registroalgebra-1-20-21

CORSO DI ALGEBRA 1

Anno Accademico 2020-2021

Registro delle lezioni

Giovedi' 1/10/2020 9-11
Numeri interi. Divisibilita'. Divisione con resto. Massimo comun divisore. Proprieta'e caratterizzazione. Identita' di Bezout. Interi coprimi.

Venerdi' 2/10/2020 11-12
Minimo comune multiplo tra due interi. Definizione, proprieta' e caratterizzazione.

Martedi' 6/10/2020 9-11
Numeri primi e teorema fondamentale dell'aritmetica. I numeri primi sono infiniti. Algoritmo di Euclide. Esempi. Soluzioni intere dell'equazione ax+by =c.

Mercoledi' 7/10/2020 14-16
Esempi di risoluzioni si Z di equazioni del tipo ax+by =c. Congruenza modulo n come relazione di equivalenza su Z. Insieme quoziente Z/nZ. Somma e prodotto su Z/nZ e loro proprieta'. Soluzioni di congruenze polinomiali in Z e di equazioni in Z/nZ. Esempi.

Giovedi' 8/10/2020 9-11
Soluzioni di congruenze polinomiali in Z e di equazioni in Z/nZ. Esempi. Sistemi di congruenze e teorema cinese del resto. Esempi. Definizione di gruppo. Unicita' dell'elemento neutro e dell'inverso.

Venerdi' 9/10/2020 11-12
Esercizi su sistemi di congruenze. Esempi di gruppi. Insieme delle applicazioni biunivoche da un insieme X in se stesso. Permutazioni.

Martedi' 13/10/2020 9-11
Esempi di gruppi di matrici. Quaternioni, Z/nZ e (Z/nZ)^*. L'inverso dell'inverso di un elemento e l'inverso del prodotto di due elementi. Definizione di sottogruppo. Criteri per verificare che un sottoinsieme di un gruppo sia un sottogruppo. Esempi.

Mercoledi' 14/10/2020 14-16
Esempi di sottogruppi. Il centro di un gruppo. Classificazione dei sottogruppi di Z e di Z/nZ. Definizione di omomorfismo di gruppi, di endomorfismo e di isomorfismo. Esempi e prime proprieta'. Definizione di nucleo di un omomorfismo. Se f:G--->G' e' un omomorfismo di gruppi, il nucleo di f e' un sottogruppo di G, l'immagine di f e' un sottogruppo di G' e f e' iniettiva se e solo se il nucleo di f e' banale. La composizione di due omomorfismi e' un omomorfismo, quindi la composizione di due isomorfismi e' un isomorfismo. L'inverso di un isomorfismo e' un isomorfismo. Esempi di gruppi isomorfi.

Giovedi' 15/10/2020 9-11
Esempi di gruppi isomorfi e non isomorfi. Prodotto diretto di gruppi. Il prodotto diretto di due gruppi e' abeliano se e solo se entrambi i gruppi sono abeliani. Teorema cinese del resto (per gruppi). Il gruppo diedrale D_n. Descrizione di D_n come sottogruppo di O_2(R) dato dagli elementi che fissano un poligono regolare di n lati centrato nell'origine. Descrizione algebrica di D_n.

Venerdi' 16/10/2020 11-12
D_3 e' isomorfo a S_3. Sottogruppo generato da un sottoinsieme di un gruppo. Gruppi ciclici. Esempi di gruppi ciclici.

Martedi' 20/10/2020 9-11
Esempi di gruppi ciclici e non ciclici. Ordine di un gruppo e ordine di un elemento. Se x e' un elemento di ordine finito m e x^n =e allora m divide n. Un gruppo ciclico o e' isomorfo a Z o a Z/mZ per qualche m>0. Se x e' un elemento di un gruppo G allora l'ordine di x e' uguale alla cardinalita' del sottogruppo generato da x. Un gruppo G di ordine n e' ciclico se e solo se esiste un elemento di G di ordine n. Esempi.Se f e' un omomorfismo di gruppi e m e' l'ordine di un elemento x, allora l'ordine di f(x) divide m. Se f e' iniettivo x e f(x) hanno lo stesso ordine.

