h(x_{0} −ε), h(x_{0} +ε)) è un intorno di y_{0} interamente contenuto in J. Pertanto J è aperto. Vediamo ora che h^{−1} è C^{k}. È noto che la funzione inversa è continua e derivabile e che la sua derivata è data da

Dh^{−1}(y) = \frac{1}{h′(h^{−1}(y))}.  (2)

Poiché h ∈ C^{1}, h′ è continua, dunque anche Dh^{−1} è continua, cioè h^{−1} è C^{1}. Sia ora 1 < m < k. Supponiamo di avere dimostrato che h^{−1} è C^{m} su J. Dunque h′ ∘ h^{−1} ∈ C^{m}(J) per il Lemma 2. Dalla formula (2) e dall’Es. 2 segue che Dh^{−1} è pure C^{m}. Quindi h^{−1} ∈ C^{m+1}. Pertanto per il principio di induzione h^{−1} ∈ C^{k}(J).

Lemma 5. Siano f ∈ C^{1}(a, b) e g ∈ C^{1}(b, c). Supponiamo che esistano numeri y_{0}, y_{1} ∈ ℝ tali che

lim_{x→b^{−}} f(x) = lim_{x→b^{+}} g(x) = y_{0}  (3)
lim_{x→b^{−}} f′(x) = lim_{x→b^{+}} g′(x) = y_{1}.  (4)

(In altre parole stiamo supponendo che i limiti in questione esistano, che siano finiti e che valgano le eguaglianze indicate.) Allora la funzione

F (x) = \begin{cases}f(x) & x ∈ (a, b) \\ y_{0} & x = b \\ g(x) & x ∈ (b, c) \end{cases}  (5)

è di classe C^{1} su (a, b) e la sua derivata è data da

F′(x) = \begin{cases}f′(x) & x ∈ (a, b) \\ y_{1} & x = b \\ g′(x) & x ∈ (b, c) \end{cases}  (6)

Dimostrazione. La formula (3) dice che la funzione F è continua su (a, b). Sappiamo inoltre che F è C^{1} su (a, b) e su (b, c) e che la derivata F′ è ivi data dalla formula (6). Resta da provare che F è derivabile anche in b e che la derivata F′(b) = y_{1}. Seguirà immediatamente dalla (4) che F′ è continua su tutto (a, c), cioè che F ∈ C^{1}(a, c). Proviamo innanzitutto che

lim_{x→b^{−}} \frac{F (x) − F (b)}{x − b} = y_{1}.  (7)

Per la definizione di F

lim_{x→b^{−}} \frac{F (x) − F (b)}{x − b} = lim_{x→b^{−}} \frac{f(x) − f(b)}{x − b}.

Se a < x < b, per il Teorema di Lagrange (o Teorema del Valor medio) esiste un punto ξ ∈ (x, b) tale che f(x) − f(b) = f′(ξ)(x − b). Se x → b^{−}, anche ξ → b^{−}, dunque

lim_{x→b^{−}} \frac{f(x) − f(b)}{x − b} = lim_{ξ→b^{−}} f′(ξ) = y_{1}.

È così dimostrata la (7). Analogamente si verifica che

lim_{x→b^{+}} \frac{F (x) − F (b)}{x − b} = y_{1}.

Dunque

lim_{x→b} \frac{F (x) − F (b)}{x − b} = y_{1}.

Pertanto F è derivabile in b e F′(b) = y_{1}.

Proposizione 6. Sia k ∈ ℕ. Siano f ∈ C^{k}(a, b) e g ∈ C^{k}(b, c). Supponiamo che esistano numeri y_{0}, y_{1}, …, y_{k} ∈ ℝ tali che per i = 0, 1, …, k si abbia

lim_{x→b^{−}} D^{i}f(x) = lim_{x→b^{+}} D^{i}g(x) = y_{i}.  (8)

Allora la funzione definita dalla formula (5) è di classe C^{k} su (a, b).

Dimostrazione. Il risultato è noto per k = 0. Procediamo per induzione su k ≥ 1. Se k = 1 il risultato è stato dimostrato nel lemma precedente. Sia k > 1 e supponiamo (ipotesi induttiva) che il risultato sia vero per incollamenti di funzioni C^{k−1}. Siano f e g due funzioni che soddisfano le ipotesi della proposizione. Poiché k > 1, esse soddisfano anche le ipotesi del lemma precedente. Pertanto F ∈ C^{1}(a, b). Per l’ipotesi induttiva applicata alle funzioni f′ e g′, la funzione

φ(x) = \begin{cases}f′(x) & x ∈ (a, b) \\ y_{1} & x = b \\ g′(x) & x ∈ (b, c) \end{cases}

è C^{k−1} su (a, c). Ma per la (6) φ = F′. Dunque F′ ∈ C^{k−1}(a, c), ossia F ∈ C^{k}(a,).

Corollario 7. Siano f ∈ C^{∞}(a, b) e g ∈ C^{∞}(b, c). Supponiamo che per ogni i ∈ ℕ esista un numero y_{i} ∈ ℝ tale che

lim_{x→b^{−}} D^{i}f(x) = lim_{x→b^{+}} D^{i}g(x) = y_{i}.  (9)

Allora la funzione definita dalla formula (5) è di classe C^{∞} su (a, b).

