Appunti di Istituzioni di Geometria

Alessandro Ghigi

3 dicembre 2009

Indice

1 Calcolo differenziale in più variabili 1

2 Il teorema delle funzione implicita 6

1 Calcolo differenziale in più variabili

Incominciamo richiamando alcuni concetti fondamentali del calcolo differenziale in ℝ^{n}. Le dimostrazioni dei teoremi veri e propri si trovano nel corso di Analisi, mentre alcune osservazioni più facili sono lasciate per esercizio.

Se V e W sono spazi vettoriali reali di dimensione finita indichiamo con Hom(V, W) l’insieme delle applicazioni lineari da V in W. Hom(V, W) è uno spazio vettoriale reale.

Se V è uno spazio vettoriale reale di dimensione finita indichiamo con V^{∗} lo spazio duale di V, che per definizione è lo spazio dei funzionali lineari su V. In altre parole V^{∗} = Hom(V, ℝ).

Esercizio 1. Sia V uno spazio vettoriale a dimensione finita. Fissata una base v_{1}, …, v_{n} consideriamo l’isomorfismo T : V → ℝ^{n} ad essa associato:

T (x_{1}, …, x_{n}) = ∑_{i=1}^{n} x_{i}v_{i}

Definiamo su V una topologia nel modo seguente: un sottoinsieme A di V è aperto se e soltanto se T^{−1}(A) è aperto in ℝ^{n}. Dimostrare che questa è effettivamente una topologia sull’insieme V e che essa non dipende dalla base scelta. Dunque ogni spazio vettoriale reale di dimensione finita ha una topologia canonica determinata semplicemente dalla struttura lineare, che chiameremo topologia lineare. La topologia lineare è di Hausdorff perché ℝ^{n} è di Hausdorff.

Teorema 1. Se V è uno spazio vettoriale di dimensione finita tutte le norme su V sono equivalenti.

Dimostrazione. Sia v_{1}, …, v_{n} una base di V. Se v = ∑_{i} x_{i}v_{i} poniamo

|v| := \sqrt{∑_{i} |x_{i}|^{2}}.

Allora | | è una norma su V. L’isomorfismo T è una isometria dunque un omeomorfismo fra ℝ^{n} con la distanza euclidea e V. È sufficiente mostrare che ogni altra norma su V è equivalente a | |. Sia dunque ν una norma su V. Se C_{1} = n max_{i} ν(v_{i}) allora

ν(v) = ν(∑_{i} x_{i}v_{i}) ≤ ∑_{i} |x_{i}|ν(v_{i}) ≤ C_{1}|v|.

Prima di domostrare la diseguaglianza opposta dimostriamo che ν è Lipschitziana rispetto alla distanza indotta da | |. Infatti

|ν(x) − ν(y)| ≤ ν(x − y) ≤ C_{1}|x − y|.

Poniamo S = {v ∈ V : |v| = 1}. Ovviamente S = T (S^{n−1}), dunque S è compatta. Poiché 0 ∉ S, ν è strettamente positiva su S. Inoltre ν è continua. Dalla compattezza di S segue che ε = min_{v∈S} ν(v) > 0. Poniamo C_{2} = 1/ε. Allora per ogni v ∈ V si ha

|v| ≤ C_{2}ν(v).

Infatti se v = 0 la diseguaglianza è ovvia. Se invece v ≠ 0, v/|v| ∈ S dunque

ε ≤ ν(\frac{v}{|v|}) = \frac{ν(v)}{|v|}

ε|v| ≤ ν(v).

Corollario 2. Se V è uno spazio vettoriale di dimensione finita ogni norma su V induce la topologia lineare.

Sia A ⊂ ℝ^{n} un aperto ed f : A → ℝ una funzione. f è differenziabile in x ∈ A se esiste un funzionale lineare L ∈ (ℝ^{n})^{∗} tale che

lim_{h→0} \frac{f(x + h) − f(x) − Lh}{|h|} = 0.  (1)

Se f è differenziabile in x il funzionale L è unico, viene chiamato differenziale di f in x e viene indicato con il simbolo df(x).

Se f è differenziabile in x, allora essa è continua in x, ammette tutte le derivate direzionali in x ed esse si calcolano in termini del differenziale. Infatti se v ∈ ℝ^{n}

\frac{∂f}{∂v} (x) := \frac{d}{dt}|_{t=0}f(x + tv) = df(x)v.

