CORSO DI ALGEBRA LINEARE

Anno Accademico 2018-2019
 
Registro delle lezioni

Lunedi'  1/10/2018 11-13
Introduzione al linguaggio della teoria degli insiemi. Connettivi logici, proposizioni, quantificatori, predicati, relazioni. Insiemi, appartenenza di un elemento ad un insieme, inclusione, uguaglianza tra insiemi, insieme vuoto. Operazioni tra insiemi: intersezione ed unione, differenza. Proprieta' dell'unione e dell'intersezione, leggi di De Morgan. Insieme delle parti, complementare di un sottoinsieme. Esempi. Prodotto cartesiano.

Martedi'  2/10/2018 14-15
Applicazioni tra insiemi. Immagine di un sottoinsieme tramite un'applicazione. Applicazioni suriettive e iniettive. Esempi.Composizione di due applicazioni. Associativita' della composizione.

Mercoledi'  3/10/2018 10-12
Applicazioni bigettive e applicazioni invertibili. Un'applicazione e' invertibile se e solo se e' bigettiva. Se un'applicazione e' invertibile, l'inversa e' unica. Immagine inversa di un un insieme tramite un'applicazione. L'immagine dell'unione e' l'unione delle immagini. L'immagine dell'intersezione e' contenuta nell'intersezione delle immagini. Vale l'uguaglianza se l'applicazione e' iniettiva. Proprieta' dell'immagine inversa. Esempi. Relazioni di equivalenza: definizione ed esempi.

Venerdi'  5/10/2018 10-12
Esempi di relazioni di equivalenza. Due classi di equivalenza o sono uguali o sono disgiunte. Le classi di equivalenza danno una partizione dell'insieme. Quoziente di un insieme per una relazione di equivalenza. Assioma della scelta. Preordinamenti e ordinamenti.

Martedi'  9/10/2018 14-15
Preordinamenti e ordinamenti. Esempi. Ordinamenti totali. Enunciato del Lemma di Zorn. Esempi di gruppi: Z/nZ.

Venerdi'  26/10/2018 14-15
Esercizi su insiemi di vettori linearmente indipendenti, insiemi di genaratori, besi, cambiamento di coordinate, sottospazi vettoriali e somme di sottospazi. Esempi di spazi vettoriali di dimensione infinita ed esempi di insiemi infiniti di vettori linearmente indipendenti che non sono sistemi di generatori.

Mercoledi'  7/11/2018 11-12
Esercizi su applicazioni lineari e matrici associate ad applicazioni lineari rispetto a delle basi. Matrici simili e equivalenti.

Lunedi'  12/11/2018 9-11
Problemi lineari e sistemi lineari e loro soluzioni. Teorema di Rouche' Capelli. Metodo di Gauss per righe. Esempi. Il rango di una matrice e' il massimo numero di righe linearmente indipendenti.

Martedi'  13/11/2018 9-11
Esercizi sui sistemi lineari. Calcolo della matrice inversa di una matrice invertibile tramite il metodo di Gauss. Applicazioni multilineari: definizione ed esempi.

Martedi'  13/11/2018 14-15
Forme multilineari simmetriche e alternanti. Definizione del determinante di una matrice per ricorrenza tramite lo sviluppo di Laplace per la prima riga. Esempi di calcolo del determinante.

Mercoledi'  14/11/2018 9-12
Il determinante e' una forma multilineare nelle colonne. Il determinante e' alternante nelle colonne. Teorema di caratterizzazione del determinante: il determinante e' l'unica applicazione multilineare alternante nelle colonne che vale 1 sulla matrice identita'. Formula del determinante con le permutazioni. Teorema di Binet. Teorema del rango: una matrice nxn ha rango n se e solo se il suo determinante e' diverso da zero. Una matrice ha rango r se e solo se esiste un minore rxr invertibile e tutti i minori di ordine maggiore di r hanno determinante uguale a 0.

Giovedi'  15/11/2018 9-11
Sviluppo di Laplace per righe. Il determinante e' multilineare e alternante nelle righe. Il determinante di una matrice e' uguale al determinante della sua trasposta. Sviluppo di Laplace per colonne. Calcolo della matrice inversa di una matrice invertibile utilizzando la matrice aggiunta. Esempi ed esercizi su rango e determinante.

Venerdi'  16/11/2018 9-11
Esercizi su rango e sistemi lineari. Lo spazio duale di uno spazio vettoriale. Base duale. Duale di un'applicazione lineare. Sia F:V-->W un'applicazione lineare, sia B una base di V, B' una base di W e A la matrice associata a F nelle basi B e B'. La matrice associata alla duale di F nelle basi duali e' la trasposta di A.

Mercoledi'  5/12/2018 10-12
Definizione ed esempi di spazi affini. Sistemi di riferimento affini. Sottospazi affini passanti per un punto e con data giacitura. Sottospazi affini generati da N+1 punti. Punti affinemente indipendenti. Equazioni parametriche e cartesiane di un sottospazio affine.

Venerdi'  14/12/2018 9-11
Spazi affini di dimensione due e tre. Equazioni parametriche e cartesiane di rette nel piano e di rette e piani nello spazio. Posizioni reciproche di due rette nel piano, di una retta e di un piano nello spazio e di due rette nello spazio in termini sia delle equazioni parametriche che di quelle cartesiane.

Martedi'  18/12/2018 14-15
Spazi affini euclidei. Distanza tra un punto e una retta e tra due rette prallele nel piano. Nello spazio: distanza di un punto da un piano, distanza tra una retta e un piano paralleli, distanza di un punto da una retta, distanza tra due rette non parallele.