CORSO DI ALGEBRA LINEARE

Anno Accademico 2016-2017
 
Registro delle lezioni

Lunedi'  3/10/2016 11-13
Introduzione al linguaggio della teoria degli insiemi. Connettivi logici, proposizioni, quantificatori, predicati, relazioni. Insiemi, appartenenza di un elemento ad un insieme, inclusione, uguaglianza tra insiemi, insieme vuoto. Operazioni tra insiemi: intersezione ed unione, differenza. Proprieta' dell'unione e dell'intersezione, leggi di De Morgan. Insieme delle parti, complementare di un sottoinsieme. Esempi. Prodotto cartesiano. Applicazioni tra insiemi.

Martedi'  4/10/2016 14-15
Applicazioni iniettive, suriettive, biunivoche. Esempi.Composizione di due applicazioni. Associativita' della composizione. Esempi. Applicazioni invertibili.

Mercoledi'  5/10/2016 10-12
Un'applicazione e' invertibile se e solo se e' bigettiva. Se un'applicazione e' invertibile, l'inversa e' unica. Immagine di un insieme tramite un'applicazione. Immagine inversa di un un insieme tramite un'applicazione. L'immagine dell'unione e' l'unione delle immagini. L'immagine dell'intersezione e' contenuta nell'intersezione delle immagini. Proprieta' dell'immagine inversa. Esempi. Relazioni di equivalenza: definizione ed esempi.

Giovedi'  6/10/2016 9-11
Esempi di relazioni di equivalenza. Classi di equivalenza. Due classi di equivalenza o sono uguali o sono disgiunte. Le classi di equivalenza danno una partizione dell'insieme. Quoziente di un insieme per una relazione di equivalenza. Assioma della scelta. Preordinamenti e ordinamenti. Esempi. Ordinamenti totali.

Lunedi'  10/10/2016 11-13
Enunciato del Lemma di Zorn. Numeri naturali e principio di induzione. Dimostrazioni per induzione. Esempi. Cardinalita' di un insieme. Insiemi finiti. L'insieme dei numeri naturali non e' finito. Insiemi numerabili. Ogni insieme infinito contiene un insieme numerabile. Ogni insieme infinito puo' essere messo in corrispondenza biunivoca con una sua parte propria.

Martedi'  11/10/2016 14-15
Ogni insieme ha cardinalita' minore dell'insieme delle sue parti. L'insieme delle parti di N non e' numerabile. L'insieme dei numeri reali non e' numerabile. Gruppi. Definizione di gruppo, proprieta' ed esempi.

Mercoledi'  12/10/2016 10-12
Esempi di gruppi: permutazioni, Z/nZ, quaternioni, Vierergruppe di Klein. Definizione di campo. Esempi. Definizione di spazio vettoriale su un campo K. Esempi.

Martedi'  18/10/2016 14-15
Esempi di spazi vettoriali: K^n, polinomi a coefficienti in un campo, applicazioni da un insieme a valori in un campo. Combinazioni lineari, sistemi di generatori. Esempi.

Mercoledi'  19/10/2016 10-12
Esempi di insiemi di generatori. Indipendenza lineare. Esempi di insiemi di vettori linearmemte indipendenti e non linearmente indipendenti. Definizione di base di uno spazio vettoriale. Se un insieme S={v_1,...,v_n} e' un sistema di generatori ma non e' una base, esiste un i tra 1 e n tale che S-{v_i} e' ancora un sistema di generatori.

Giovedi'  20/10/2016 9-11
Se ho un insieme S di vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale V che non e' una base di V, esiste un v in V tale che S U {v} e' ancora un insieme linearmente indipendente. Teorema dello scambio. Due basi hanno la stessa cardinalita'. Se uno spazio vettoriale e' finitamente generato, esiste una base. Dimensione di uno spazio vettoriale. Coordinate di un vettore rispetto ad una base. Esempi.