Mercoledi' 21/10/2020 14-16 (lezione solo online)
L'isomorfismo di gruppi e' una relazione di equivalenza che preserva le proprieta' di essere abeliano e di essere ciclico. Se f:G--->G' e' un omomorfismo e H e' il sottogruppo di G generato da x_1,...,x_r, allora f(H) e' generato da f(x_1),...,f(x_r). Esempi di omomorfismi e isomorfismi. Se f:G --->G' e' un omomorfismo di gruppi e H' e' un sottogruppo di G', allora la controimmagine di H' e' un sottogruppo di G. Il gruppo degli automorfismi di un gruppo G. Esempi. Il gruppo degli automorfismi di Z/nZ e' isomorfo a (Z/nZ)^*.

Giovedi' 22/10/2020 9-11
Esercizi su gruppi e omomorfismi di gruppi. Se n e' dispari il gruppo D_2n e' isomorfo a D_n x Z/2Z. Ordine di un elemento nel prodotto diretto di due gruppi. L'intersezione di sottogruppi e' un sottogruppo. Centralizzante di un elemento. Il centro di un gruppo e' l'intersezione dei centralizzanti degli elementi del gruppo.

Venerdi' 23/10/2020 11-12
Esercizi su gruppi e isomorfismi di gruppi. Automorfismi interni. L'insieme degli automorfismi interni di un gruppo G e' un sottogruppo del gruppo degli automorfismi di G. L'applicazione che ad un elemento di un gruppo G associa l'automorfismo interno corrispondente e' un omomorfismo suriettivo con nucleo uguale al centro di G.

Martedi' 27/10/2020 9-11 (lezione solo online)
Permutazioni. La cardinalita' del gruppo delle permutazioni S_n e' n!. Cicli di lunghezza k. Ogni permutazione si scrive in modo unico a meno dell'ordine come prodotto di cicli disgiunti. Definizione del segno di una permutazione. Il segno definisce un omomorfismo da S_n a valori in {1,-1}. Ogni k-ciclo si scrive come prodotto di trasposizioni. Ogni permutazione si scrive come prodotto di trasposizioni. I k-cicli hanno segno (-1)^{k-1}. Se una permutazione e' un prodotto di k trasposizioni, il suo segno e' (-1)^k.

Mercoledi' 28/10/2020 14-16 (lezione solo online)
Gruppo alterno. Nel gruppo alterno ogni elemento si scrive come prodotto di 3-cicli. Teorema di Cayley: ogni gruppo finito e' isomorfo ad un sottogruppo di S_n per qualche n. Esempi ed esercizi sulle permutazioni. Coniugato di un k-ciclo. Se una permutazione si scrive come prodotto di cicli disgiunti di lunghezze k_1,...,k_t, questo e' vero anche per ogni suo coniugato. Viceversa: se due premutazioni hanno la stessa struttura ciclica, sono coniugate.

Giovedi' 29/10/2020 9-11 (lezione solo online)
Esercizi sulle permutazioni. Classi laterali sinistre e destre di un sottogruppo H in un gruppo G. Le classi laterali (sinistre o destre) danno una partizione di G in sottoinsiemi disgiunti e dunque definiscono una relazione di equivalenza su G. Insiemi quozienti. C'e' una bigezione tra l'insieme delle classi laterali sinistre e l'insieme delle classi laterali destre. C'e' una bigezione tra H e una qualunque classe laterale (sinistra o destra) di H.

Venerdi' 30/10/2020 11-12 (lezione solo online)
Indice di un sottogruppo in un gruppo. Teorema di Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange: se un gruppo G e' finito, l'ordine di un suo sottogruppo divide l'ordine del gruppo. L'ordine di un elemento divide l'ordine del gruppo. Esempi di gruppi, sottogruppi e insiemi quozienti. Piccolo teorema di fermat e teorema di Eulero. Un gruppi di ordine primo e' ciclico e quindi isomorfo a Z/pZ. Classificazione a meno di isomorfismo dei gruppi di ordine minore di 6.

Martedi' 3/11/2020 9-11 (lezione solo online)
Classificazione dei gruppi di ordine 6 a meno di isomorfismo. Esempi di gruppi di ordine 8 tra loro non isomorfi. Definizione di sottogruppo normale di un gruppo. Esempi di sottogruppi normali e non normali. Criteri per verificare se un sottogruppo e' normale. Un sottogruppo di indice 2 e' normale.

Mercoledi' 4/11/2020 14-16 (lezione solo online)
Il nucleo di un omomorfismo e' normale. Piu' in generale, la controimmagine di un sottogruppo normale tramite un omomorfismo e' normale. L'immagine di un sottogruppo normale tramite un omomorfismo suriettivo e' normale. Intersezione di sottogruppi normali e' normale. Sottogruppi normali dei quaternioni. Gruppo quoziente di un gruppo per un sottogruppo normale. Esempi. Se H e' normale in G, la proiezione naturale da G su G/H e' un omomorfismo suriettivo con nucleo H. Il centro di D_n. Sottogruppi normali di D_4.