Lo spazio ℝ^{n} consiste delle n-uple di numeri reali. Tali n-uple verranno considerate come vettori colonna tutte le volte che si deve calcolare un prodotto di matrici. Tuttavia spesso li scriveremo come vettori riga, per semplicità di notazione. Indichiamo con e_{1}, …, e_{n}, la base standard di ℝ^{n}:

e_{i} = (0, …, 1, …, 0)_{i-esimo posto}.

Indichiamo con {e_{1}^{∗}, …, e_{n}^{∗}} la base duale di (ℝ^{n})^{∗}. Ciò significa che e_{i}^{∗} è il funzionale lineare su ℝ^{n} tale che e_{i}^{∗}(e_{j}) = δ_{ij}. Ogni funzionale lineare L ∈ (ℝ^{n})^{∗} si rappresenta come combinazione lineare

L = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}e_{i}^{∗}

dove i coefficienti sono λ_{i} = L(e_{i}). In particolare i coefficienti di df(x) nella base e_{i}^{∗} sono le derivate parziali di f in x:

df(x) = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂f}{∂x_{i}} (x)e_{i}^{∗}.

Dunque nell’isomorfismo (ℝ^{n})^{∗} ≡ ℝ^{n} indotto dalla base e_{i}^{∗}, il funzionale df(x) è rappresentato dalla n-upla

(\frac{∂f}{∂x_{1}} , …, \frac{∂f}{∂x_{n}} ).

Questo vettore di ℝ^{n} viene chiamato gradiente di f in x.

Definizione 3. Diciamo che una funzione f : A → ℝ è di classe C^{1} su A – in simboli f ∈ C^{1}(A) – se essa ammette derivate parziali \frac{∂f}{∂x_{i}} su tutto l’aperto A ed esse sono continue su A.

Teorema 4. Se f ∈ C^{1}(A) allora f differenziabile (e quindi continua) in ogni punto di A e l’applicazione df : A → (ℝ^{n})^{∗} è continua.

Estendiamo queste definizioni al caso di funzioni a valori vettoriali.

Definizione 5. Una funzione f : A ⊂ ℝ^{n} → ℝ^{m} è differenziabile nel punto x ∈ A se esiste un operatore lineare L : ℝ^{n} → ℝ^{m} tale che

lim_{h→0} \frac{f(x + h) − f(x) − Lh}{|h|} = 0.  (2)

Se f : A → ℝ^{m} è una funzione vettoriale allora possiamo scrivere

f(x) = (f_{1}(x), …, f_{m}(x))

dove f_{j} : A → ℝ sono opportune funzioni scalari che chiamiamo componenti di f.

Se f è una funzione vettoriale da un aperto A ⊂ ℝ^{n} in ℝ^{m}, possiamo definire le derivate direzionali di f con la solita formula:

\frac{∂f}{∂v} (x) := \frac{d}{dt}|_{t=0}f(x + tv).

Le componenti del vettore \frac{∂f}{∂v} (x) ∈ ℝ^{m} sono le derivate direzionali delle componenti di f:

\frac{∂f}{∂v} (x) = (\frac{∂f_{1}}{∂v} (x), ⋯, \frac{∂f_{m}}{∂v} (x)).

Anche in questo caso se f è differenziabile in x, allora f è continua in x e le derivate direzionali esistono in x e si calcolano mediante il differenziale:

\frac{∂f}{∂v} (x) = df(x)v.

Infine se f è differenziabile in x, la matrice del differenziale df(x) : ℝ^{n} → ℝ^{m} nelle basi standard di ℝ^{n} ed ℝ^{m} è

J_{f}(x) = (\begin{matrix}\frac{∂f_{1}}{∂x_{1}} & ⋯ & \frac{∂f_{1}}{∂x_{n}} \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ \frac{∂f_{m}}{∂x_{1}} & ⋯ & \frac{∂f_{m}}{∂x_{n}} \end{matrix} ) .

Questa matrice si chiama la jacobiana di f in x.

