Calendario delle lezioni di istituzioni di Geometria - I modulo

27 gennaio 2010

1/10: LEZIONE

1. Connessione, connessione per archi, locale connessione e locale connessione per archi. Se uno spazio è connesso per archi è anche connesso.

2. Componenti connesse per archi. Funtore π_{0},

3. Omotopia. L’omotopia è una relazione di equivalenza.

4. Due mappe nello stesso convesso sono sempre omotope relativamente al sottoinsieme in cui coincidono.

2/10: LEZIONE 1. Omotopia relativa.

2. Omotopia e composizione

3. Equiv omotopiche e tipo di omotopia

4. f ≃ g implica ugualeπ_{0}(f) = π_{0}(g).

5. Spazi omotopicamente equivalenti hanno π_{0} uguale

6. Spazi contraibili. I convessi sono contraibili

7. Retrazioni. Deformazioni I convessi si retraggono su un qualunque punto.

8. ℝ^{n+1} − {0} si retrae sulla sfera S^{n}.

8/10: LEZIONE 1. Se X convesso Ω(X, a, b)/ ∼ è un punto.

2. [3, 11.1]: definizione di gruppo fondamentale e dimostrazione del fatto che è un gruppo.

9/10: prima ora: LEZIONE 1. Spazi puntati, mappe di spazi puntati. Morfismo indotto.

2. π_{1} è un funtore, ossia proprietà funtoriali di π_{1}.

3. [3, Cor. 11.7 (2)].

4. Dipendenza dal punto base: morfismo γ_{♯}.

5. Spazi semplicemente connessi

6. π_{1} di un prodotto X × Y.

9/10: seconda ora: ESERCITAZIONE 1. Il pettine polacco non si retrae dovunque

2. Segmento unito al grafico di sen(1/x).

15/10: Prima ora: ESERCITAZIONE 1. [0, 1] non è omeo a [0, 1]^{n} per n > 1.

2. Bouquet di spazi topologici.

3. ℝ^{n} meno 2 punti si retrae sul bouquet di 2 sfere.

4. ℝ^{2} meno 3 punti si retrae sia sul bouquet di 3 cerchi che su 3 cerchi che formano una treccina. Quindi questi spazi hanno lo stesso tipo di omotopia, ma non sono omeomorfi.

5. Retrazione del quadrato sulla U.

6. Localmente connesso per archi e connesso implica connesso per archi.

15/10: Seconda ora: LEZIONE 1. Se f è un omeomorfismo, allora f_{∗} è isom.

2. [3, 11.3].

16/10: LEZIONE 1. Identificazioni. Una applicazione suriettiva continua e aperta è una identificazione.

2. Omeomorfismi locali. Un omeomorfismo locale è aperto e ha fibre discrete.

3. Definizione di rivestimento. Base, spazio totale, fibre, aperti banalizzanti, rivestimenti banali, rivestimenti connessi, morfismo e isomorfismo di rivestimenti.

4. I rivestimenti sono omeo locali e identificazioni aperte.

5. Se p : E → X è un rivestimento e V ⊂ X è banalizzante, allora p_{|p^{−1}(V)} è isomorfo al rivestimento banale V × F con F = p^{−1}(x_{0}) = π_{0}(p^{−1}(V)). Qui x_{0} ∈ V.

22/10: LEZIONE 1. Sia p(t) = e^{2πit}. Allora p : ℝ → S^{2} è un rivestimento connesso.

2. p_{n} : S^{1} → S^{1} con p_{n}(z) = z^{n} è un rivestimento.

3. Le fibre di un rivestimento hanno tutte la stessa cardinalità detta grado.

4. Sollevamento. Unicità del sollevamento

[figure: E; Z; X; p; f̃; f]

per Z connesso.

5. Lemma di Lebesgue e corollari per intervallo e quadrato.

23/10: LEZIONE 1. Teorema del sollevamento dei cammini.

2. [3, Lemma 12.27].

3. Teorema di sollevamento per omotopie.

4. Se α ≃ β allora α_{e} ≃ β_{e}.

5. π_{1}(S^{1}, 1) ≅ ℤ. 29/10: LEZIONE

1. Teorema del punto fisso di Brouwer (per D^{2}).

2. Se p : E → X è un rivestimento con E connesso ed X semplicemente connesso, allora p è un omeomorfismo.

3. Azioni propriamente discontinue e libere: [3], 12.3.

4. [3] 5.13.

