CORSO DI ALGEBRA LINEARE

Anno Accademico 2017-2018
 
Registro delle lezioni

Lunedi'  2/10/2017 11-13
Introduzione al linguaggio della teoria degli insiemi. Connettivi logici, proposizioni, quantificatori, predicati, relazioni. Insiemi, appartenenza di un elemento ad un insieme, inclusione, uguaglianza tra insiemi, insieme vuoto. Operazioni tra insiemi: intersezione ed unione, differenza. Proprieta' dell'unione e dell'intersezione, leggi di De Morgan. Insieme delle parti, complementare di un sottoinsieme. Esempi. Prodotto cartesiano. Applicazioni tra insiemi. Immagine di un sottoinsieme tramite un'applicazione. Applicazioni suriettive e iniettive.

Martedi'  3/10/2017 14-15
Applicazioni iniettive, suriettive, biunivoche. Esempi.Composizione di due applicazioni. Associativita' della composizione. Esempi. Applicazioni invertibili. Un'applicazione e' invertibile se e solo se e' bigettiva.

Mercoledi'  4/10/2017 10-12
Se un'applicazione e' invertibile, l'inversa e' unica. Immagine inversa di un un insieme tramite un'applicazione. L'immagine dell'unione e' l'unione delle immagini. L'immagine dell'intersezione e' contenuta nell'intersezione delle immagini. Vale l'uguaglianza se l'applicazione e' iniettiva. Proprieta' dell'immagine inversa. Esempi. Relazioni di equivalenza: definizione ed esempi. Due classi di equivalenza o sono uguali o sono disgiunte. Le classi di equivalenza danno una partizione dell'insieme.


Lunedi'   9/10/2017 11-13
Esempi di relazioni di equivalenza. Quoziente di un insieme per una relazione di equivalenza. Assioma della scelta. Preordinamenti e ordinamenti. Esempi. Ordinamenti totali. Enunciato del Lemma di Zorn.


Martedi'   10/10/2017 14-15
Gruppi. Definizione di gruppo, proprieta' ed esempi.


Mercoledi'   11/10/2017 10-12
Esempi di gruppi: il gruppo delle unita' dei quaternioni, gruppi di permutazioni, Z/nZ. Prodotto diretto di due gruppi. Esercizi. Definizione di anello commutativo con unita' e di campo. Esempi.


Lunedi'   16/10/2017 11-13
Definizione di spazio vettoriale su un campo K. Esempi di spazi vettoriali: vettori geometrici nel piano, K^n, polinomi a coefficienti in un campo, applicazioni da un insieme a valori in un campo. Combinazioni lineari.


Martedi'   17/10/2017 14-15
Sistemi di generatori. Esempi. Indipendenza lineare. Esempi di insiemi di vettori linearmemte indipendenti e non linearmente indipendenti.


Mercoledi'   18/10/2017 10-12
Definizione di base di uno spazio vettoriale. Se un insieme S={v_1,...,v_n} e' un sistema di generatori ma non e' una base, esiste un i tra 1 e n tale che S-{v_i} e' ancora un sistema di generatori. Se ho un insieme S di vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale V che non e' una base di V, esiste un v in V tale che S U {v} e' ancora un insieme linearmente indipendente. Teorema dello scambio. Due basi hanno la stessa cardinalita'. Se uno spazio vettoriale e' finitamente generato, esiste una base.


Lunedi'   23/10/2017 11-13
Dimensione di uno spazio vettoriale. Esempi di spazi vettoriali di dimensione infinita. Esempi di insiemi linearmente indipendenti di cardinalita' numerabile e non numerabile. Coordinate di un vettore rispetto ad una b\ ase. Esempi. Matrici mxn a coefficienti in un campo. Somma di due matrici, prodotto per scalare. Mat(mxn, K) e' uno spazio vettoriale su K.


Martedi'   24/10/2017 14-15
Prodotto righe per colonne. Esempi. Proprieta' della somma e del prodotto righe per colonne. Matrice identita'.