Definizione 6. Una funzione f : A ⊂ ℝ^{n} → ℝ^{m} è di classe C^{1} su A – in simboli f ∈ C^{1}(A, ℝ^{m}) – se le componenti di f sono tutte di classe C^{1} su A. In altre parole f è di classe C^{1} su A se esistono e sono continue su A tutte le derivate parziali

\frac{∂f_{j}}{∂x_{i}}  \begin{matrix}j = 1, …, m, \\ i = 1, …, n. \end{matrix}

Esercizio 2. Dimostrare che f : A → ℝ^{m} è di classe C^{1} se e soltanto se f è differenziabile in ogni punto di A e l’applicazione df : A → Hom(ℝ^{n}, ℝ^{m}) è continua. Su Hom(ℝ^{n}, ℝ^{m}) si considera la topologia definita nell’ esercizio precedente.

Definizione 7. Sia A ⊂ ℝ^{n} un aperto e k numero naturale k ≥ 2. Diciamo che f è di classe C^{k} su A – e scriviamo f ∈ C^{k}(A, ℝ^{m})– se l’applicazione df : A → Hom(ℝ^{n}, ℝ^{m}) è di classe C^{k−1}.

Esercizio 3. Dimostrare che f ∈ C^{k}(A, ℝ^{m} se e solo se le derivate parziali \frac{∂f_{j}}{∂x_{i}} sono di classe C^{k−1} se e solo se tutte le derivate parziali

\frac{∂^{s}f_{j}}{∂x_{i_{1}} ⋯ ∂x_{i_{s}}}  \begin{matrix}1 ≤ s ≤ k \\ 1 ≤ j ≤ m \\ 1 ≤ i_{1}, …, i_{s} ≤ n \end{matrix}

esistono e sono continue su A.

Definizione 8. Una funzione f : A → ℝ^{m} è di classe C^{∞} se è di classe C^{k} per ogni k = 1, 2, . . .. In altre parole:

C^{∞}(A, ℝ^{m}) = ⋂_{k=1}^{∞} C^{k}(A, ℝ^{m}).

”Funzione liscia” è sinonimo di ”funzione di classe C^{∞}”.

Esercizio 4. Sia k un numero naturale, oppure k = ∞. Dimostrare che C^{k}(A) è una sottoalgebra di ℝ^{A}. In altre parole se f, g ∈ C^{k}(A) e λ, μ ∈ ℝ, allora λf + μg, fg ∈ C^{k}(A).

Teorema 9 (di derivazione della funzione composta). Siano U ⊂ ℝ^{n} e V ⊂ ℝ^{m} due aperti ed f : U → V, g : V → ℝ^{p} due funzioni di classe C^{k}. Allora la composizione g ∘ f : U → ℝ^{p} è ancora di classe C^{k} e per x ∈ U si ha

d(g ∘ f)(x) = dg(f(x)) ∘ dg(x).  (3)

Definizione 10. Siano U e V due aperti di ℝ^{n}. Un diffeomorfismo di U su V è un’applicazione f : U → V che è liscia e invertibile con inversa liscia.

Esercizio 5. Se f : U → V è un diffeomorfismo, allora il differenziale df(x) : ℝ^{n} → ℝ^{n} è un isomorfismo per ogni x ∈ U.

Definizione 11. Un insieme E ⊂ ℝ^{n} è detto convesso se per ogni coppia di punti di E il segmento fra di essi è interamente contenuto in E. In altre parole E è convesso se per ogni x, y ∈ E e per ogni t ∈ [0, 1], si ha (1 − t)x + ty ∈ E.

Teorema 12 (del valor medio). Sia A ⊂ ℝ^{n} un aperto convesso ed f ∈ C^{1}(A, ℝ). Se x_{0}, x_{1} ∈ A esiste t ∈ (0, 1) tale che

f(x_{1}) − f(x_{0}) = df((1 − t)x_{0} + tx_{1})(x_{1} − x_{0}).  (4)

Dimostrazione. Sia u(t) = f((1 − t)x_{0} + tx_{1}). Si applichi il Teorema di Lagrange, ossia il Teorema valor medio in una variabile, alla funzione u.

