CORSO DI GEOMETRIA 2

Anno Accademico 2016-2017
 
Registro delle lezioni

Mercoledi' 1/3/2017 14-15
Spazi localmente connessi. Cammini continui. Componenti connesse per archi. Spazi localmente connessi per archi. In uno spazio localmente connesso per archi le componenti connesse per archi sono aperte e coincidono con le componenti connesse.  

Giovedi' 2/3/2017 11-13
Omotopia di applicazioni continue tra due spazi topologici, esempi. La relazione di omotopia e' una relazione di equivalenza. Se f_0, f_1 sono due applicazioni continue da X a Y omotope e g_0, g_1 sono due applicazioni continue da Y a Z omotope, allora la composizione di g_0 con f_0 e' omotopa alla composizione di g_1 con f_1. Equivalenze omotopiche, spazi omotopicamente equivalenti. Se due spazi topologici sono omeomorfi, allora sono omotopicamente equovalenti. Il viceversa e' falso. Spazi topologici contraibili. Ogni spazio contraibile e' connesso per archi. Esempi ed esercizi. Retratti e retratti di deformazione (forte). Esempi.

Lunedi' 6/3/2017 14-16
Omotopia di cammini. Comportamento dell'omotopia rispetto alla concatenazione di cammini e rispetto all'inversione di cammini. Associativita' della concatenazione di cammini a meno di omotopia. Se f e' un'applicazione continua tra X e Y e g,h sono due cammini in X omotopi, allora fg e fh sono omotopi. Gli operatori di inversione e concatenazione di cammini commutano con la composizione con applicazioni continue. Per ogni h cammino in X da a a b, 1_a * h e h * 1_b sono omotopi a h, h * i(h) e' omotopo a 1_a.

Martedi' 7/3/2017 14-16
Il gruppo fondamentale di uno spazio topologico X con punto base x. Un sottospazio convesso di R^n ha gruppo fondamentale banale. Se a, b sono due punti connessi da un cammino continuo in X, il gruppo fondamentale di X con punto base in a e' isomorfo al gruppo fondamentale di X con punto base in b. L'isomorfismo in generale non e' canonico. L'isomorfismo e' canonico se e solo se il gruppo fondamentale e' abeliano. Gruppo fondamentale del prodotto di due spazi topologici. Ogni applicazione continua f tra spazi topologici X, Y induce un omomorfismo tra i due gruppi fondamentali con punti base x e f(x) rispettivamente. Se A e' un retratto di X l'inclusione induce un omomorfismo iniettivo tra i gruppi fondamentali di A e di X. Se A e' un retratto di deformazione (forte) di X l'inclusione induce un isomorfismo tra i gruppi fondamentali. Esempi.

Mercoledi' 8/3/2017 14-15
Esercizi sul gruppo fondamentale.

Giovedi' 9/3/2017 9-11
Proprieta' funtoriali. Se X e Y sono due spazi topologici e f e' un'applicazione continua da X in Y che e' un'equivalenza omotopica, allora f induce un isomorfismo tra il gruppo fondamentale di X con punto base a sul gruppo fondamentale di Y con punto base f(a). Spazi semplicamente connessi. Se X e' contraibile, X e' semplicemente connesso. Cenni su categorie e funtori. Esempi. Il gruppoide fondamentale.

Lunedi' 13/3/2017 14-16
Numero di Lebesgue. Teorema di Van Kampen in versione semplificata: se X e' l'unione di due aperti connessi per archi A e B tali che l'intersezione di A con B e' connessa per archi e x e' un punto nell'intersezione, il gruppo fondamentale di X con punto base x e' generato dalle immagini dei gruppi fondamentali di A e di B con punti base x tramite gli omomorfismi indotti dalle inclusione di A e B in X. Con le ipotesi precedenti, se inoltre A e B sono semplicemente connessi, allora X e' semplicemente connesso. Proiezione stereografica. Le sfere S^n con n maggiore o uguale a 2 sono semplicemente connesse. Lo spazio proietivo complesso di dimensione n e' semplicemente connesso.

Martedi' 14/3/2017 14-16
Esercizi di calcolo del gruppo fondamentale. Mappa esponenziale dalla retta reale sulla circonferenza unitaria S^1. Ogni punto di S^1 ha un intorno aperto banalizzante.

Mercoledi' 15/3/2017 14-15
Lemma di sollevamento dei cammini per la mappa esponenziale e sollevamento dell'omotopia.

Giovedi' 16/3/2017 11-13
Gruppo fondamentale della circonferenza. Conseguenze: teorema fondamentale dell'algebra, teorema del punto fisso di Brouwer. Gruppi liberi.

Lunedi' 20/3/2017 14-16
Gruppi liberi e prodotti liberi di gruppi. Teorema di Van Kampen (con due aperti).

Martedi' 21/3/2017 14-16
Conseguenze di Van Kampen. Esercizi: gruppo fondamentale di un bouquet di circonferenze, del piano meno un numero finito di punti, del toro. Gli spazi proiettivi reali P^n(R) come quozienti di S^n.

Mercoledi' 22/3/2017 14-15
Gruppo fondamentale del piano proiettivo reale e della bottiglia di Klein. La retta proiettiva reale e' omeomorfa a S^1.

Giovedi' 23/3/2017 11-13
La retta proiettiva complessa e' omeomorfa a S^2. Gruppo fondamentale degli spazi proiettivi reali. Esercizi sul gruppo fondamentale.

Lunedi' 10/4/2017 14-16
Gruppi topologici. Esempi. Lo spazio GL(n,R)^+ delle matrici invertibili reali con determinante positivo e lo spazio GL(n, C) delle matrici complesse invertibili nxn sono connessi. SL(n,R) e SL(n,C) sono connessi GL(n,R) ha esattamente due componenti connesse. SO(n), U(n) e SU(n) sono gruppi topologici compatti e connessi.

Martedi' 11/4/2017 14-16
Richiami sulle identificazioni e sulla topologia quoziente. SO(3) e' omeomorfo allo spazio proiettivo reale P^3(R). Quindi il gruppo fondamentale di SO(3) e' isomorfo a Z/2Z. SU(2) e' omeomorfo alla sfera S^3, quindi e' semplicemente connesso. Esiste un omeomorfismo continuo e suriettivo di SU(2) su SO(3) con nucleo uguale a {I,-I}. Quindi SU(2)/{I,-I} e' omeomorfo a SO(3). La sfera S^2 non e' pettinabile. Esercizi.