5. Se X è di Hausdorff e G ↷ X ed R = {(x, gx) : x ∈ X, g ∈ G} è chiuso in X × X, allora X/G è di Hausdorff.

6. Se G è finito e X è di Hausdorff allora X/G è di Hausdorff.

7. Spazi proiettivi reali: [3] 5.4. 30/10: prima ora: LEZIONE

1. Teorema 12.16 di [3], p. 202.

2. Rivestimenti regolari.

3. Se p : E → X è regolare e α ∈ Ω(X, x, x′) per e ∈ p^{−1}(x) e g ∈ G vale α_{ge} = g · α_{e}.

4. Se E è semplicemente connesso e localmente connesso per archi, G ↷ E in modo propriamente discontinuo e X = E/G è connesso, allora π_{1}(X) è isomorfo a G. Dimostrazione come nel caso di π_{1}(S^{1}) (non c’è sul libro di Manetti).

30/10: seconda ora: ESERCITAZIONE

1. (X, d) spazio metrico. G ↷ X per isometrie. Supponiamo che esista ε > 0 tale che per ogni x ∈ X e per ogni g ≠ 1 si abbia d(gx, x) ≥ ε. Allora l’azione è propriamente discontinua e X/G è di Hausdorff (non c’è sul libro di Manetti).

2. Esempi: tori, proiettivi reali, spazi lenticolari.

3. S^{1} × ⋯ × S^{1} è omeomorfo a ℝ^{n}/ℤ^{n}.

4. T^{2} è omeomorfo allo spazio di identificazione del quadrato.

5/11: LEZIONE 1. Parole ridotte. Gruppo libero su un insieme F_{S}.

2. Proprietà universale.

3. Prodotto libero di gruppi G_{1} ∗ G_{2}. Proprietà universale. Per approfondire si può consultare [2], p. 64 sgg. 6/11: LEZIONE

1. Seifert-van Kampen: enunciato generale. Dimostrazione della suriettività del morfismo. Dimostrazione del fatto che N ⊂ ker Φ. La parte dimostrazione della suriettività si trova in [3], p. 191 (la dimostrazione del Teorema 11.25.

2. Teorema generale di sollevamento: la dimostrazione si trova in [1, p. 145]. 12/11: ESERCITAZIONE

1. S^{n} è semplicemente connessa.

2. proiezione stereografica in dimensione qualsiasi.

φ : ℝ^{n} → S^{n}  φ(x) = \frac{1}{1 + |x|^{2}} (2x, 1 − |x|^{2})  φ^{−1}(y, z) = \frac{y}{1 − z}

3. π_{1}(ℝ^{2} \ {p_{1}, …, p_{n}} = 𝔽_{n}.

4. π_{1} di ℝ^{3} meno un cerchio. 13/11: ESERCITAZIONE

1. π_{1} di ℝ^{3} meno un cerchio e una retta che passa attraverso il cerchio.

2. Proiettivi complessi: sono di Hausdorff e semplicemente connessi. ℙ(ℂ) è omeomorfo ad S^{2}.

3. Le mappe da uno spazio semplicemente connesso a un toro sono sempre omotope ad

una costante. 19/11: ESERCITAZIONE

1. Esercizi a, b, e, f, g, h (assegnati il 13-11-09).

2. T^{2} come quoziente del quadrato e π_{1}(T^{2}) con Seifert e van Kampen. 20/11: ESERCITAZIONE

1. Le applicazioni f : ℙ^{n}(ℂ) → S^{1} sono tutte omotopicamente banali (ossia omotope aduna costante).

2. Le applicazioni f : ℙ^{n}(ℝ) → S^{1} sono tutte omotopicamente banali (l’unico omomorfismo da un gruppo finito in ℤ è l’omomorfismo banale!).

3. Esempi di applicazioni omotopicamente non banali da T^{n} in S^{1} e da S^{1} ∧ S^{1} in S^{1}.

4. π_{1} di ℝ^{3} privato di più rette tutte passanti per lo stesso punto.

5. π_{1} di ℝ^{3} privato di più semirette uscenti dallo stesso punto.

6. π_{1} si S^{2} con un diametro.

7. Unicità del rivestimento universale.

8. Il rivestimento universale di X esiste se X è connesso e localmente semplicemente connesso, cioè se ogni punto di X ha un sistema fondamentale di intorni semplicemente connessi (solo enunciato).

9. π_{1} di ℙ^{2}(ℝ) con un manico attaccato.

