CORSO DI CURVE ALGEBRICHE E SUPERFICI DI RIEMANN

Anno Accademico 2020-2021
 
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Lunedi'  1/3/2021 11.30-13.15
Definizione di superficie di Riemann. Esempi: aperti del piano, la sfera di Riemann, la retta proiettiva complessa, tori complessi. Le superfici di Riemann sono varieta' differenziabili di dimensione 2 orientabili.

Giovedi'  4/3/2021 9.30-11.15
Esempi di superfici di Riemann: grafici di funzioni olomorfe. Curve algebriche piane lisce affini, curve algebriche piane proiettive lisce. Funzioni olomorfe su un aperto di una superficie di Riemann. Esempi.

Lunedi'  8/3/2021 11.30-13.15 (online)
Esempi di funzioni olomorfe su superfici di Riemann. Funzioni meromorfe su superfici di Riemann. Ordine di una funzione meromorfa in un punto. Sulla sfera di Riemann le funzioni meromorfe sono le funzioni razionali. Se f e' una funzione meromorfa sulla sfera di Riemann, la somma degli zeri e poli contati con molteplicita' e' uguale a zero. Su una superficie di Riemann compatta ogni funzione olomorfa e' costante. Definizione di funzioni olomorfe tra superfici di Riemann e di biolomorfismi. Esempio: la retta proiettiva complessa e' biolomorfa alla sfera di Riemann. Le funzioni meromorfe sulla retta proiettiva complessa sono i rapporti di polinomi omogenei dello stesso grado.

Giovedi'  11/3/2021 9.30-11.15 (online)
Una applicazione olomorfa tra superfici di Riemann e' aperta. Se F :X --->Y e' una funzione olomorfa non costante tra superfici di Riemann e X e' compatta, allora F e' suriettiva e Y e' compatta. La contrommagine di un punto tramite un'applicazione olomorfa tra due superfici di Riemann X e Y e' un sottoinsieme discreto di X e se X e' compatta, e' sempre non vuoto e finito. C'e' una corrispondenza biunivoca tra funzioni olomorfe su una superficie di Riemann X e applicazioni olomorfe da X a valori nella sfera di Riemann. Mappe olomorfe tra tori complessi. Teorema di forma normale locale. Teorema della funzione inversa per funzioni olomorfe.

Lunedi'  15/3/2021 11.30-13.15 (online)
Molteplicita' in un punto di una applicazione olomorfa tra superfici di Riemann. Esempi. Punti critici e valori critici. Esempi sulle curve algebriche piane. Legame tra l'ordine di zero e di polo di una funzione meromorfa su una superficie di Riemann X e molteplicita' in un punto della mappa olomorfa sulla sfera di Riemann associata. Il grado di una mappa olomorfa tra superfici di Riemann compatte. Una mappa olomorfa tra superfici di Riemann compatte ha grado 1 se e solo se e' un isomorfismo. Una superficie di Riemann compatta che ha una funzione meromorfa con un unico polo di ordine -1 e' biolomorfa alla sfera di Riemann. Se F:X--->Y olomorfa non costante con X, Y compatte e B e' l'insieme dei valori critici di F e S e' la controimmagine di B la restrizione di F, F: X-S --->Y-B e' un rivestimento. Se f e' una funzione meromorfa non costante su una superficie di Riemann compatta X, allora la somma degli ordini di f negli zeri e nei poli di f e' zero.

Giovedi'  18/3/2021 9.30-11.15 (online)
Formula di Riemann-Hurwitz. Esempi ed esercizi. La curva di Fermat di grado d ha genere (d-1)(d-2)/2. Incollamento di due superfici di Riemann X e Y lungo due aperti U, V (rispettivamente in X e Y) non vuoti e biolomorfi. Se lo spazio Z che si ottiene incollando e' di Hausdorff, e' una superficie di Riemann. Inoltre c'e' una sola struttura complessa su Z tale che le inclusioni di X e di Y in Z siano olomorfe.

Lunedi'  22/3/2021 11.30-13.15 (online)
Superfici di Riemann iperellittiche. Funzioni meromorfe su superfici di Riemann iperellittiche. Conseguenze di Riemann-Hurwitz. 1-Forme olomorfe e 1-forme meromorfe su una superficie di Riemann.