2 Il teorema delle funzione implicita

Veniamo ora al fondamentale Teorema della Funzione Implicita. Identifichiamo ℝ^{n+m} con ℝ^{n} × ℝ^{m} e indichiamo i punti di ℝ^{n+m} come coppie (x, y) dove x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} e y = (y_{1}, …, y_{m}) ∈ ℝ^{m}. Se Ω ⊂ ℝ^{n+m} è un aperto ed F ∈ C^{1}(Ω, ℝ^{q}) il differenziale di F in p = (x_{0}, y_{0}) ∈ Ω è una applicazione

dF (p) : ℝ^{n} × ℝ^{m} → ℝ^{q}.

Indichiamo con dF_{x}(p) la restrizione del differenziale al sottospazio ℝ^{n} ×{0} e con dF_{y}(p) la restrizione al sottospazio {0} × ℝ^{k}. Poniamo anche

\frac{∂F}{∂x} = (\begin{matrix}\frac{∂F_{1}}{∂x_{1}} & ⋯ & \frac{∂F_{1}}{∂x_{n}} \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ \frac{∂F_{q}}{∂x_{1}} & ⋯ & \frac{∂F_{q}}{∂x_{n}} \end{matrix} ) \frac{∂F}{∂y} = (\begin{matrix}\frac{∂F_{1}}{∂y_{1}} & ⋯ & \frac{∂F_{1}}{∂y_{m}} \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ \frac{∂F_{q}}{∂y_{1}} & ⋯ & \frac{∂F_{q}}{∂y_{m}} \end{matrix} )

\frac{∂F}{∂x} è una matrice q ×n, mentre \frac{∂F}{∂y} è una matrice q ×m. Esse sono le matrici che rappresentano gli operatori dF_{x} e dF_{y} rispetto alle basi canoniche di ℝ^{n}, ℝ^{m} ed ℝ^{q}.

Teorema 13 (della Funzione Implicita o del Dini). Sia k ∈ ℕ ∪ {∞}. Sia Ω ⊂ ℝ^{n+m} un aperto ed F : Ω → ℝ^{m} una funzione di classe C^{k}. Sia p = (x_{0}, y_{0}) ∈ Ω un punto tale che F (p) = 0 e tale che

det \frac{∂F}{∂y} (p) ≠ 0.  (5)

Allora esistono due insiemi aperti V_{1} ⊂ ℝ^{n} e V_{2} ⊂ ℝ^{m} ed una funzione f : V_{1} → V_{2} di classe C^{k} tali che

F^{−1}(0) ∩ (V_{1} × V_{2}) = Γ_{f}  (6)

dove Γ_{f} = {(x, y) ∈ V_{1} × V_{2} : y = f(x)} è il grafico di f. Inoltre se x ∈ V_{1}, allora

df(x) = −(dF_{y}(x, f(x)))^{−1} ∘ dF_{x}(x, f(x))_{|ℝ^{n}}9g9g.  (7)

Dimostrazione. Supponiamo inizialmente che k = 1 e procediamo per induzione su m. Cominciamo pertanto da caso m = 1. Sia p = (x_{0}, y_{0}) con x_{0} ∈ ℝ^{n} ed y_{0} ∈ ℝ. La derivata ∂F/∂y è diversa da 0 in p. Supponiamo che sia positiva. (La dimostrazioni è identica se essa è negativa.) Scelto ε sufficientemente piccolo si avrà

\frac{∂F}{∂y} (q) > 0

per ogni q ∈ \overline{B(x_{o}, ε)} × [y_{0} − ε, y_{0} + ε]. Dunque per x ∈ B(x_{0}, ε) la funzione y ↦ F (x, y) è strettamente crescente su [y_{0} − ε, y_{0} + ε]. In particolare F (x_{0}, y_{0}−ε) < F (x_{0}, y_{0}) = 0 < F (x_{0}, y_{)}+ε). Per la continuità di F (x, y_{0}±ε) nella variabile x esiste δ ∈ (0, ε] tale che

F (x, y_{0} − ε) < 0 < F (x, y_{0} + ε) ∀x ∈ B(x_{0}, δ).