10. ℙ^{2}(ℝ) come quoziente del quadrato.

11. Rivestimento universale della sfera con un manico attaccato. 27/11: LEZIONE

1. Varietà topologiche (con II assioma di numerabilità). Carte, cambiamenti di coordinate. Carte compatibili. Atlanti differenziabili. Atlanti massimali. Varietà differenziabili.

2. Funzioni e applicazioni differenziabili.

3. Germi di funzioni: sono un’algebra.

4. Esempi: sfera con calotte, ℝ con la carta x ↦ x^{3}, proiettivi reali e complessi. 3/12: LEZIONE

1. Vettori tangenti alle curve, derivazioni.

2. Lo spazio tangente T_{p}M è isomorfo allo spazio delle derivazioni 𝒟_{p}. 4/12: LEZIONE: 1 ora sola

1. Differenziale: azione sui germi di curve e sulle derivazioni.

2. Matrice jacobiana. 17/12: LEZIONE 2 ore

1. Teorema del rango iniettivo e suriettivo. 18/12: LEZIONE 8.30-12.30

1. Sottovarieta. Immersioni, sommersioni, embedding. Una immersione iniettiva che è un omeomorfismo sull’immagine è un embedding.

2. Teorema di Wallace [3, p. 75]. Spazi localmente compatti. Ogni punto possiede un sistema fondamentale di intorni compatti [3, p. 95].

3. Applicazioni proprie. Le applicazioni proprie fra spazi di Hausdorff localmente compatti sono chiuse.

7/1/2010: LEZIONE 10.30-11.30 1. Una immersione iniettiva e propria è un embedding.

2. Se X ed Y sono localmente compatti e di Hausdorff, localmente connessi e Y è connesso e f : X → Y è proprio e omeomorfismo locale, allora f è un rivestimento.

3. Nozione di rivestimento liscio.

4. Corollario: se f : M → N è una applicazione liscia propria fra due varietà della

medesima dimensione e Crit(f) = ⊘, allora f è un rivestimento liscio. 7/1/2010: ESERCITAZIONE 11.30-12.30

1. Esercizi: f ∈ C^{∞}(T^{n}, S^{n}) ha sempre punti critici.

2. Se K è un compatto di ℝ^{n} e ∂K è finito allora K è finito.

3. Se M è una varietà di dimensione positiva e compatta, ogni f ∈ C^{∞}(M, ℝ^{n}) ha infiniti punti critici.

4. f ∈ C^{∞}(ℙ^{n}(ℝ), S^{n}) ha sempre punti critici (usando i rivestimenti) e in realtà sono infiniti (usando il precedente esercizio).

5. Se m < n allora ogni f ∈ C^{∞}(M^{m}, S^{n}) è omotopa ad una applicazione costante.

6. Lemma sui punti critici vincolati. 8/1/2010: LEZIONE 8.30-9.30

1. Azioni lisce.

2. Se ho un’azione liscia e propriamente discontinua e il quoziente è Hausdorff e connesso, allora sul quoziente c’è un’unicao struttura differenziabile tale che la proiezione canonica sia un rivestimento liscio.

3. Le sommersioni suriettive sono identificazioni aperte e hanno la proprietà universale

per le mappe C^{∞}. 8/1: ESERCITAZIONE 9.30-10.30

1. Due esercizi sui punti critici per sottovarietà di ℝ^{n}. 14/1: ESERCITAZIONE 10.30-12.30

1. Esercizi sui punti critici.

2. Embedding di ℙ^{2}(ℝ) in ℝ^{6}.

3. Il gruppo O(n) come varietà.

4. Definizione di gruppo di Lie.

5. Due lemmi (contenuti nel file lemmi.pdf).

6. Il differenziale della funzione det : M_{n}(ℝ) → ℝ.

7. SL(n, ℝ) è un gruppo di Lie.

15/1: ESERCITAZIONE 8.30-10.30 1. Altri esercizi sui punti critici.

2. Esercizi sulle applicazione fra spazi proiettivi.

3. L’applicazione O(n) → S^{n−1} che associa ad A ∈ O(n) il vettore Ae_{1} è una sommersione aperta.

Riferimenti bibliografici

[1] G. E. Bredon. Topology and geometry, volume 139 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1997. Corrected third printing of the 1993 original.

[2] T. W. Hungerford. Algebra, volume 73 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1980. Reprint of the 1974 original.

[3] M. Manetti. Topologia. Springer. xii, 297 p., 2008.