Dimostrazione. Basta applicare la proposizione precedente per ogni k ∈ ℕ.

Teorema 8. Sia φ : ℝ → ℝ la funzione definita dalla formula

F (x) = \begin{cases}0 & x ≤ 0 \\ e^{−^{1}/x^{2}} & x > 0. \end{cases}

Allora φ ∈ C^{∞}(ℝ).

Dimostrazione. Sia f ∈ C^{∞}((−∞, 0) la funzione identicamente nulla e g ∈ C^{∞}((0, ∞) la funzione g(x) = e^{−^{1}/x^{2}}. Dimostreremo che F è C^{∞} applicando il corollario precedente alle funzioni f e g. È necessario calcolare dimostrare che i limiti delle derivate m-esime di f e di g per x → 0 esistono, sono finiti e coincidono. Poiché le derivate di f sono identicamente nulle, è sufficiente dimostrare che per ogni m ∈ ℕ

lim_{x→0^{+}} D^{m}g(x) = 0.

Cominciamo dimostrando che per ogni m ∈ ℕ esiste un polinomio p_{m}(t) ∈ ℝ[t] tale che

D^{m}g(x) = p_{m}(\frac{1}{x})e^{−^{1}/x^{2}}.  (10)

Procediamo per induzione su m. Se m = 0 la formula (10) è vera se si sceglie il polinomio (costante) p_{0}(t) = 1. Supponiamo vera la formula (10) per m e calcoliamo

D^{m+1}g(x) = D[p_{m}(\frac{1}{x})e^{−^{1}/x^{2}}] =

= p′_{m}(\frac{1}{x})(−\frac{1}{x^{2}} )e^{−^{1}/x^{2}} + p_{m}(\frac{1}{x})(\frac{2}{x^{3}} )e^{−^{1}/x^{2}}.

Poniamo

p_{m+1}(t) = −p′m(t) · t^{2} + 2 p_{m}(t) · t^{3}.

Allora p_{m+1} è ancora un polinomio e

D^{m+1}g(x) = p_{m+1}(\frac{1}{x})e^{−^{1}/x^{2}}.

È così provata la (10). A questo punto possiamo calcolare

lim_{x→0^{+}} D^{m}g(x) = lim_{y→+∞} \frac{p_{m}(y)}{e^{y^{2}}} = 0.

È così provato che tutte le derivate di f e di g tendono a 0 per x → 0, dunque il corollario precedente assicura che F ∈ C^{∞}(ℝ).

Definizione 9. Se f ∈ C^{0}(ℝ) il supporto di f è l’insieme

supp(f) = \overline{\{x ∈ ℝ : f(x) ≠ 0\}}.

Corollario 10. Esiste una funzione f ∈ C^{∞}(ℝ) tale che f ≡ 0 su (−∞, 0] e f ≡ 1 su [1, ∞).

Dimostrazione. Indichiamo con F una qualunque funzione liscia su tutto l’asse reale e tale che F (x) = 0 per x < 0 ed F (x) > 0 per x > 0. Il teorema precedente assicura l’esistenza di tali funzioni. Poniamo

ψ(x) = F (x)F (1 − x).  (11)

La funzione ψ è liscia su tutto ℝ. Sia

g(x) = ∫_{0}^{x} ψ(ξ)dξ.  (12)

Allora g(x) = 0 per x < 0, mentre per x ≥ 1, g(x) = g(1) > 0. La funzione

f(x) = \frac{g(x)}{g(1)}  (13)

ha le proprietà desiderate.

Esercizio 5. Dimostrare in dettaglio che le funzioni ψ e g hanno le proprietà richieste nella dimostrazione.

Esercizio 6. Siano I e J intervalli aperti di ℝ tali che la chiusura di I sia limitata e sia contenuta in J. Dimostrare che esiste una funzione φ ∈ C^{∞}(ℝ) tale che φ ≡ 1 su Ī e φ ≡ 0 fuori di J (cioè su ℝ − J).

Definizione 11. Sia k ∈ ℕ∪{∞} e siano a < b due numero reali. Diciamo che una funzione f : [a, b] → ℝ è di classe C^{k} sull’intervallo chiuso [a, b] se esiste una funzione f̃ definita su un intervallo aperto J, tale che [a, b] ⊂ J, f̃ ∈ C^{k}(J) e f̃_{|[a,b]} = f.

Esercizio 7. Sia k ∈ ℕ e sia f : [a, b] → ℝ una funzione continua. Supponiamo che per ogni i da 0 a k esistano e siano finiti i limiti

lim_{x→a^{+}} D^{i}f(x)  lim_{x→b^{−}} D^{i}f(x).

Dimostrare che allora esiste una funzione f̃ ∈ C^{k}(ℝ) tale che f = f̃_{|[a,b]}. In particolare f ∈ C^{k}([a, b]). (Suggerimento: incollare oppurtuni polinomi alla sinistra ed alla destra di f.)

Il risultato analogo per k = ∞ è decisamente più complicato e va sotto il nome di Lemma di Seeley.