Giovedi'  25/3/2021 9.30-11.15 (online)
1-Forme su superfici di Riemann. Forme di tipo (1,0) e di tipo (0,1). Pulback di 1-forme tramite funzioni olomorfe. Divisori. Divisoro principali, grado di un divisore su una superficie di Riemann compatta. I divisori principali sulle superfici di Riemann compatte hanno grado zero. Esempi. Divisori canonici. I divisori canonici sulla sfera di Riemann hanno tutti grado -2. Date due 1-forme meromorfe W_1 e W_2 con W_1 non nulla, su una superficie di Riemann X, esiste un'unica funzione meromorfa su X tale che W_2 = f W_1. Quindi due divisori canonici differiscono per un divisore prencipale. Se X e' compatta, due divisori canonici hanno lo stesso grado.

Lunedi'  29/3/2021 11.30-13.15 (online)
Se X e' una superficie di Riemann compatta di genere g che ammette una funzione meromorfa non costante, allora c'e un divire canonico su X di grado 2g-2 e ogni divisore canonico su X ha grado 2g-2. Pullback d un divisore tramite un'applicazione olomorfa. Proprieta' del pullback. Il pullback di un divisore principale e' principale. Se X e Y sono compatte e F:X--->Y e' olomorfa, allora deg(F*(D)) = deg(F) deg(D) per ogni divisore D su Y. Divisore di ramificazione e di diramazione. Se F:X-->Y olomorfa non costante tra due superfici di Riemann e w e' una 1-forma meromorfa su Y non identicamente nulla, allora div(F*(w)) = F*(div(w)) + R_F, dove R_F e' il divisore di ramificazione. Divisori effettivi. Equivalenza lineare. Esempi: due divisori canonici sono linearmente equivalenti. I punti sulla sfera di Riemann sono linearmente equivalenti. I pullback di divisori linearmente equivalenti sono linearmente equivalenti. Sulla sfera di Riemann due divisori sono linearmente equivalenti se e solo se hanno lo stesso grado. Divisore di intersezione su una curva liscia proiettiva. Divisore iperpiano.

Giovedi'  8/4/2021 9.30-11.15 (online)
Divisore di intersezione su una curva liscia proiettiva. Divisori iperpiani. Due divisori iperpiani sono linearmente equivalenti, quindi hanno lo stesso grado. Grado di una una curva liscia proiettiva. Teorema di Bezout. Formula di Pluecker: il genere di una curva piana liscia proiettiva di grado d e' d(d-1)/2. Lo spazio vettoriale L(D) associato ad un divisore D su una superficie di Riemann: definizione e proprieta'. Se X e' compatta e deg(D)<0, allora L(D) = {0}. Il sistema lineare completo |D| associato ad un divisore D. Se X e' compatta c'e' una bigezione tra il proiettivizzato di L(D) e |D|, quindi e' possibile munire |D| di una struttura di spazio proiettivo.

Lunedi'  12/4/2021 11.30-13.15 (online)
Sistemi lineari su superfici di Riemann compatte. Se D_1 e D_2 sono divisori linearmente equivalenti, L(D_1) e' isomorfo a L(D_2). Gli spazi di 1-forme meromorfe L^1(D) associati ad un divisore D. L^1(D) e' isomorfo a L(K+D) dove K e' un divisore canonico. Descrizione di L(D) per ogbni divisore D sulla sfera di Riemann: se D ha grado maggiore o uguale a zero, dim(L(D)) = deg(D) +1. Se X e' una superficie di Riemann compatta, D e' un divisore e p e' un punto di X, allora o L(D-p) = L(D), o L(D-p) ha codimensione 1 in L(D). Inoltre Se D = P-N, con P, N effettivi con supporti disgiunti, allora L(D) ha dimensione finita, minore o uguale a deg(P) +1. Mappe olomorfe da superfici di Riemann compatte a valori in uno spazio proiettivo P^n. Mappe olomorfe date da n-uple di funzioni meromorfe su X non tutte identicamente nulle.