Giovedi' 5/11/2020 9-11 (lezione solo online)
Esercizi. Sottogruppi normali di A_4. Sottogruppo (normale) dei commutatori [G.G]. Se H e' normale in G, G/H e' abeliano se e solo se [G,G] e' contenuto in H.Prodotto di due sottogruppi H e K di un gruppo G. HK e' un sottogruppo di G se e solo se HK = KH e questo e' vero se o H e' normale o K e' normale. Se H e K sono finiti allora la cardinalita' di HK e' data dal prodotto delle cardinalita' di H e di K diviso per la cardinalita' dell'intersezione.

Venerdi' 6/11/2020 11-12 (lezione solo online)
Se H e K sono sottogruppi normali in un gruppo G e la loro intersezione e' banale, allora HK e' isomorfo a H x K. Con le stesse ipotesi, se inoltre G e' generato dall'unione di H e K, allora G e' isomorfo a H x K. Esercizi sui gruppi, sottogruppi normali e quozienti.

Martedi' 10/11/2020 9-11 (lezione solo online)
Esercizi sui gruppi, sottogruppi normali e quozienti. C'e' una corrispondenza biunivoca tra i sottogruppi (normali) di un gruppo G che contengono un sottogruppo normale H e i sottogruppi (normali) di G/H.

Mercoledi' 11/11/2020 14-16 (lezione solo online)
Teorema di omomorfismo: Dati G e G' gruppi, H un sottogruppo normale di G, gli omomorfismi da G/H in G' sono in corrispondenza biunivoca con gli omomorfismi da G in G' il cui nucleo contiene H. Primo teorema di isomorfismo. Esempi e applicazioni. Se f:G--->A e' un omomorfismo da un gruppo G in un gruppo abeliano A, allora esiste un unico omomorfismo h:G/[G,G]--->A tale che f = hp, dove p e' la proiezione naturale p:G--->G/[G,G]. Secondo e terzo teorema di isomorfismo. Esempi ed esercizi.

Giovedi' 12/11/2020 9-11 (lezione solo online)
Esercizi su gruppi e quozienti di gruppi per sottogruppi normali e applicazioni dei teoremi di isomorfismo. Il coniugio e' una relazione di equivalenza in un gruppo. Dato un gruppo G e un elemento x di G, c'e' una corrispondenza biunivoca tra l'insieme delle classi laterali sinistre del centralizzante di x in G e la classe di coniugio di x. Equazione delle classi.

Venerdi' 13/11/2020 11-12 (lezione solo online)
Equazione delle classi. Un gruppo di ordine p^n con p primo e n>0 ha centro non banale. Un gruppo di ordine p^2 con p primo e' abeliano. Classificazione dei gruppi di ordine 9. Classi di coniugio in S_3 e S_4.

Martedi' 17/11/2020 9-11 (lezione solo online)
Esercizi: classi di coniugio in S_4 e in A_4 e centralizzanti degli elementi. Centralizzante di un k-ciclo in S_n. Classi di coniugio in D_4 e nei quaternioni.

Mercoledi' 18/11/2020 14-16 (lezione solo online)
Esercizi sui gruppi. Sottogruppi caratteristici. Il centro e il sottogruppo dei commutatori di un gruppo sono caratteristici. I sottogruppi caratteristici sono normali ma non e' vero viceversa.

Giovedi' 19/11/2020 9-11 (lezione solo online)
Definizione di anello, di anello commutativo, di anello con divisione e di campo. Primi esempi: Z, Q, R, C, Z/nZ. Anello H dei quaternioni. Unicita' dell'elemento neutro rispetto al prodotto e dell'inverso di un elemento invertibile. La moltiplicazione per 0 da' zero. Anello banale, ossia un anello in cui 1=0. Insieme delle unita' di un anello. Esempi: l'insieme delle unita' di Z/nZ e' (Z/nZ)^*. Le unita' in un anello formano un gruppo moltiplicativo. Esempi. Z/nZ e' un campo se e solo se e' n e' primo. Divisori di zero e domini di integrita'. Ogni campo e' un dominio di integrita' ma non viceversa. Un'unita' non e' un divisore di zero. Esempi di anelli: prodotti di anelli. Sottoanelli: definizione ed esempi. Un sottoanello di un dominio e' un dominio.

