CORSO DI ALGEBRA LINEARE

Anno Accademico 2015-2016
 
Registro delle lezioni

Lunedi'  1/10/2015 9-11
Introduzione al linguaggio della teoria degli insiemi. Connettivi logici, proposizioni, quantificatori, predicati, relazioni. Insiemi, appartenenza di un elemento ad un insieme, inclusione, uguaglianza tra insiemi, insieme vuoto. Operazioni tra insiemi: intersezione ed unione, differenza. Proprieta' dell'unione e dell'intersezione, leggi di De Morgan. Esempi. Prodotto cartesiano. Applicazioni tra insiemi. Applicazioni iniettive, suriettive, biunivoche. Esempi. Insieme delle parti, complementare di un sottoinsieme.

Martedi'  2/10/2015 9-11
Composizione di due applicazioni. Associativita' della composizione. Esempi. Applicazioni invertibili. Un'applicazione e' invertibile se e solo se e' bigettiva. Se un'applicazione e' invertibile, l'inversa e' unica. Immagine di un insieme tramite un'applicazione. Immagine inversa di un un insieme tramite un'applicazione. L'immagine dell'unione e' l'unione delle immagini. L'immagine dell'intersezione e' contenuta nell'intersezione delle immagini. Proprieta' dell'immagine inversa. Esempi. Relazioni di equivalenza: definizione ed esempi. Classi di equivalenza. Due classi di equivalenza o sono uguali o sono disgiunte. Le classi di equivalenza danno una partizione dell'insieme.

Lunedi'   12/10/2015 11-13
Definizione di gruppo. Esempi: i numeri interi, razionali, reali, complessi con l'addizione, gruppi di permutazioni, interi modulo n. Definizione di campo. Esempi.

Martedi'   13/10/2015 14-15
Definizione di spazio vettoriale su un campo K. Esempi: vettori geometrici, K^n.

Giovedi'   15/10/2015 9-11
Esempi di spazi vettoriali: applicazioni da un insieme a valori in un campo, polinomi. Prime proprieta' degli spazi vettoriali. Combinazioni lineari. Sistemi di generatori. Esempi. Vettori linearmente indipendenti, proprieta' ed esempi.

Venerdi'   16/10/2015 9-11
Sistemi di generatori e sistemi di vettori linearmente indipendenti. Esempi e proprieta'. Definizione di base di uno spazio vettoriale. Esempi. Il teorema dello scambio. Due basi finite di uno spazio vettoriale hanno la stessa cardinalita'.

Martedi'   20/10/2015 14-15
Esercizi su sistemi di generatori, vettori linearmente indipendenti, basi. Esempi in dimensione infinita. Coordinate di un vettore rispetto ad una base. Esempi.

Giovedi'   22/10/2015 9-11
Matrici a coefficienti in un campo. Somme, prodotti righe per colonne e loro proprieta'.Esempi. Trasposta di una matrice. Matrici invertibili.

Venerdi'   23/10/2015 9-11
Sottospazi vettoriali. Esempi. Sottospazio generato da un insieme di vettori. L'intersezione di sottospazi e' un sottospazio. L'unione di sottospazi in generale non e' un sottospazio. Somma di sottospazi. Somma diretta. Dimostrazione della formula di Grassmann.

Martedi'   27/10/2015 14-15
Definizione di spazio quoziente rispetto ad un sottospazio. Struttura di spazo vettoriale sul quoziente. Se V ha dimensione finita e W e' un sottospazio di V allora dim(V/W) = dim(V) - dim(W). Definizione di applicazione lineare tra due spazi vettoriali. Esempi.

Giovedi'   29/10/2015 9-11
Un'applicazione lineare e' univocamente determinata dall'immagine dei vettori di una base. Esempi di applicazioni lineari. Matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto a basi in partenza e in arrivo. Esempi ed esercizi.