Poniamo V_{1} = B(x_{0}, δ) e V_{2} = (y_{0} − ε, y_{0} + ε). Se x ∈ V_{1} la funzione F (x, ·) : [y_{0} − ε, y_{0} + ε] è strettamente crescente, è negativa in y_{0} − ε ed è positiva in y_{0} + ε. Pertanto si annulla in un unico punto dell’intervallo (y_{0} − ε, y_{0} + ε) che indicheremo con f(x). Per costruzione f è una funzione da V_{1} a V_{2} ed è soddisfatta la (6). Resta da provare che f ∈ C^{1} e che vale la formula (7) per il differenziale di f. Cominciamo verificando che f è continua. Osserviamo che A = V_{1} × V_{2} è un sottoinsieme convesso di Ω. Siano x, y ∈ V_{1}. Allora (x, f(x)) e (y, f(y)) sono punti di A. Applicando il Teorema del valor medio otteniamo che sul segmento congiungente (x, f(x)) e (y, f(y)) esiste un punto q tale che

dF_{x}(q)(y − x) + \frac{∂F}{∂y} (q)(f(y) − f(x)) =

= F (x, f(x)) − F (y, f(y)) = 0.

Dunque

f(y) − f(x) = −\frac{dF_{x}(q)(y − x)}{\frac{∂F}{∂y} (q)}  (8)

Poniamo Q = \overline{B(x_{o}, ε)}×[y_{0} −ε, y_{0} +ε], c_{1} = min_{Q} F_{y}, c_{2} = max_{Q} |dF_{x}|. Qui |dF_{x}| = (∑_{i} F_{x_{i}}^{2})^{^{1}/2}. c_{1} > 0 e c_{2} < +∞ perché Q è compatto. Da (8) segue che

|f(y) − f(x)| ≤ \frac{c_{2}}{c_{1}} |y − x|.

Dunque f è Lipschitziana su V_{1} e in particolare continua. Sostituiamo ora y = x + te_{i} nella (8):

f(x + te_{i}) − f(x) = −\frac{dF_{x}(q)(te_{i})}{F_{y}(q)} = −t\frac{F_{x_{i}}(q)}{F_{y}(q)}.  (9)

Dividiamo per t e facciamo tendere t → 0. Allora y = x + te_{i} → x, dunque q → (x, f(x)) e

lim_{t→0} \frac{f(x + te_{i}) − f(x)}{t} = −\frac{F_{x_{i}}(x, f(x))}{F_{y}(x, f(x))}.  (10)

È così provato che f ammette derivate parziali in ogni punto di V_{1}. Dalla formula (10) segue che queste sono continue. Dunque f ∈ C^{1}(V_{1}) e la formula (7) è soddisfatta. Ciò conclude la dimostrazione nel caso m = 1 (e k = 1). Procediamo per induzione supponendo l’enunciato vero per funzioni a valori in ℝ^{m−1} (ipotesi induttiva). Data una funzione F come nelle ipotesi del teorema segue dalla (5) che la prima colonna della matrice ∂F (p)/∂y non è tutta nulla. Riordinando le coordinate in ℝ^{m−1} possiamo fare in modo che il primo termine sia diverso da zero:

a := \frac{∂F_{1}}{∂y_{1}} (p) ≠ 0.

Per i = 2, …, m sia

λ_{i} = \frac{1}{a} · \frac{∂F_{i}}{∂y_{1}} (p) G_{i} = F_{i} − λ_{i}F_{1}

Poniamo G = (G_{2}, …, G_{m}) : Ω → ℝ^{m−1} e Φ = (F_{1}, G) : Ω → ℝ^{m}. Supponiamo che p = (x_{0}, y_{0}) con x_{0} ∈ ℝ^{n} e y_{0} ∈ ℝ^{m}. Poniamo anche z_{0} = (y_{2}^{0}, …, y_{m}^{0}), dunque p = (x_{0}, y_{1}^{0}, z_{0}). Più in generale, se (x, y) è un punto di Ω scriviamo (x, y) = (x, y_{1}, z) dove z = (y_{2}, …, y_{m}) ∈ ℝ^{m−1}. Possiamo considerare G come una funzione su Ω ⊂ ℝ^{n+1} × ℝ^{m−1} a valori in ℝ^{m−1}. Per costruzione si ha

\begin{matrix}Φ^{−1}(0) = F^{−1}(0) \\ \frac{∂G_{i}}{∂y_{1}} (p) = 0 \end{matrix} \frac{∂Φ}{∂y} = (\begin{matrix}\frac{∂F_{1}}{∂y_{1}} & ∗ … ∗ \\ \begin{matrix}0 \\ … \\ 0 \end{matrix} & \frac{∂G}{∂z}(p) \end{matrix}) .

