CORSO DI ISTITUZIONI DI ALGEBRA

Anno Accademico 2016-2017
 
Registro delle lezioni

Martedi' 7/3/2017 9-11
Anelli locali, definizione e proprieta'. Esempi. Localizzazione A_S di un anello A (commutativo con 1) rispetto ad un sistema moltiplicativo S. A_S e' un anello. Omomorfismo canonico da A in A_S e sue proprieta'. Esempi: campo dei quozienti di un dominio di integrita', localizzazione di un anello A rispetto al sistema moltiplicativo A-I, con I ideale primo in A. Estensione e contrazione di ideali rispetto all'omomorfismo canonico sa A in A_S.

Mercoledi' 8/3/2017 9-11
L'omomorfismo canonico tra un anello A e la localizzazione A_S di A rispetto ad un sistema moltiplicativo induce una bigezione tra Spec(A_S) e l'insieme degli ideali primi in A che non intersecano S. Per ogni ideale primo p in A, A_p e' un anello locale. Proprieta' universale della localizzazione. Radicale di Jacobson e nilradicale.

Martedi' 14/3/2017 9-11
Il nilradicale di un anello A e' l'intersezione di tutti gli ideali primi di A e quindi e' contenuto nel radicale di Jacobson. Radicale di Jacobson di un ideale e radicale di un ideale e loro proprieta'. Un ideale primo e' radicale. Dato un ideale I di A, definizione di V(I) come il sottoinsieme di Spec(A) dato dalgi ideali primi che contengono I. Dato un sottoinsieme Y di Spec(A), definizione di I(Y) come intersezione di tutti gli ideali primi corrispondenti ai punti di Y. Se I e' contenuto in J, V(J) e' contenuto in V(I). Se Y e' contenuto in Z, I(Z) e' contenuto in I(Y). I(V(I)) = rad(I). Dato un anello A, I ideale di A e P_1,...,P_n ideali primi di A, se I e' contenuto nell'unione dei P_i, allora esiste un j tale che I e' contenuto in P_j. Se A e' un anello, I_1,...,I_n sono ideali e P e' un ideale primo che contiene l'intersezione degli I_J, alora esiste un i tale che I_i e' contenuto in P. Se l'intersezione degli I_j e' uguale a P, esiste un i tale che P = I_i. L'intersezione degli I_j e' contenuta in P se e solo se V(P) e' contenuto in V(intersezione degli I_j). V(intersezione degli I_j) e' uguale all'unione UV(I_j).Se P e' un ideale primo tale che V(P) e' contenuto in UV(I_j), allora esiste un i tale che V(P) e' contenuto in V(I_i).

Mercoledi' 15/3/2017 9-11
Moduli su un anello. Moduli liberi, moduli finitamente generati (o di tipo finito). Lemma di Nakayama e conseguenze. Successioni esatte di A-moduli. Se M e' di tipo finito, ogni suo quoziente e' di tipo finito. Se 0--->M'--->M--->M''--->0 e' una successione esatta di A-moduli e M' e M'' sono di tipo finito, allora M e' di tipo finito. Moduli Noetheriani. Condizione della catena ascendente. Data una successione esatta di A-moduli come sopra, M e' Noetheriano se e solo se M' e M'' sono Noetheriani. La somma diretta di due A-moduli Noetheriani e' Noetheriana. La somma e l'intersezione di due sottomoduli Noetheriani di un A-modulo M sono Noetheriane.

Martedi' 21/3/2017 9-11
Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Ideali primari, proprieta' ed esempi. Se il radicale di un ideale e' massimale, allora l'ideale e' primario.L'intersezione finita di ideali P-primari e' un ideale P-primario. Decomposizioni primarie e decomposizioni primarie minimali di ideali.

Mercoledi' 22/3/2017 9-11
In un anello noetheriano ogni ideale ammette una decomposizione primaria (minimale). Esempi di decomposizioni primarie. Ideali quozienti di ideali primari e proprieta'. Se un ideale I ammette una decomposizione primaria, allora l'insieme degli ideali primi che sono i radicali degli ideali primari in una decomposizione primaria minimale dipende solo da I e e corrisponde all'insieme degli ideali primi che sono della forma rad(I:x), al variare di x nell'anello. Ideali primi associati ad un ideale. Se A e' noetheriano un ideale primo P e' associato ad I se e solo se esiste un x in A tale che P = (I:x). Se A e' noetheriano e I e' un ideale, i primi associati a I sono un numero finito.

