CORSO DI GEOMETRIA 2

Anno Accademico 2017-2018
 
Registro delle lezioni

Giovedi' 1/3/2018 11-13
Spazi localmente connessi. Cammini continui. Componenti connesse per archi. Spazi localmente connessi per archi. In uno spazio localmente connesso per archi le componenti connesse per archi sono aperte e coincidono con le componenti connesse. Omotopia di applicazioni continue tra due spazi topologici, esempi. La relazione di omotopia e' una relazione di equivalenza. Se f_0, f_1 sono due applicazioni continue da X a Y omotope e g_0, g_1 sono due applicazioni continue da Y a Z omotope, allora la composizione di g_0 con f_0 e' omotopa alla composizione di g_1 con f_1. Equivalenze omotopiche, spazi omotopicamente equivalenti. Se due spazi topologici sono omeomorfi, allora sono omotopicamente equivalenti. Il viceversa e' falso.

Lunedi' 5/3/2018 14-16
Spazi topologici contraibili. Ogni spazio contraibile e' connesso per archi. Esempi ed esercizi. Retratti e retratti di deformazione (forte). Esempi. Omotopia di cammini.

Martedi' 6/3/2018 14-16
Comportamento dell'omotopia rispetto alla concatenazione di cammini e rispetto all'inversione di cammini. Associativita' della concatenazione di cammini a meno di omotopia. Se f e' un'applicazione continua tra X e Y e g,h sono due cammini in X omotopi, allora fg e fh sono omotopi. Gli operatori di inversione e concatenazione di cammini commutano con la composizione con applicazioni continue. Per ogni h cammino in X da a a b, 1_a * h e h * 1_b sono omotopi a h, h * i(h) e' omotopo a 1_a.

Mercoledi' 7/3/2018 14-15
Il gruppo fondamentale di uno spazio topologico X con punto base x. Un sottospazio convesso di R^n ha gruppo fondamentale banale. Se a, b sono due punti connessi da un cammino continuo in X, il gruppo fondamentale di X con punto base in a e' isomorfo al gruppo fondamentale di X con punto base in b. L'isomorfismo in generale non e' canonico. L'isomorfismo e' canonico se e solo se il gruppo fondamentale e' abeliano.

Giovedi' 8/3/2018 11-13
Gruppo fondamentale del prodotto di due spazi topologici. Ogni applicazione continua f tra spazi topologici X, Y induce un omomorfismo tra i due gruppi fondamentali con punti base x e f(x) rispettivamente. Se A e' un retratto di X l'inclusione induce un omomorfismo iniettivo tra i gruppi fondamentali di A e di X. Se A e' un retratto di deformazione (forte) di X l'inclusione induce un isomorfismo tra i gruppi fondamentali. Proprieta' funtoriali.

Lunedi' 12/3/2018 14-16
Se X e Y sono due spazi topologici e f e' un'applicazione continua da X in Y che e' un'equivalenza omotopica, allora f induce un isomorfismo tra il gruppo fondamentale di X con punto base a sul gruppo fondamentale di Y con punto base f(a). Spazi semplicamente connessi. Se X e' contraibile, X e' semplicemente connesso. Esercizi sull'omotopia e sul gruppo fondamentale.

Martedi' 13/3/2018 14-16
Esercizi. Cenni su categorie e funtori. Esempi. Il gruppoide fondamentale.

Mercoledi' 14/3/2018 14-15
Numero di Lebesgue. Teorema di Van Kampen in versione semplificata: se X e' l'unione di due aperti connessi per archi A e B tali che l'intersezione di A con B e' connessa per archi e x e' un punto nell'intersezione, il gruppo fondamentale di X con punto base x e' generato dalle immagini dei gruppi fondamentali di A e di B con punti base x tramite gli omomorfismi indotti dalle inclusione di A e B in X.

Giovedi' 15/3/2018 11-13
Con le ipotesi del teorema di Van Kampen, se inoltre A e B sono semplicemente connessi, allora X e' semplicemente connesso. Proiezione stereografica. Le sfere S^n con n maggiore o uguale a 2 sono semplicemente connesse. Lo spazio proietivo complesso di dimensione n e' semplicemente connesso. Il complementare di un numero finito di punti in R^n con n almeno 3 e' semplicemente connesso.

Lunedi' 19/3/2018 14-16
Esercizi su gruppo fondamentale e omotopia. La mappa esponenziale dalla retta reale sulla circonferenza unitaria S^1. Ogni punto di S^1 ha un intorno aperto banalizzante.

Martedi' 20/3/2018 14-16
Lemma di sollevamento dei cammini per la mappa esponenziale e sollevamento dell'omotopia. Gruppo fondamentale della circonferenza.

