Esame di Istituzioni di Geometria - I modulo - 28/1/2010

Esercizio 1. Sia F : ℝ^{5} → ℝ^{3} l’applicazione

F (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}) = (\begin{matrix}x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 1 \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix})

1. Determinare i punti critici di g := F_{|S^{4}}.

Risposta: Crit(g) = {x_{1} = x_{2} = 0, x_{3}^{2} + x_{4}^{2} + x_{5}^{2} = 1} ∪ {x_{5} = 0, x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} = 1}.

2. Sia

A := {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}) ∈ S^{4} : x_{1} · x_{5} > 0}.

L’insieme g(A) ⊂ ℝ^{3} è aperto? (Motivare adeguatamente la risposta.)

Svolgimento: A ∩ Crit(g) = ⊘. Dunque g_{|A} : A → ℝ^{3} è una sommersione. Segue dal teorema del rango nel caso suriettivo che ogni sommersione è una applicazione aperta. Pertanto g_{|A} è una applicazione aperta, dunque g(A) è aperto.

Esercizio 2. Sia f : S^{2} → ℙ^{3}(ℝ) una applicazione \underline{liscia}. f è necessariamente omotopa ad una applicazione costante? (Motivare adeguatamente la risposta.) Svolgimento: Ogni applicazione f : S^{2} → ℙ^{3}(ℝ) è omotopa ad una applicazione costante. Infatti sia π : S^{3} → ℙ(S^{3}) l’applicazione che associa ad x ∈ S^{3} la retta ℝx. Sappiamo che questa applicazione è il rivestimento universale di ℙ^{3}(ℝ) e sappiamo anche che è un rivestimento liscio. Sappiamo inoltre che S^{2} è semplicemente connessa. Per il teorema generale di sollevamento esiste dunque una applicazione f̃: S^{2} → S^{3} tale che π ∘ f̃ = f ed f̃ è C^{∞} perché π è un rivestimento liscio. Per il teorema di Sard (applicato ad f̃) esiste almeno un valore regolare q ∈ S^{3} di f̃. D’altro canto, semplicemente per ragioni di dimensione, si ha Crit(f̃) = S^{2}. Quindi q ∉ f̃(S^{2}), cioè f̃(S^{2}) ⊂ S^{3} − {q}. Sia g : S^{2} → S^{3} − {q} l’applicazione f̃ vista come applicazione a valori in S^{3} − {q}. Sia invece i : S^{3} − {q} ↪ S^{3} l’inclusione. Per costruzione si ha f̃ = i ∘ g. Ma S^{3} − {q} ≅ ℝ^{3} è contraibile, dunque g è omotopa ad una costante. Lo stesso segue immediatamente per f̃ e per f.

Esercizio 3. Consideriamo gli insiemi

A := {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x = z = 0}
B := {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x = y = 0, z ≥ 0}
C := {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : z = 0, y = 1, x ≥ 0}
X := ℝ^{3} \ (A ∪ B)
Y := ℝ^{3} \ (A ∪ B ∪ C)

1. Calcolare il gruppo fondamentale di X.

2. Calcolare il gruppo fondamentale di Y.