Venerdi'   30/10/2015 9-11
Proprieta' delle applicazioni lineari. L'insieme Hom(V,W) e' uno spazio vettoriale. Se V ha dimensione n e W ha dimensione m, Hom(V,W) ha dimensione mn. Isomorfismi tra spazi vettoriali. Se F e' un isomorfismo da V a W, le immagini dei vettori di una base di V danno una base di W. Due spazi vettoriali di dimensione finita sono isomorfi se o solo e hanno la stessa dimensione. Esercizi.

Martedi'   3/11/2015 14-15
Prodotto di spazi vettoriali. Definizione di matrici equivalenti, definizione di matrici simili. Significato in termini di applicazioni lineari e cambiamenti di base.

Giovedi'   5/11/2015 9-11
Immagine e nucleo di un'applicazione lineare. Teorema della dmensione. Quozienti, teorema di omomorfismo. Conseguenze del teorema della dimensione. Esempi.

Venerdi'   6/11/2015 9-11
Rango di una matrice. Se A e' una matrice quadrata nxn, allora A e' invertibile se e solo se A ha nucleo banale se e solo se A ha rango n se e solo se le colonne di A formano una base di K^n se e solo se le righe di A formano una base di K^n. Due matrici mxn sono equivalenti se e solo e hanno lo stesso rango. Esercizi vari su applicazioni lineari e rango di applicazioni lineari.

Martedi'   10/11/2015 14-15
Il rango di una matrice e' uguale alla dimensione dello spazio vettoriale generato dalle righe. Esercizi sui sistemi lineari.

Mercoledi'   11/11/2015 10-12
Esercizi su sistemi lineari e metodo di Gauss. Applicazioni multilineari, forme multilineari. Esempi. Forme multilineari simmetriche e alternanti. Esempi.

Giovedi'   12/11/2015 9-11
Determinante: definizione per induzione con la formula di Laplace sviluppando per la prima riga. Esempi di calcolo. Il determinante e' multilineare e alternante nelle colonne. Teorema di caratterizzazone del determinante come l'unica applicazione multilineare e alternante nelle colonne che vale 1 sulla matrice identica.

Martedi'   17/11/2015 14-15
Teorema di Binet. Una matrice nxn e' invertibile se e solo se il suo determinante e' diverso da zero. Una matrice mxn ha rango maggiore o uguale a r se e solo se esiste un minore rxr invertibile.

Mercoledi'   18/11/2015 10-12
Formula dello sviluppo di Laplace per qualsiasi riga. Il determinante di una matrice e' uguale a quello della sua trasposta. Sviluppo di Laplace per colonne. Formula per determinare l'inversa di una matrice invertibile. Esercizi su rango e determinante.

Giovedi'   19/11/2015 9-11
Duale di uno spazio vettoriale. Base duale. Duale di un'applicazione lineare. Se A e' la matrice associata ad una applicazione lineare rispetto a delle basi,la matrice associata alla duale dell'applicazione lineare nelle basi duali e' la trasposta di A. La duale della composizione di due applicazioni lineari e' la composizione delle duali in ordine inverso. Se F e' un'applicazione lineare da V a W, f sta in ker(F) se e solo se Im(F) e contenuta in ker(f); g sta in Im(F^*) se e solo e ker(F) e' contenuto in ker(g). In dimensione finita, la dimensione dell'immagine di F e del'immagine della duale sono uguali. F e' iniettiva (risp.suriettiva) se e solo la duale e' suriettiva (risp. iniettiva).

Mercoledi'   25/11/2015 10-12
Biduale. Autovalori e autovettori di un operatore lineare e di una matrice. Autospazi. Polinomio caratteristico. Traccia di una matrice. Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico. Esempi.

Giovedi'   26/11/2015 9-11
Esercizi su traccia e polinomio caratteristico. Esempi di calcolo di autovalori e autovettori. Matrici diagonalizzabili. Una matrice e' diagonalizzabile se e solo se c'e' una base fatta da autovettori. Molteplicita' geometrica e algebrica di un autovalore.