Mercoledi' 28/3/2017 9-11
Decomposizione primaria, ideali primi associati, ideali primi isolati e immersi. Esempi. Se I e' un ideale decomponibile, il radicale di I si decompone come intersezione dei primi isolati di I. In una decomposiziine primaria minimale gli ideali primari non sono unici. Esempi. Comportamento degli ideali primari rispetto alla localizzazione.

Giovedi' 29/3/2017 9-11
Sia I un ideale decomponibile e prendiamo una decomposizione primaria minimale di I. Sia q un ideale primario tale che il suo radicale p sia un primo isolato. Allora q e' univocamente determinato da I e da p. Se un ideale decomponibile e' radicale non ci sono primi immersi. Il viceversa non e' vero. Esempi. Sottomoduli primari di un A-modulo. Anelli Artiniani e A-moduli Artiniani: definizione, esempi. Sia 0--->M'--->M--->M''--->0 e' una successione esatta di A-moduli. Allora M' e M'' sono Artiniani se e solo se M e' Artiniano.

Mercoledi' 5/4/2017 9-11
La somma diretta di due A-moduli Artiniani e' un A-modulo Artiniano. Un anello A e' Artiniano se e solo se ogni A-modulo di tipo finito e' Artiniano. Sia 0=M_0< M_1<...< M_n =M una catena di sottomoduli di un A-modulo M. Allora M e' Artiniano (risp. Noetheriano) se e solo se tutti i quozienti M_i/M_i-1 sono Artiniani (risp. Noetheriani). Sia A un anello e m_1,...,m_n ideali massimali (non necessariamente distinti) in A tali che il prodotto m_1m_2...m_n=0. Allora A e' Artiniano se e solo se A e' Noetheriano. Un anello Artiniano contiene solo un numero finito di ideali primi, che sono tutti massimali. In particolare il radicale di Jacobson coincide con il nilradicale di A. Dimensione di Krull di un anello. Un anello non nullo e' Artiniano se e solo se e' Noetheriano ed ha dimensione di Krull zero.


Giovedi' 6/4/2017 14-16
Dato A un anello e I un ideale, definizione della topologia I-adica su A. Lemma di Artin-Rees. Teorema di intersezione di Krull. Filtrazioni I stabili. Dimostrazione del lemma di Artin-Rees.


Mercoledi' 12/4/2017 9-11
Definizione di anello graduato e di modulo graduato. Dimensione di Krull. Esempi. Altezza e co-altezza di ideali. Se A e' un dominio di integrita' noetheriano e a un elemento di A diverso da zero e non invertibile, se P e' un ideale primo minimale tra quelli che contengono (a), allora l'altezza di P e' uguale a 1.

Mercoledi' 19/4/2017 9-11
Teorema della dimensione di Krull. Conseguenze: ogni ideale in un anello noetheriano ha altezza finita. Sia A un anello locale noetheriano e sia m l'ideale massimale. Allora la dimensione di A e' minore o uguale della dimensione di m/m^2 come spazio vettoriale su A/m che e' finita. Teorema dell'ideale principale di Krull. Ogni anello locale noetheriano ammette un sistema di parametri.

Giovedi' 20/4/2017 14-16
Sia A un anello locale noetheriano con m ideale massimale. Preso un elemento a in m che non e'un divisore dello zero, allora dim(A/(a)) = dim(A) -1. Se A e' un anello neotheriano, dim(A[X_1,...,X_n]) = dim(A) + n, quindi se K e' un campo dim(K[X_1,...,X_n]) = n. Se K e' un campo e m e' un ideale massimale in K[X_1,...,X_n] alllora m e' generato da n elementi se e solo se l'altezza di m e' n se e solo se la localizzazione K[X_1,...,X_n]_m e' un anello locale di dimensione n il cui ideale massimale e' generato da un sistema di parametri. Dato A un anello locale noetheriano di dimensione d, le seguenti condizioni sono equivalenti: (1) esiste un sistema di parametri x_1,...,x_d in m che genera m; (2) la dimensione di m/m^2 come spazio vettoriale su A/m e' d. In questo caso A si dice un anello locale regolare. Se K e' un campo e m e' un ideale massimale in K[X_1,...,X_n], allora l'anello locale K[X_1,...,X_n]_m e' un anello locale regolare noetheriano di dimensione n.