Giovedi'  15/4/2021 9.30-11.15
Ogni applicazione olomorfa da una superficie di Riemann compatta X a valori nello spazio proiettivo P^n e' l'applicazione olomorfa associata ad una f:=(f_0,...,f_n) con $f_i meromorfe su X non tutte nulle. Se f:=(f_0,...,f_n) e g:=(g_0,...,g_n) inducono la stessa applicazione olomorfa, esiste una funzione meromorfa non nulla h su X tale che per ogni i si ha: g_i = h f_i. Sistema lineare associato ad una funzione olomorfa da X in P^n. Data una funzione olomorfa x=da X in P^n con immagine non degenere, per ogni p in X esiste un divisore nel sistema lineare associato alla funzione che non ha p nel suo supporto. Punti base di un sistema lineare. Esempi. Sia Q un sottosistema lineare di |D|, associato ad un sottospazio vettoriale V si L(D), allora p e' un punto base di Q se e solo se V e' contenuto in L(D-p). In particolare p e' un punto base di |D| se e solo se L(D) = L(D-p). Quindi |D| e' senza punti base se e solo se per ogni p in X, dimL(D-p) = dimL(D) -1. Sulla sfera di Riemann ogni divisore di grado non negativo e' senza punti base. Divisore iperpiano associato ad una funzione olomorfa da X in P^n.

Lunedi'  19/4/2021 11.30-13.15
l sistema lineare associato au una mappa olomorfa F da una superficie di Riemann compatta X a valori in P^n e` dato da tutti i divisori iperpiani associati alla mappa, F^*(H), con H iperpiano in P^n. C'e' una corrispondenza biunivoca tra sistemi lineari senza punti base di dimensione n su X e mappe olomorfe F:X--->P^n con immagine non degenere a meno di cambiamenti di coordinate. Parte fissa e mobile di un sistema lineare completo |D|. Se F e' la parte fissa di |D|, L(D-F) = L(D). Se F e' la mappa olomorfa associata al sistema lineare completo senza punti base |D| e p,q sono due punti distinti in X, allora F(p) = F(q) se e solo se L(D-p-q) = L(D-p) = L(D-q). Quindi F e' iniettiva se e solo se, per ogni coppia di punti distinti p, q in X si ha: dim L(D-p-q) = dim L(D) -2.

Giovedi'  22/4/2021 9.30-11.15
Sia X superficie di Riemann compatta, D un divisoe su X tale che |D| sia senza punti base. Allora la mappa olomorfa F associata a |D| e' un embedding se e solo se per ogni coppia di punti p,q in X si ha: dim L(D-p-q) = dim L(D) -2. Un tale D si dice molto ampio. Se X e' la sfera di Riemann i divisori di grado maggiore di zero sono molto ampi. Se F: X --> P^n e' olomorfa non degenere e Im(F) =:Y e' una curva liscia proiettiva, allora per ogni iperpiano in P^n, si ha: deg(F^*(H)) = (deg F)(deg Y), dove deg F = deg(F:X--->Y). Esempi: la curva razionale normale di grado n. Espressione di una mappa olomorfa F data da un sistema lineare completo |D| senza punti base su X senza usare le coordinate: F: X ---> |D|^* = P(L(D))^* definita nel modo seguente: F(p) e' l'iperpiano in P(L(D)) dato da P(L(D-p) ), cioe' l'insieme dei divisori E in |D| tali che E-p sia effettivo.

Lunedi'  26/4/2021 11.30-13.15
Definizione di prefasci di gruppi (o di anelli) su uno spazio topologico. Definizione di fascio. Esempi di fasci e prefasci: fasci di funzioni e di forme su una varieta' differenziabile e su una superficie di Riemann, prefasci costanti, fasci localmente costanti, fasci grattacielo. Morfismi di fasci. Spighe di un fascio. Definizione di morfismo iniettivo e suriettivo. Prefascio nucleo di un morfismo. Il prefascio nucleo e' un fascio. Esempio di un morfismo di fasci suriettivo che non e' suriettivo sulle sezioni globali (mappa esponenziale su C^*).

Giovedi'  29/4/2021 9.30-11.15
Morfismi di fasci. Un morfismo di fasci e' un isomorfismo se e solo se e' iniettivo e suriettivo. Fascio associato ad un prefascio. Il fascio immagine e conucleo di un morfirmo f: F ->G come fasci associati ai prefasci U ->f(U) e U ->G(U)/f(U). Successioni esatte di fasci. Esempi. Cocatene di Cech di un fascio di gruppi abeliani su uno spazio topologico X rispetto ad un ricoprimento aperto di X. Operatore di cobordo.