Poiché la matrice ∂Φ(p)/∂y si ottiene da ∂F (p)/∂y sommando un multiplo della prima riga alla altre, il rango delle due matrici è uguale. Dunque anche ∂Φ(p)/∂y ha rango massimo e il suo determinante è non nullo. D’altro canto

0 ≠ det \frac{∂Φ}{∂y}(p) = \frac{∂F_{1}}{∂y_{1}} (p) · det \frac{∂G}{∂z} ⟹ det \frac{∂G}{∂z} ≠ 0.

Possiamo pertanto applicare l’ipotesi induttiva alla funzione G nel punto p. Otteniamo che esistono intorni U_{1} e U_{2} con w_{0} ∈ U_{1} ⊂ ℝ^{n+1} e z_{0} rispettivamente, ed una funzione φ ∈ C^{1}(U_{1}, U_{2}) tali che U_{1} × U_{2} ⊂ Ω

F^{−1}(0) ∩ (U_{1} × U_{2}) = Φ^{−1}(0) ∩ (U_{1} × U_{2}) = Γ_{φ}.

Inoltre le derivate di φ sono date dalla formula (7). In particolare se A = (a_{ij})_{2≤i,j≤m} indica la matrice inversa di ∂G(p)/∂z otteniamo

\frac{∂φ_{i}}{∂y_{1}} (z_{0}) = − ∑_{k=2}^{m} a_{ik} \frac{∂G_{k}}{∂y_{1}} (p) = 0.

A questo punto siamo riusciti a scrivere le variabili y_{2}, …, y_{m} come funzioni di (x, y_{1}). Ci resta da scrivere la variabie y_{1} come funzione di x. A tal uopo introduciamo la funzione

ψ : U_{1} → ℝ ψ(x, y_{1}) = F_{1}(x, y_{1}, φ(x, y_{1})).

ψ è C^{∞} su U_{1}. Calcoliamo la sua derivata in z_{0} = (x_{0}, y_{1}^{0}):

\frac{∂ψ}{∂y_{1}} (z_{0}) = \frac{∂F_{1}}{∂y_{1}} (p) + ∑_{i=2}^{m} \frac{∂F_{1}}{∂y_{i}} (p)\frac{∂φ_{i}}{∂y_{1}} (z_{0}) = \frac{∂F_{1}}{∂y_{1}} (p) ≠ 0.

Dunque possiamo applicare a ψ il caso m = 1 trattato all’inizio e concludiamo che esistono un intorno V_{1} di x_{0}, un intorno (a, b) di y_{1}^{0} ed una funzione η ∈ C^{1}(V_{1}, (a, b)) tali che V_{1} × (a, b) ⊂ U_{1} e V_{1} × (a, b) ∩ ψ^{−1}(0) = Γ_{η}. Poniamo ora V_{2} = (a, b) × U_{2} e

f(x) = (η(x), φ(x, η(x))).

Dunque V_{1} × V_{2} ⊂ U_{1} × U_{2} ⊂ Ω ed f ∈ C^{1}(V_{1}, V_{2}). Se (x, y) ∈ V_{1} × V_{2}

F (x, y) = 0 ⇔ \begin{cases}F_{1}(x, y) = 0 \\ G(x, y) = 0 \end{cases} ⇔ \begin{cases}F_{1}(x, y) = 0 \\ z = φ(x, y_{1}) \end{cases}

⇔ \begin{cases}ψ(x, y_{1}) = 0 \\ z = φ(x, y_{1}) \end{cases} ⇔ \begin{cases}y_{1} = η(x) \\ z = φ(x, y_{1}) \end{cases} ⇔ y = f(x).

Dunque vale (6). Siccome sappiamo già che f ∈ C^{1}(V_{1}, V_{2}) è sufficiente applicare la formula per la derivata della funzione composta e invertire l’operatore dF_{y} per verificare la formula (7). Per i principio di induzione il risultato vale per m qualunque e k = 1. Se F ∈ C^{k}(Ω, ℝ^{m}) con k > 1, segue facilmente dalla formula (7) che anche f è di clase C^{k}.