Mercoledi' 26/4/2017 9-11
Sia A un anello locale regolare noetheriano, allora A e' un dominio di integrita'. Dato un omomorfismo di anelli da A in A', vediamo A' come A-algebra. Definizione di elementi di A' interi su A. L'omomorfismo si dice finito se A' e' un A-modulo di tipo finito.Esempio: i numeri razionali interi su Z sono gli interi. Se f e' un omomorfismo da A in A' di domini di integrita' tale che A' sia intero su A, allora A' e' un campo se e solo se A e' un campo. Se f: A --->A' e' un omomorfismo di anelli e x e' un elemento di A' allora x e' intero su A se e solo se il sottoanello A[x] di A' generato da f(A) e da x e' finitamente generato come A-modulo.

Martedi' 2/5/2017 9-11
Ogni omomorfismo di anelli finito e' intero. Se f: A-->A' e' un omomorfismo di anelli e y_1,...,y_r sono elementi di A' interi su A tali che A'= A[y_1,...,y_r] allora f e' finito e dunque intero. La composizione di omomorfismi finiti (risp. interi) e' un omomorfismo finito (risp. intero). Se A e' un sottoanello di A', l'insieme degli elementi di A' interi su A e' un sottoanello di A' che contiene A e si chiama chiusura integrale di A in A'. Un dominio di integrita' A si dice normale se e' integralmente chiuso nel suo campo dei quozienti. Ogni dominio a fattorizzazione unica e' normale. Esempi. Sia A un dominio di integrita', allora A e' normale se e solo se la localizzazione A_p e' normale per ogni ideale primo p, se e solo se la localizzazione A_m e' normale per ogni ideale massimale m. Enunciato del lemma di normalizzazione di Noether.

Mercoledi' 3/5/2017 9-11
Dimostrazione del lemma di normalizzazione di Noether. Conseguenze: Se L:K e' un'estensione di campi e L e' una K-algebra di tipo finito, allora L:K e' un'estensione finita. Se K e' un campo, A e' una K-algebra di tipo finito e m e' un ideale massimale in A, A/m e' un'estensione finita di K. Se A e' una K-algebra di tipo finito, il nilradicale rad(A) coincide con il radicale di Jacobson j(A). Quindi, per ogni I ideale di A, si ha rad(I) = j(I). Teorema degli zeri di Hilbert: Se K e' un campo, A e' una K-algebra di tipo finito e I e' un ideale di A, si ha I(V_max(I)) = rad(I). Interpretazione geometrica.

Martedi' 9/5/2017 9-11
Dato un omomorfismo di K-algebre f:A --->B con B di tipo finito, per ogni ideale massimale m in B, la sua controimmagine e' un ideale massimale in A. Sia f: A ---> A' un omomorfismo di anelli intero. Un ideale primo q di A' e' massimale se e solo se la sua controimmagine e' massimale in A. Se q_1 e q_2 sono due ideali in A' le cui controimmagini in A coincidono, se q_1 e' contenuto in q_2 allora q_1 = q_2. Se p e' un ideale primo di A che contiene il nucleo di f, allora esiste un ideale primo in A' la cui controimmagine e' uguale a p. Inoltre non ci sono inclusioni strette tra tali ideali primi q. Teorema del Going- up con dimostrazione. Teorema del Going-down con cenno di dimostrazione.