Mercoledi'   25/10/2017 10-12
Trasposta di una matrice. Matrici invertibili. L'insieme delle matrici invertibili e' un gruppo non abeliano con il prodotto righe per colonne. Definizione di sottospazio vettoriale e primi esempi. Esempi ed esercizi sui sottospazi vettoriali. Il sottospazio generato (o Span) di un insieme di vettori. Proprieta' ed esempi. Intersezione di sottospazi e' un sottospazio.


Lunedi'   30/10/2017 11-13
L'unione di sottospazi non e' un sottospazio. Definizione di somma di sottospazi. La somma di sottospazi e' un sottospazio. Somma diretta di due sottospazi. Esempi. Dimostrazione della formula di Grassmann. Somma e somma diretta di k spazi vettoriali.


Martedi'   31/10/2017 14-15
Applicazioni lineari. Definizione ed esempi. Un'applicazione lineare e' determinata dall'immagine degli elementi di una base.


Lunedi'   6/11/2017 11-13
Matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto a una base in partenza e una in arrivo. Esempi di applicazioni lineari. La composizione di applicazioni lineari e' lineare. Se un'applicazione lineare e' biunivoca, la sua inversa e' lineare. Isomorfismi. Esempi.


Martedi'   7/11/2017 14-15
Esempi di calcolo della matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto ad una base in partenza e una in arrivo. Matrice di cambiamento di base.


Mercoledi'   8/11/2017 10-12
Matrici associate ad applicazioni lineari. Matrici equivalenti e matrici simili. Significato in termini di applicazioni lineari e di cambiamento di basi. Esempi.


Martedi'   14/11/2017 9-11
Nucleo e immagine di un'applicazione lineare. L'immagine e il nucleo di un'applicazione lineare sono sottospazi vettoriali rispettivamente dello spazio di arrivo e di quello di partenza. Un'applicazione lineare e' iniettiva se e solo se il suo nucleo e' banale. Dimostrazione del teorema della dimensione e conseguenze. Il rango di una matrice. Se A e' una matrice quadrata nxn, allora A e' invertibile se e solo se A ha nucleo banale se e solo se A ha rango n se e solo se le colonne di A formano una base di K^n se e solo se le righe di A formano una base di K^n. Esercizi su nucleo, immagine, rango.


Mercoledi'   15/11/2017 9-12
Due matrici sono equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango. Esercizi sulle matrici e sul rango. Definizione di applicazione multilineare. Forme multilineari simmetriche e alternanti. Esempi. Definizione del determinante di una matrice per ricorrenza tramite lo sviluppo di Laplace per la prima riga. Esempi di calcolo del determinante. Il determinante e' una forma multilineare nelle colonne.


Giovedi'   16/11/2017 9-11
Il determinante e' alternante nelle colonne. Teorema di caratterizzazione del determinante: il determinante e' l'unica applicazione multilineare alternante nelle colonne che vale 1 sulla matrice identita'. Formula del determinante con le permutazioni. Teorema di Binet. Teorema del rango: una matrice nxn ha rango n se e solo se il suo determinante e' diverso da zero. Sviluppo di Laplace per righe.


Lunedi'   20/11/2017 11-13
Il determinante di una matrice e' uguale al determinante della sua trasposta. Sviluppo di Laplace per colonne. Calcolo della matrice inversa di una matrice invertibile utilizzando la matrice aggiunta. Esempi.Una matrice mxn ha rango r se e solo se esiste un minore rxr invertibile e tutti i minori di ordine maggiore di r hanno determinante uguale a zero.


Martedi'   21/11/2017 14-15
Autovalori e autovettori di un operatore lineare e di una matrice. Autospazi. Matrici simili hanno gli stessi autovalori. Polinomio caratteristico.