Mercoledi' 21/3/2018 14-16
Gruppo fondamentale della circonferenza. Conseguenze: teorema fondamentale dell'algebra, teorema del punto fisso di Brouwer. Gruppi liberi.

Giovedi' 22/3/2018 14-16
Gruppi liberi e prodotti liberi di gruppi. Teorema di Van Kampen (con due aperti).

Martedi' 27/3/2018 14-16
Applicazioni di Van Kampen al calcolo di gruppi fondamentali. Esempi ed esercizi.

Mercoledi' 28/3/2018 11-13
Applicazioni di Van Kampen al calcolo di gruppi fondamentali. Esempi ed esercizi. Gruppo fondamentale degli spazi proiettivi reali.

Mercoledi' 4/4/2018 9-11
Curve parametrizzate di classe C^k (k>0). Vettore tangente. Esempi. Cambiamenti di parametro. Lunghezza d'arco. Curve regolari. Data una curva regolare parametrizzata, esiste sempre una sua riparametrizzazione per lunghezza d'arco. Esempi. Curvatura. Curve regolari e biregolari. Triedro di Frenet. Torsione. Formule di Frenet. Una curva piana ha torsione nulla. Piano osculatore. Raggio di curvatura per una curva regolare e biregolare parametrizzata per lunghezza d'arco.

Mercoledi' 4/4/2018 14-15
Esercizi su curve in R^3.

Giovedi' 5/4/2018 11-13
Cerchio osculatore. Esercizi su curve in R^3. Calcolo di curvatura torsione e triedro di Frenet in esempi.

Lunedi' 9/4/2018 14-16
Teorema fondamentale della teoria locale delle curve. Conseguenze e esercizi. Esempi di curve. La trattrice.

Martedi' 10/4/2018 14-16
Esercizi su curve. Il teorema della funzione inversa (solo enunciato). Teorema del rango (versione suriettiva). Dimostrazione a partire dal teorema della funzione inversa. Teorema del rango (versione iniettiva). Dimostrazione a partire dal teorema della funzione inversa.

Mercoledi' 11/4/2018 14-16
Teorema del Dini a partire dal teorema del rango. Teorema del Dini implica il teorema della funzione inversa. Definizione di superficie regolare. Esempi: grafici di funzioni differenziabili. La sfera.

Giovedi' 12/4/2018 11-13
Esempi di superfici regolari: quadriche. Controimmagini di valori regolari di un'applicazione differenziabile da un aperto dello spazio a valori reali sono superfici regolari. Una superficie regolare e' localmente il grafico di un'applicazione differenziabile. Se un sottoinsieme S dello spazio e' una superficie regolare e f e' un'applicazione differenziabile da un aperto del piano a valori in S iniettiva e con differenziale iniettivo in ogni punto, allora f e' una parametrizzazione locale di S.

Lunedi' 16/4/2018 14-16
Esempi di superfici regolari: il toro di rivolzione, superfici di rotazione. Su una superficie regolare, il cambiamento di parametrizzazione e' un'applicazione differenziabile.

Martedi' 17/4/2018 14-16
Applicazioni differenziabili da una superficie regolare a valori reali. Applicazioni differenziabili tra due superfici regolari. Esempi: le parametrizzazioni locali sono diffeomorfismi locali. Il piano tangente ad una superficie in un punto. Differenziale di un'applicazione differenziabile tra due superfici regolari.

Mercoledi' 19/4/2018 14-16
Differenziale di un'applicazione da un'aperto di una superficie regolare a valori reali. Se F e' un'applicazione differenziabile tra due superfici regolari tale che il suo differenziale in un punto sia invertibile, allora F e' un diffeomorfismo locale. Prima forma fondamentale di una superficie regolare. Esempi di calcolo della prima forma fondamentale in una parametrizzazione locale.

Giovedi' 20/4/2018 11-13
Area di un dominio regolare limitato su una superficie regolare. Esempi di calcolo: area della sfera, del toro, di un tronco di cono. Il cono con il vertice non e' una superficie regolare. Orientabilita'.

Lunedi' 23/4/2018 14-16
Definizione di superficie regolare orientabile. Esempi di superfici orientabili: grafici di applicazioni differenziabili, la sfera, controimmagini di valori regolari tramite applicazioni differenziabili da un aperto di R^3 a valori reali. Una superficie regolare e' orientabile se e solo se esiste un campo di vettori differenziabile normale e unitario.

