CORSO DI ALGEBRA LINEARE

Anno Accademico 2019-2020
 
Registro delle lezioni

Mercoledi'  9/10/2019 9-12
I numeri complessi. Definizione delle operazioni di somma e prodotto.Coniugato di un numero complesso, modulo di un numero complesso e loro proprieta'. L'inverso di un numero complesso non nullo. I numeri complessi sono un campo. Rappresentazione trigonometrica di un numero complesso e forma esponenziale di un numero complesso. Esempi di calcolo di rappresentazioni trigonometriche. Soluzione dell'equazione x^2 = w, dove w e' un numero complesso fissato. Radici n-esime dell'unita'. Enunciato del teorema fondamentale dell'algebra.

Martedi'  15/10/2019 14-15
Esempi di spazi vettoriali di dimensione infinita. Lo spazio dei polinomi a coefficienti in un campo. Lo spazio delle funzioni da un insieme a valori in un campo. Esempi di insiemi di vettori linearmente indipendenti, di sistemi di generatori e di basi.

Mercoledi'  16/10/2019 10-12
Esempi di spazi vettoriali e di insiemi di vettori linearmente indipendenti di cardinalita' numerabile e non numerabile che non sono sistemi di generatori. Matrici a coefficienti in un campo. Somma di due matrici, prodotto per scalare. Mat(mxn, K) e' uno spazio vettoriale su K. Prodotto righe per colonne. Esempi. Proprieta' della somma e del prodotto righe per colonne.

Lunedi'  21/10/2019 11-13
Matrice identita'. Trasposta di una matrice. Matrici invertibili. L'insieme delle matrici invertibili e' un gruppo non abeliano con il prodotto righe per colonne. Coordinate di un vettore rispetto ad una base. Matrice di cambiamento di base. Esempi di calcolo delle coordinate di un vettore rispetto a diverse basi e di matrici di cambiamento di base.

Mercoledi'  30/10/2019 10-12
Matrici associate ad applicazioni lineari. Matrici equivalenti e matrici simili. Significato in termini di applicazioni lineari e di cambiamento di basi. Esempi.

Lunedi'  4/11/2019 11-13
Nucleo e immagine di un'applicazione lineare. L'immagine e il nucleo di un'applicazione lineare sono sottospazi vettoriali rispettivamente dello spazio di arrivo e di quello di partenza. Un'applicazione lineare e' iniettiva se e solo se il suo nucleo e' banale. Dimostrazione del teorema della dimensione e conseguenze. Il rango di una matrice. Se A e' una matrice quadrata nxn, allora A e' invertibile se e solo se A ha nucleo banale se e solo se A ha rango n se e solo se le colonne di A formano una base di K^n se e solo se le righe di A formano una base di K^n. Esercizi su nucleo, immagine, rango.

Lunedi'  11/11/2019 11-13
Problemi lineari e sistemi lineari e loro soluzioni. Teorema di Rouche' Capelli. Il rango di una matrice e' il massimo numero di righe linearmente indipendenti. Metodo di Gauss per righe. Esempi. Calcolo della matrice inversa di una matrice invertibile tramite il metodo di Gauss.

Martedi'  12/11/2019 14-15
Esercizi sui sistemi lineari. Sistemi lineari dipendenti da un parametro reale.

Mercoledi'  20/11/2019 10-12
Matrici simili hanno gli stessi autovalori e lo stesso polinomio caratteristico. Tarccia di una matrice. La traccia e' lineare, la traccia di una matrice e' uguale a quella della trasposta, traccia(AB) = traccia(BA). Matrici diagonalizzabili. Una matrice nxn a coefficienti in K e' diagonalizzabile se e solo se esiste una base di K^n fatta da autovettori di A. Definizione di molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore.

Martedi'  26/11/2019 14-15
Dimostrazione del teorema di Cayley Hamilton.

Mercoledi'  27/11/2019 10-12
Conseguenze di Cayley Hamilton. Matrici nilpotenti: proprieta'. Esempi. Enunciato del teorema della forma canonica di Jordan per un operatore lineare su uno spazio vettoriale complesso di dimensione finita.

Mercoledi'  4/12/2019 10-12
Definizione ed esempi di spazi affini. Sistemi di riferimento affini. Sottospazi affini passanti per un punto e con data giacitura. Sottospazi affini generati da N+1 punti. Punti affinemente indipendenti. Equazioni parametriche e cartesiane di un sottospazio affine.

Martedi'  10/12/2019 14-15
Sottospazi affini paralleli e sottospazi affini sghembi. Spazi affini di dimensione due e tre. Equazioni parametriche e cartesiane di rette nel piano e di rette e piani nello spazio.

Mercoledi'  11/12/2019 10-12
Posizioni reciproche di due rette nel piano, di una retta e di un piano nello spazio e di due rette nello spazio in termini sia delle equazioni parametriche che di quelle cartesiane.

Mercoledi'  16/12/2019 10-12
Spazi affini euclidei. Distanza tra un punto e una retta e tra due rette prallele nel piano. Nello spazio: distanza di un punto da un piano, distanza tra una retta e un piano paralleli, distanza di un punto da una retta, distanza tra due rette sghembe. Sfere. Distanza di un punto da una sfera nello spazio affine.

Giovedi'  9/1/2020 11-13
Esercizi su tutto il programma.