CORSO DI ISTITUZIONI DI GEOMETRIA

Anno Accademico 2013-2014
 
Registro delle lezioni

Venerdi'  14/3/2014 11-13
Gruppi di Lie: definizioni ed esempi. Il tangente ad O(n) in un punto. SL(n,R), GL(n,R). SU(2) e'  diffeomorfo a S^3.
Morfismi di gruppi di Lie. Esempi. Azioni di un gruppo di Lie su una varieta'  differenziabile.

Venerdi' 21/3/2014 11-13
Azioni di gruppi di Lie su varieta'. Se una azione e'  libera e propria il quoziente e' una varieta' differenziabile. Esempi di azioni. Fibrati vettoriali. Il fibrato cotangente.

Venerdi' 28/3/2014 11-13
Esempi di varieta' differenziabili: Grassmanniane. Fibrati vettoriali e operazioni tra fibrati: fibrato duale, prodotto tensoriale di due fibrati.

Venerdi' 4/4/2014 11-13
Il fibrato universale sulle Grassmanniane. Algebra esterna. Forme differenziali su una varieta' differenziabile.

Venerdi' 11/4/2014 11-13
Forme differenziali. Differenziale esterno: esistenza ed unicita'. Grassmanniane: embedding di Pluecker.

Venerdi' 2/5/2014 11-13
Pullback di forme e sue proprieta'. Orientabilita'. Una varieta'  e' orientabile se e solo se esiste una forma di volume. Forma di volume sulla sfera S^n. Lo spazio proiettivo reale di dimensione n  e' orientabile se e solo se n e' dispari.

Lunedi' 5/5/2014 11-13
Integrale di una n-forma a supporto compatto su una varieta'. Varieta' con bordo: definizioni ed esempi. Varieta' con bordo orientabili e orientazione indotta sul bordo. Teorema di Stokes.

Venerdi' 16/5/2014 11-13
Conseguenze del teorema di Stokes. Teorema del punto fisso di Brouwer differenziabile. Formula di Gauss-Green nel piano.
Forme chiuse ed esatte. Coomologia di de Rham. Proprieta' funtoriali. Omologia singolare e sue proprieta'. Enunciato del teorema di de Rham.

Martedi' 20/5/2014 9-11
Complessi di cocatene e successioni esatte di complessi. Successione esatta lunga in coomologia associata ad una successione esatta corta di complessi di cocatene. Omotopie differenziabili tra apllicazioni differenziabili tra due varieta'. Due applicazioni differenziabili tra due varieta' che sono differenziabilmente omotope inducono la  stessa mappa in coomologia di de Rham. Lemma di Poincare'.

Martedi' 3/6/2014 9-11
Successione esatta di Mayer-Vietoris per la coomologia di de Rham. Coomologia delle sfere e del toro.

Mercoledi' 5/6/2014 9-13
Esercizi di calcolo della comologia di de Rham. Idea della dimostrazione del teorema di de Rham. Enunciato del teorema di dualita' di Poincare'.