Mercoledi'   22/11/2017 10-12
Polinomio caratteristico. Traccia di una matrice. Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico. Esempi ed esercizi sulla traccia di una matrice e sul polinomio caratteristico. Matrici diagonalizzabili. Una matrice nxn a coefficienti in K e' diagonalizzabile se e solo se esiste una base di K^n fatta da autovettori. Autospazi relativi ad autovalori distinti sono in somma diretta.


Lunedi'   27/11/2017 11-13
Molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore. La molteplicita' geometrica di un autovalore e' minore o uguale alla molteplicita' algebrica. Una matrice nxn a coefficienti in K e' diagonalizzabile e e solo se il polinomio caratteristico si fattorizza come prodotto di fattori lineari e per ogni autovalore, la molteplicita' algebrica e' uguale a quella geometrica. Esercizi sulla diagonalizzazione.


Martedi'   28/11/2017 14-15
Esercizi sulla diagonalizzazione. Enunciato del teorema di Cayley Hamilton.


Mercoledi'   29/11/2017 10-12
Matrici nilpotenti. Esercizi. Lo spazio duale di uno spazio vettoriale. Base duale. Duale di un'applicazione lineare. Forme bilineari da V x W in K. Matrice associata ad una forma bilineare rispetto ad una base di V e una di W. Cambiamento di base. Matrici congruenti.


Lunedi'   11/12/2017 9-11
Forme bilineari non degeneri. Spazio nullo. Sia A una matrice simmetrica o antisimmetrica, allora l'applicazione bilineare associata e' non degenere se e solo se A e' invertibile. Esempi. Forma quadratica associata ad una forma bilineare simmetrica. Se K e' un campo di caratteristica diversa da due, su K^n c'e' una corrispondenza biunivoca tra forma bilineari simmetriche, forma quadratiche e matrici simmetriche. Teorema di Lagrange: data una forma quadratica q da V in K, esiste una base di V ortogonale per q. Ogni matrice simmetrica e' congruente ad una matrice diagonale. Esempi. Sul campo dei numeri complessi due matrici simmetriche sono congruenti se e solo se hanno lo stesso rango.


Martedi'   12/12/2017 14-15
Forme quadratiche reali. Segnatura. La segnatura e' invariante per congruenza. Le matrici diagonali con I_s, -I_k e 0 sulla diagonale hanno segnatura (s,k).


Mercoledi'   13/12/2017 10-12
Teorema di Sylvester. Criteri per il calcolo della segnatura di una forma quadratica reale. Criterio dei minori principali. Esercizi sul calcolo della segnatura.


Lunedi'   18/12/2017 11-13
Spazi vettoriali euclidei. Ortogonalizzazione di Gram- Schmidt. Distanza indotta e proprieta'. Disuguaglianza di Schwarz e disuguaglianza triangolare. Matrici ortogonali. Caratterizzazioni delle matrici ortogonali. Ortogonale di un sottospazio rispetto ad un prodotto scalare (definito positivo) e proprieta'.


Martedi'   19/12/2017 14-15
Forme Hermitiane, spazi vettoriali Hermitianie proprieta'. Il prodotto Hermitiano standard. Basi unitarie. Matrici Hermitiane, unitarie, normali. Aggiunto di un operatore lineare rispetto ad un prodotto Hermitiano. Operatori autoaggiunti, unitari, normali.


Mercoledi'   20/12/2017 10-12
Una matrice quadrata ha il polinomio caratteristico che si fattorizza come prodotto di fattori lineari se e solo se e'simile ad una matrice triangolare superiore. Una matrice quadrata a coefficienti reali ha polinomio caratteristico che si fattorizza come prodotto di fattori lineari se e solo se e' ortogonalmente simile ad una matrice triangolare superiore. Una matrice quadrata complessa e' unitariamente simile ad una matrice triangolare superiore. Teorema spettrale per matrici normali. Una matrice Hermitiana ha tutti gli autovalori reali. Teorema spettrale reale. Conseguenze.


Mercoledi'   10/1/2018 9-12
Esercizi su tutto il programma.