Teorema 14 (della Funzione Inversa). Sia A ⊂ ℝ^{n} un aperto e φ : A → ℝ^{n} una funzione di classe C^{∞}. Se dφ(x_{0}) è un isomorfismo, allora esiste un intorno aperto U di x_{0} tale che V = φ(U) sia aperto e φ_{|U} sia un diffeomorfismo di U su V.

Dimostrazione. Poniamo Ω = A × ℝ^{n}. Sia F : Ω → ℝ^{n} la funzione definita da

F (x, y) = y − φ(x).

Allora F ∈ C^{∞}(Ω, ℝ^{n}) e F^{−1}(0) = Γ_{φ}. (Col simbolo Γ_{φ} indichiamo il grafico dell’applicazione φ.) Sia y_{0} = φ(x_{0}) e p = (x_{0}, y_{0}). Allora

dF_{x}(p) = −dφ(x_{0}).

Segue dalle ipotesi che dF_{x}(p) : ℝ^{n} → ℝ^{n} è un isomorfismo. Possiamo

Figura 1: Il teorema della Funzione Inversa

dunque applicare ad F il Teorema della Funzione Implicita con x ed y scambiate, cioè esplicitando x anziché y. Otteniamo dunque intorni U′ di x_{0} e V di y_{0} ed una funzione liscia ψ : V → U′ tale che

\begin{matrix}Γ_{φ} ∩ (U′ × V) = F^{−1}(0) ∩ (U′ × V) = \\ = Γ_{ψ} = \{(x, y) ∈ U′ × V : x = ψ(y)\}. \end{matrix}  (11)

(Si noti che in Γ_{φ} y è funzione di x, mentre in Γ_{ψ} x è funzione di y.) A questo punto siamo nella situazione illustrata nella Figura 1. In U′ × V è già possibile esplicitare x in funzione di y. Tuttavia se x ∈ U′ può capitare che φ(x) giaccia fuori di V. Pertanto dobbiamo restringere U′. Sia U = φ^{−1}(V)∩U′. Poiché V è aperto e φ è continua, anche U è aperto e φ(U) ⊂ V. Proviamo che ψ è l’inversa di φ_{|U} : U → V.

Se y ∈ V, allora (ψ(y), y) ∈ Γ_{ψ} e Γ_{ψ} ⊂ Γ_{φ} per la (11). Dunque (ψ(y), y) giace anche sul grafico di φ per cui φ(ψ(y)) = y. Dunque

φ ∘ ψ = id_{V} .

Inoltre φ(ψ(V)) = V dunque ψ(V) ⊂ φ^{−1}(V) ∩ U′ = U. Pertanto possiamo considerare ψ come una applicazione da V in U.

Se x ∈ U, consideriamo i due punti (x, φ(x)) ∈ Γ_{φ} ∩ (U × V) e (ψ(φ(x)), φ(x)) ∈ Γ_{ψ}. Segue dalla (11) che Γ_{φ} ∩ (U × V) ⊂ Γ_{ψ}. Dunque entrambi i punti giacciono sul grafico di ψ. Poiché la seconda coordinata dei due punti è uguale, anche la prima deve coincidere. Dunque ψ(φ(x)) = x, ossia

ψ ∘ φ_{|U} = id_{U} .

Quindi φ_{|U} e ψ sono inverse l’una dell’altra e φ_{|U} : U → V è un diffeomorfismo.

Teorema 15. Sia U ⊂ ℝ^{n} un aperto. Supponiamo che φ ∈ C^{∞}(Ω, ℝ^{m}) abbia differenziale iniettivo nel punto x_{0} ∈ U. Allora esisono due sottoinsiemi aperti A, B ⊂ ℝ^{m} ed un diffeomorfismo h : A → B tali che φ(x_{0}) ∈ A e

h(φ(x)) = (x, 0)

per ogni x in un intorno sufficientemene piccolo di x_{0}.

Dimostrazione. Osserviamo che n ≤ m. L’immagine di dφ(0) è un sottospazio n-dimensionale di ℝ^{m}. Poniamo k = m − n. Sia W un complementare di dφ(0)(ℝ^{n}), cioè un sottospazio tale che

dφ(0)(ℝ^{n}) ⊕ W = ℝ^{m}

e sia {e_{1}, …, e_{k}} una base di W. Poniamo F : U × ℝ^{k} → ℝ^{m}

F (x, y) = φ(x) + ∑_{i=1}^{k} y_{i}e_{i}.