Mercoledi' 10/5/2017 9-11
Conseguenze dei teoremi di Going-up e Going-down. Se f:A -->A' e' un omomorfismo di anelli intero e iniettivo, dim(A') = dim(A). Se I' e' un ideale in A' e I e' la sua controimmagine in A, l'altezza di I' e minore o uguale all'altezza di I e vale l'uguaglianza se A e A' sono domini di integrita' e A e' normale. La co-altezza di I e' uguale alla co-altezza di I'. Se K e' un campo e A e' una K-algebra di tipo finito che e' anche un dominio di integrita', allora la dimensione di A coincide con il grado di trascendenza del campo dei quozienti di A su K. Sotto queste ipotesi, se p e' un ideale primo di A, si ha ht(p) + coht(p) = dim(A). Se m e' massimale ht(m) = dim(A). Prodotto tensoriale di A-moduli: esistenza e unicita'.

Martedi' 16/5/2017 9-11
Proprieta' del prodotto tensoriale di A-moduli. Esempi. Proprieta' di esattezza a destra del prodotto tensoriale. Il prodotto tensoriale non e' esatto a sinistra. Applicazioni.

Mercoledi' 17/5/2017 9-11
Moduli piatti. Un A-modulo libero e' piatto. Proprieta'. Una somma diretta di A-moduli M_i e' piatta se e solo se ogni M_i e' piatto. Estensione dei coefficienti. Localizzazione di moduli. Dato A un anello e S un sistema moltiplicativo, la localizzazione A_S e' un A-modulo piatto. Definizione di prodotto tensoriale di A-algebre.

Martedi' 23/5/2017 16-18
Moduli proiettivi e risoluzioni proietive. Funtore Tor. Definizione e proprieta'. Simmetria nei due argomenti del funtore tor. Successione esatta lunga dei tor. Se M e N sono due A-moduli e uno dei due e' piatto, allora Tor^n(M,N) = 0 se n>0. Moduli iniettivi e risoluzioni iniettive.

Mercoledi' 24/5/2017 9-11
Moduli iniettivi e proiettivi e proprieta'. Risoluzioni iniettive. Ogni Z-modulo si puo' immergere in uno Z-modulo iniettivo. Ogni A-modulo ammette una risoluzione iniettiva. Funtori Ext. Definizione e proprieta'. Successioni esatte lunghe degli Ext. Ext^1 ed estensioni di moduli.

Giovedi' 25/5/2017 14-16
Cenni di geometria algebrica. Topologia di Zariski sullo spazio affine A^n su un campo k algebricamente chiuso. Proprieta' ed esempi. Sottoinsiemi irriducibili di uno spazio topologico. La retta affine e' irriducibile. Un sottoinsieme aperto non vuoto di uno spazio irriducibile e' irriducibile e denso. Se Y e' un sottoinsieme irriducibile di uno spazio topologico X, allora la sua chiusura e' irriducibile. C'e' una corrispondenza biunivoca che inverte le inclusioni tra i sottoinsiemi algebrici di A^n egli ideali radicali in k[X_1,...,X_n]. Un insieme algebrico Y in A^n e' irriducibile se e solo se I(Y) e' primo. Lo spazio affine A^n e' irriducibile. Esempi. Varieta' algebriche affini. Anello delle coordinate di un sottoinsieme algebrico di A^n. Spazi topologici noetheriani.

Martedi' 30/5/2017 9-11
Lo spazio affine A^n con la topologia di Zariski e' uno spazio topologico noetheriano. In uno spazio topologico noetheriano ogni sottoinsieme chiuso non vuoto si puo' scrivere come unione finita di chiusi irriducibili Y_i. Se si richiede che per i diverso da j, Y_i non sia contenuto in Y_j, gli Y_i sono unicamente determinati. Un insieme algebrico in A^n si puo' scrivere in modo unico come un'unione finita di varieta' affini nessuna inclusa in un'altra. Dimensione di uno spazio topologico, dimensione di una varieta' affine e quasi-affine. Esempi. Se Y e' un insieme algebrico in A^n la dimensione di Y e' uguale alla dimensione di Krull dell'anello delle coordinate di Y. Una varieta' algebrica affine Y in A^n ha dimensione n-1 se e solo se Y e' il luogo di zeri di un polinomio f irriducibile. Esempi di varieta' affini.