Martedi' 24/4/2018 14-16
Il nastro di Moebius non e' orientabile. Mappa di Gauss. Esempi. Differenziale della mappa di Gauss. Esempi. Il differenziale della mappa di Gauss e' un operatore lineare autoaggiunto sul tangente in un punto ad una superficie regolare orientata. Definizione della seconda forma fondamentale.

Giovedi' 26/4/2018 9-11
Seconda forma fondamentale. Curvatura normale. Teorema di Meusnier. Sezione normale. Esempi. Curvature principali e direzioni principali di curvatura. Curvatura Gaussiana e curvatura media. Linee di curvatura. Esempi. Punti ellittici, iperbolici, parabolici e planari.

Mercoledi' 2/5/2018 14-16
Esempi di punti ellittici, iperbolici, parabolici e planari. Punti ombelicali. Espressione della seconda forma fondamentale, del differenziale della mappa di Gauss, della curvatura media e gaussiana in coordinate locali. Esempi di calcolo: il toro di rivoluzione.

Giovedi' 3/5/2018 11-13
Calcolo della seconda forma fondamentale e della curvatura gaussiana nelle superfici di rotazione e nei grafici di funzioni. In un intorno sufficientemente piccolo di un punto ellittico una superficie e' tutta contenuta da una parte rispetto al piano tangente, mentre questo non accade in nessun intorno di un punto iperbolico. Se tutti i punti di una superficie connessa S sono ombelicali, allora o S e' contentuna in una sfera o in un piano. Direzioni asintotiche, linee asintotiche. Indicatrice di Dupin.

Lunedi' 7/5/2018 14-16
Isometrie globali e locali tra superfici. Il cilindro e' localmente isometrico al piano. Simboli di Christoffel di una superficie rispetto ad una parametrizzazione locale. I simboli di Christoffel dipendono solo dai coefficienti della prima forma fondamentale e dalle loro derivate. Calcolo dei simboli di Christoffel per le superfici di rotazione.

Martedi' 8/5/2018 14-16
Formula di Gauss. Teorema Egregium di Gauss. Equazioni di Codazzi-Mainardi. Esercizi ed esempi. Esempio di due superfici con stessa curvatura gaussiana in ogni punto ma non localmente isometriche.

Lunedi' 14/5/2018 14-16
Esempi di superfici localmente isometriche. Il cono meno il vertice e' localmente isometrico al piano. Campi di vettori tangenti. Derivata covariante.

Martedi' 15/5/2018 14-16
Campi di vettori tangenti lungo una curva. Campi di vettori tangenti lungo una curva paralleli. Trasporto parallelo. Geodetiche parametrizzate. Geodetiche.

Mercoledi' 16/5/2018 14-16
Esempi di geodetiche sul piano, sulla sfera e sul cilindro. Equazioni differenziali delle geodetiche. Teorema di esistenza e unicita' locale per le geodetiche passanti per un punto con un dato vettore tangente. Esempi di geodetiche sulle superfici di rotazione.

Giovedi' 17/5/2018 11-13
Valore algebrico della derivata covariante. Curvatura geodetica. Esempi ed esercizi sulle geodetiche.

Lunedi' 21/5/2018 14-16
Esercizi su geodetiche e isometrie.

Martedi' 22/5/2018 14-16
Determinazione dell'angolo tra due campi di vettori differenziabili, unitari tangenti lungo una curva. La differenza del valore algebrico della derivata covariante e' la derivata di una determinazione dell'angolo. Espressione del valore algebrico della derivata covariante di un campo di vettori tangenti unitario w lungo una curva contenuta nell'immagine di una parametrizzazione locale ortogonale in funzione dei coefficienti della prima forma fondamentale e della derivata di una determinazione dell'angolo tra il tangente ad una curva coordinata e w. Enunciato del teorema di Gauss sui triangolo geodetici.

Mercoledi' 23/5/2018 14-16
Enunciato del teorema delle turning tangents. Enunciato della formula di Gauss Green nel piano. Dimostrazione del teorema di Gauss Bonnet in versione locale. Teorema di Gauss sui triangoli geodetici.

Lunedi' 28/5/2018 14-16
Regioni regolari di una superficie. Triangolazioni di regioni regolari. Caratteristica di Eulero Poincare'. Enunciato del teorema di classificazione delle superficie compatte e orientate in R^3. Dimostrazione del teorema di Gauss Bonnet in versione globale. Conseguenze: una superficie compatta e orientata in R^3 con curvatura Gaussiana positiva in ogni punto e' omeomorfa alla sfera. Teorema di Gauss sui triangoli geodetici.

Martedi' 29/5/2018 14-17
Esercizi su tutto il programma.

Mercoledi' 30/5/2018 14-16
Esercizi su tutto il programma.