Giovedi'   3/12/2015 9-11
Autospazi relativi ad autovalori distinti sono in somma diretta. La molteplicita' geometrica di un autovalore e' minore o uguale alla molteplicita' algebrica. Una matrice nxn a coefficienti in K e' diagonalizzabile e e solo se ha tutti gli autovaori nel campo K e per ogni autovalore, la molteplicita' algebrica e' uguale a quella geometrica. Esercizi sulla diagonalizzazione.

Venerdi'   4/12/2015 9-11
Enunciato del teorema di Cayley-Hamilton. Conseguenze. Operatori nilpotenti. Esempi. Un operatore e' nilpotente se e solo se ha solo zero come autovalore. Applicazioni bilineari. Esempi. Matrice associata ad un'applicazione bilineare. Il caso simmetrico e alternante. Cambiamento di base, matrici congruenti. Applicazioni lineari non degeneri. Nullita'.

Giovedi'   10/12/2015 9-11
Esempi di applicazioni bilineari simmetriche nondegeneri. Prodotto scalare standard. Sia A una matrice simmetrica o antisimmetrica, allora l'applicazione bilineare associata e' non degenere se e solo se A e' invertibile. Forma quadratica associata ad un'applicazione bilineare simmetrica. In caratteristica diversa da due dare la forma quadratica e' equivalente a dare l'applicazione bilineare simmetrica. Insieme di vettori ortogonala rispetto ad una applicazione bilineare simmetrica. Teorema di Lagrange: data una forma bilineare simmetrica, esiste una base ortogonale per la forma. Quindi ogni matrice simmetrica e' congruente ad una matrice diagonale. Esempi. Rango di una forma quadratica. Sui complessi due matrici simmetriche sono congruenti se e solo se hanno lo stesso rango.Forme bilineari simmetriche reali semi-definite positive, negative, definite positive, negative e indefinite. Esempi.

Martedi'   15/12/2015 14-15
Segnatura di una forma bilineare simmetrica reale. La segnatura e' invariante per congruenza. Teorema di Sylvester.

Mercoledi'   16/12/2015 10-12
Criterio per il calcolo della segnatura. Crierio dei minori principali.Esempi di calcolo della segnatura. Spazi vettoriali euclidei. Ortgonalizzazione di Gram-Schmidt.

Giovedi'   17/12/2015 9-11
Dato uno spazio vettoriale euclideo e un sottospazio di dimensione finita, esiste una base ortonormale del sottospazio. In dimensione finita ogni sistema ortogonale (ortonormale) si puo' completare ad una base ortogonale (ortonormale). Coefficienti di un vettore rispetto ad una base ortogonale (ortonormale). Disuguaglianza di Schwarz. Disuguaglianza triangolare. Distanza euclidea. Il gruppo ortogonale. Isometrie. Ortogonale di un sottospazio rispetto ad un prodotto scalare (definito positivo) e proprieta'. Esempi.

Martedi'   12/1/2016 14-15
Prodotti Hermitiani, spazi vettoriali Hermitianie proprieta'. Il prodotto Hermitiano standard. Basi unitarie. Matrici Hermitiane, unitarie, normali. Aggiunto di un operatore lineare rispetto ad un prodotto Hermitiano. Operatori autoaggiunti, unitari, normali.

Mercoledi'   13/1/2016 10-12
Una matrice quadrata ha tutti gli autovalori nel campo se e solo se e'simile ad una matrice triangolare superiore. Una matrice quadrata a coefficienti reali ha tutti gli autovalori reali se e solo se e'ortogonalmente simile ad una matrice triangolare superiore. Una matrice quadrata complessa e' unitariamente simile ad una matrice triangolare superiore. Teorema spettrale per matrici normali. Conseguenze. Teorema spettrale reale.

Giovedi'   14/1/2016 9-11
Esercizi su tutto il programma.

Giovedi'   14/1/2016 14-16
Esercizi su tutto il programma.