Martedi'  25/10/2016 14-15
Esempi di insiemi linearmente indipendenti di cardinalita' numerabile e non numerabile. Matrici mxn a coefficienti in un campo. Somma di due matrici, prodotto per scalare. Mat(mxn, K) e' uno spazio vettoriale su K. Esempi.

Mercoledi'  26/10/2016 10-12
Prodotto righe per colonne. Proprieta' della somma e del prodotto righe per colonne. Trasposta di una matrice. Matrice identita'. Matrici invertibili. L'insieme delle matrici invertibili e' un gruppo non abeliano con il prodotto righe per colonne. Definizione di sottospazio vettoriale e primi esempi.

Giovedi'  27/10/2016 9-11
Esempi ed esercizi sui sottospazi vettoriali. Il sottospazio generato (o Span) di un insieme di vettori. Proprieta' ed esempi. Intersezione di sottospazi e' un sottospazio. L'unione di sottospazi non e' un sottospazio. Definizione di somma di sottospazi. La somma di sottospazi e' un sotospazio. Somma diretta di due sottospazi.

Mercoledi'  2/11/2016 10-12
Formula di Grassmann. Somma e somma diretta di k spazi vettoriali. Applicazioni lineari. Esempi. Matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto a una base in partenza e una in arrivo.

Giovedi'  3/11/2016 9-11
Esempi di calcolo della matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto a una base in partenza e una in arrivo. Esempi di applicazioni lineari. La composizione di applicazioni lineari e' lineare. Se un'applicazione lineare e' biunivoca, la sua inversa e' lineare. Matrice di cambiamento di base. Relazione tra due matrici associate alla stessa applicazione lineare rispetto a absi diverse in partenza e in arrivo.

Lunedi'  7/11/2016 11-13
Matrici associate ad applicazioni lineari. Matrici equivalenti e matrici simili. Significato in termini di applicazioni lineari e di cambiamento di basi. L'immagine e il nucleo di un'applicazione lineare sono sottospazi verroriali rispettivamente dello spazio di arrivo e di quello di partenza. Un'applicazione lineare e' iniettiva se e solo se il suo nucleo e' banale.

Martedi'  8/11/2016 14-15
Teorema della dimensione e conseguenze. Il rango di una matrice. Se A e' una matrice quadrata nxn, allora A e' invertibile se e solo se A ha nucleo banale se e solo se A ha rango n se e solo se le colonne di A formano una base di K^n se e solo se le righe di A formano una base di K^n.

Mercoledi'  9/11/2016 10-12
Due matrici sono equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango. Esercizi vari sulle matrici e sul rango. Definizione di applicazione multilineare.

Giovedi'  10/11/2016 9-11
Forme multilineari simmetriche e alternanti. Esempi. Definizione del determinante di una matrice per ricorrenza tramite lo sviluppo di Laplace per la prima riga. Esempi di calcolo del determinante. Il determinante e' una forma multilineare e alternante nelle colonne.

Mercoledi'  23/11/2016 10-12
Teorema di caratterizzazione del determinante: il determinante e' l'unica applicazione multilineare alternante nelle colonne che vale 1 sulla matrice identita'. Formula del determinante con le permutazioni. Teorema di Binet. Teorema del rango: una matrice nxn ha rango n se e solo se il suo determinante e' diverso da zero. Una matrice mxn ha rango r se e solo se esiste un minore rxr invertibile e tutti i minori di ordine maggiore di r hanno determinante uguale a zero.

Giovedi'  24/11/2016 9-11
Sviluppo di Laplace per righe. Il determinante di una matrice e' uguale al determinante della sua trasposta. Sviluppo di Laplace per colonne. Calcolo della matrice inversa di una matrice invertibile utilizzando la matrice aggiunta. Esempi. Esercizi sui sistemi lineari dipendenti da parametri.

Martedi'  29/11/2016 14-15
Autovalori e autovettori di un operatore lineare e di una matrice. Autospazi. Polinomio caratteristico. Traccia di una matrice. Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico. Esempi.