Lunedi'  3/5/2021 11.30-13.15
Coomologia di Cech rispetto ad un ricoprimento aperto. Raffinamenti, mappe di raffinamento. Una mappa di raffinamento induce una mappa tra le cocatene che passa in coomologia. Due diverse mappe di raffinamento inducono la stessa mappa in coomologia. Sistemi diretti di gruppi e limiti diretti. Definizione di coomologia di Cech come limite diretto. Un morfismo di fasci induce un omomorfismo in coomologia.

Giovedi'  6/5/2021 9.30-11.15
Ad una successione esatta corta di complessi di gruppi abeliani si associa una successione esatta lunga in coomologia. Dato X uno spazio topologico paracompatto, ad una successione esatta corta di fasci si associa una successione esatta lunga in coomologia di Cech. Risoluzione di un fascio. Risoluzione aciclica. Enunciato del teorema di de Rham astratto.

Lunedi'  10/5/2021 11.30-13.15
Risoluzioni acicliche. Teorema di de Rham astratto. Fasci fini. Teorema di de Rham. La coomologia H^p(F) con p>0 di un fascio grattacielo F e' nulla. Esempi.

Giovedi'  13/5/2021 9.30-11.15
Enunciato del teorema di dualita' di Serre. Teorema di Riemann Roch. Conseguenze di Riemann Roch. Sia X una superficie di Riemann compatta di genere g. Se D e' un divisore su X di grado maggiore o uguale a 2g allora |D| e' senza punti base. Se il grado di D e' maggiore di 2g allora D e' molto ampio. Quindi ogni superficie di Riemann compatta di genere g e' biolomorfa ad una curva liscia proiettiva. Se p e' un punto su X allora dim L(p) >1 se e solo se X e' biolomorfa alla sfera di Riemann. Se X ha genere 0 allora X e' biolomorfa alla sfera di Riemann. Se X ha genere 1, allora X e' biolomorfa ad una cubica liscia piana. Se X ha genere 2 allora X e' iperellittica. Mappa canonica. Se g>0, allora il sistema lineare canonico e' senza punti base. Se g>2, allora la mappa canonica e' un embedding se e solo se X non e' iperellittica.

Lunedi'  17/5/2021 11.30-13.15
Mappa canonica per superfici di Riemann iperellittiche. Mappa canonica e curva canonica per superfici di Riemann compatte di genere 3 e di genere 4 non iperellittiche.

Giovedi'  20/5/2021 9.30-11.15
Teorema di Riemann Roch geometrico. Conseguenze. Divisori speciali e teorema di Clifford.

Lunedi'  24/5/2021 11.30-13.15
Fibrati in rette olomorfi su superfici di Riemann compatte. Cociclo associato ad un fibrato in rette olomorfo. Omomorfismi tra fibrati in rette olomorfi. I fibrati in rette olomorfi a meno di isomorfismo sono in bigezione con il primo gruppo di coomologia di Cech a valori nel fascio delle funzioni olomorfe mai nulle, H^1(X, O_X^*). Esempi: il fibrato banale, il fibrato tangente e il fibrato canonico. Fibrato L_D associato ad un divisore D. La mappa F che a D associa L_D e' un omomorfismo di gruppi da Div(X) in H^1(X, O_X^*). Il nucleo e' dato dal sottogruppo dei divisori principali. Quindi F induce un omomorfismo iniettivo tra il gruppo dei divisori modulo equivalenza lineare e il gruppo delle classi di isomorfismo dei fibrati in rette olomorfi su una superficie di Riemann compatta.

Giovedi'  27/5/2021 9.30-11.15
Sezioni olomorfe di fibrati in rette olomorfi su una superficie di Riemann compatta X. Se D e' un divisore su X e L_D e' il fibrato in rette associato a D, lo spazio L(D) e' isomorfo allo spazio delle sezioni olomorfe globali di L_D. Ogni fibrato in rette olomorfo su X e' il fibrato associato ad un divisore su X. Quindi c'e' un isomorfismo di gruppi tra il gruppo Div(X) /~ dei divisori modulo equivalenza lineare e il gruppo H^1(X, O_X^*) dei fibrati in rette olomorfi a meno di isomorfismo. Le sezioni olomorfe del fibrato canonico sono le 1-forme olomorfe.