F è liscia e il suo differenziale in (x_{0}, 0) è dato dalla formula

dF (x_{0}, 0)(v, w) = dφ(x_{0})v + ∑_{i=1}^{k} w_{i}e_{i} (v, w) ∈ ℝ^{n} × ℝ^{k} = ℝ^{m}.

Pertanto dF (x_{0}, 0) è invertibile. Applicando il teorema della funzione inversa troviamo due aperti B ⊂ U × ℝ^{k}, A ⊂ ℝ^{m} tali che (x_{0}, 0) ∈ B ⊂ Ω e

F_{|B} : B → A

sia un diffeomorfismo di B su A. Poniamo

V = φ^{−1}(A) ∩ {x ∈ ℝ^{n} : (x, 0) ∈ B}.  (12)

V è un intorno aperto di x_{0} perché (x_{0}, 0) ∈ B. Se x ∈ V

h(φ(x)) = h(F (x, 0)) = (x, 0).

Teorema 16. Sia Ω ⊂ ℝ^{n} un aperto. Supponiamo che f ∈ C^{∞}(Ω, ℝ^{m}) abbia differenziale suriettivo in x_{0}. Allora esistono due sottoinsiemi aperti A ⊂ ℝ^{n} e B ⊂ Ω ed un diffeomorfismo h : A → B, tali che f(h(y)) = (y_{1}, …, y_{m}) per ogni y = (y_{1}, …, y_{n}) ∈ A.

Dimostrazione. Osserviamo che m ≤ n. La matrice jacobiana di f in x_{0} ha un minore non nullo di ordine m. Possiamo supporre che esso sia il primo a sinistra:

det \frac{∂Φ}{∂(x_{1}, …, x_{m})} ≠ 0.

Sia Φ : Ω → ℝ^{n} l’applicazione

Φ(x) = (f(x), x_{m+1}, …, x_{n}).

Allora

\frac{∂Φ}{∂x} = (\begin{matrix}\frac{∂f}{∂(x_{1}, …, x_{m})} & \frac{∂f}{∂(x_{m+1}, …, x_{n})} \\ 0 & I \end{matrix}) .

Dunque \frac{∂Φ}{∂x}(x_{0}) è invertibile. Per il teorema della funzione inversa esistono due aperti A e B con x_{0} ∈ B ⊂ Ω tali che

Φ_{|B} : B → A

sia un diffeomorfismo. Poniamo h = (Φ_{|B})^{−1}. Allora se x ∈ A

y = Φ(h(y)) = (f(h(y)), h_{m+1}(y), …, h_{n}(y))

dunque f(h(y)) = (y_{1}, …, y_{n}).

Siano X ed Y spazi topologici. Un omeomorfismo locale fra X ed Y è un’applicazione f : X → Y tale che ogni x ∈ X ammette un intorno aperto U tale che f(u) sia aperto in Y ed f_{|U} sia un omeomorfismo di U su f(U). Se poi X ed Y sono aperti di ℝ^{m}, f è C^{∞} e la restrizione f_{|U} è un diffeomorfismo, allora diciamo che f è un diffeomorfismo locale.

Esercizio 6. Sia Ω un aperto di ℝ^{m} ed f : Ω → ℝ^{m} una applicazione liscia. Dimostrare che f è un diffeomorfismo locale se e soltanto se per ogni x ∈ Ω il differenziale df(x) è invertibile.

Un’applicazione f : X → Y fra spazi topologici è detta aperta (o chiusa) se per ogni sottoinsieme aperto (rispettivamente chiuso) A ⊂ X l’immagine f(A) è un sottoinsieme aperto (rispettivamente chiuso) di Y.

Esercizio 7. Dimostrare che un omeomorfismo (e quindi un diffeomorfismo) locale è una applicazione aperta.

Esercizio 8. Sia Ω ⊂ ℝ^{m} aperto ed f : Ω → ℝ^{m} un’applicazione liscia con differenziale invertibile in ogni punto di Ω (cioè f è un diffeomorfismo locale). Se f è iniettiva allora f è un diffeomorfismo fra Ω ed f(Ω).

Riferimenti bibliografici

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