Mercoledi'  30/11/2016 10-12
Esercizi sulla traccia di una matrice e sul polinomio caratteristico. Matrici diagonalizzabili. Una matrice nxn a coefficienti in K e' diagonalizzabile se e solo se esiste una base di K^n fatta da autovettori. Molteplicita' algebrica e geometruca di un autovalore. Autospazi relativi ad autovalori distinti sono in somma diretta.

Giovedi'  1/12/2016 9-11
La molteplicita' geometrica di un autovalore e' minore o uguale alla molteplicita' algebrica. Una matrice nxn a coefficienti in K e' diagonalizzabile e e solo se il polinomio caratteristico si fattorizza come prodotto di fattori lineari e per ogni autovalore, la molteplicita' algebrica e' uguale a quella geometrica. Esercizi sulla diagonalizzazione.

Martedi'  6/12/2016 14-15
Esempi di calcolo del polinomio caratteristico. Enunciato del teorema di Cayley Hamilton. Conseguenze di Cayley Hamilton. Matrici nilpotenti.

Mercoledi'  7/12/2016 10-12
Lo spazio duale di uno spazio vettoriale. Base duale. Duale di un'applicazione lineare. Forme bilineari da V x W in K. Matrice associata ad una forma bilineare rispetto ad una base di V e una di W. Cambiamento di base. Matrici congruenti. Forme bilineari simmetriche e alternanti. Forme bilineari non degeneri. Spazio nullo, indice di nullita'. Sia A una matrice simmetrica o antisimmetrica, allora l'applicazione bilineare associata e' non degenere se e solo se A e' invertibile. Esempi.

Martedi'  13/12/2016 14-15
Forma quadratica associata ad una forma bilineare simmetrica. Se K e' un campo di caratteristica diversa da due, su K^n c'e' una corrispondenza biunivoca tra forma bilineari simmetriche, forma quadratiche e matrici simmetriche. Teorema di Lagrange: data una forma quadratica q da V in K, esiste una base di V ortogonale per q. Ogni matrice simmetrica e' congruente ad una matrice diagonale. Esempi.

Mercoledi'  14/12/2016 10-12
Sul campo dei numeri complessi due matrici simmetriche sono congruenti se e solo se hano lo stesso rango. Forma quadratiche reali. Segnatura. La segnatura e' invariante per congruenza. Teorema di Sylvester. Esempi. Criteri per il calcolo della segnatura.

Venerdi'  16/12/2016 9-11
Criteri per il calcolo della segnatura di una forma quadratica reale. Criterio dei minori principali. Esercizi sul calcolo della segnatura. Spazi vettoriali euclidei. Ortogonalizzazione di Gram- Schmidt.

Martedi'  20/12/2016 14-15
Spazi vettoriali euclidei. Distanza indotta e proprieta'. Disuguaglianza di Schwarz e disuguaglianza triangolare. Matrici ortogonali.

Martedi'  10/01/2017 14-15
Ortogonale di un sottospazio rispetto ad un prodotto scalare (definito positivo) e proprieta'. Prodotti Hermitiani, spazi vettoriali Hermitianie proprieta'. Il prodotto Hermitiano standard.

Giovedi'  12/01/2017 9-11
Basi unitarie. Matrici Hermitiane, unitarie, normali. Aggiunto di un operatore lineare rispetto ad un prodotto Hermitiano. Operatori autoaggiunti, unitari, normali. Una matrice quadrata ha il polinomio caratteristico che si fattorizza come prodotto di fattori lineari se e solo se e'simile ad una matrice triangolare superiore. Una matrice quadrata a coefficienti reali ha polinomio caratteristico che si fattorizza come prodotto di fattori lineari se e solo se e' ortogonalmente simile ad una matrice triangolare superiore. Una matrice quadrata complessa e' unitariamente simile ad una matrice triangolare superiore. Teorema spettrale per matrici normali.

Venerdi' 13/1/2016 9-11
Una matrice Hermitiana ha tutti gli autovalori reali. Teorema spettrale reale. Conseguenze. Esercizi su tutto il programma.