Venerdi' 20/11/2020 11-12 (lezione solo online)
Un dominio di integrita' finito e' un campo. In un anello finito un elemento o e' un'unita' o e' un divisore di zero. Questo non e' vero in anelli infiniti. Anelli di funzioni da un insieme ad un anello.

Lunedi' 23/11/2020 9-12 (lezione solo online)
Anello degli endomorfismi di un gruppo abeliano. Anelli di matrici. Intersezione di sottoanelli e' un sottoanello. Anello dei polinomi R[x], dove R e' un anello. Omomorfismi di anelli: definizione ed esempi. Se R e' un anello commutativo, la valutazione di un polinomio in un elemento a di R e' un omomorfismo di anelli da R[x] in R. Se l'anello R non e' commutativo, questo non e' vero. La composizione di due omomorfismi di anelli f e g e' un omomorfismo di anelli. Se f e g sono isomorfismi di anelli anche la loro composizione e' un isomorfismo. Se f e' un isomorfismo anche il suo inverso lo e'. Quindi l'isomorfismo di anelli e' una relazione di equivalenza. Inoltre e' una relazione di equivalenza che preserva le proprieta' di essere un anello commutativo, un anello con divisione, un campo o un dominio. L'immagine di un sottoanello tramite un omomorfismo di anelli e' un sottoanello e la controimmagine di un sottoanello e' un sottoanello. L'anello degli ondomorfismi del gruppo abeliano Z e' isomorfo a Z.

Martedi' 24/11/2020 9-11 (lezione solo online)
In un anello di polinomi R[X] dove R e' un dominio, il grado del prodotto di due polinomi e' la somma dei gradi. Se R non e' un dominio questo e' falso. R[X] e' un dominio se e solo se R e' un dominio e in questo caso le unita' di R[X] sono le unita' di R. Esercizi. Campo dei quozienti di un dominio.

Mercoledi' 25/11/2020 14-16 (lezione solo online)
Il campo dei quozienti di un dominio. Il campo dei quozioenti di Z e' Q. Il campo dei quozienti di un dominio R e' il piu' piccolo campo che contiene R. Ideali destri, sinistri e bilateri di un anello. Esempi. Il nucleo di un omomorfismo di anelli e' un ideale (bilatero). Piu' in generale la controimmagine di un ideale tramite un omomorfismo di anelli e' un ideale e l'immagine di un ideale tramite un omomorfismo di anelli suriettivo e' un ideale. Esempi: ideali principali e ideali generati da un numero finito di elementi in un anello commutativo. In Z[X] esistono ideali non principali. Un ideale (destro o sinistro) e' tutto l'anello se e solo se contiene un'unita'. In un anello con divisione gli unici ideali sono quelli banali e dunque un omomorfismo di anelli R --->R' con R anello con divisione e' iniettivo.

Giovedi' 26/11/2020 9-11 (lezione solo online)
Gli ideali di Z sono tutti e soli i sottogruppi additivi di Z e dunque sono principali. Un anello commutativo non banale e' un campo se e solo se gli unici suoi ideali sono quelli banali. L'intersezione di ideali e' un ideale. L'ideale somma e ideale prodotto di due ideali. Ideali coprimi. Se f:R --->R' e' un omomorfismo suriettivo di anelli commutativi, l'immagine di un ideale generato da un sottoinsieme di R e' generato dall'immagine del sottoinsieme. Esempi ed esercizi.

Venerdi' 27/11/2020 11-12 (lezione solo online)
Esercizi su anelli e omomorfismi di anelli. Un omomorfismo di anelli dal campo dei razionali in se' e' l'identita'. Un omomorfismo di anelli dal campo dei numeri reali in se' manda numeri positivi in numeri positivi e quindi e' l'identita'. Esistono omomorfismi di anelli dal campo dei numeri complessi C in se' che non sono l'identita' (es. coniugio). Se f: C-->C e' un omomorfismo di anelli continuo, allora o e' l'identita' o e' il coniugio.

Lunedi' 30/11/2020 9-11 (lezione solo online)
Anello quoziente di un anello per un ideale. Se I e' un ideale in un anello R, la proiezione naturale R-->R/I e' un omomorfismo suriettivo con nucleo I. C'e' una corrispondenza biunivoca tra ideali di R che contengono I e ideali di R/I. Teorema di omomorfismo per anelli. C'e' una corrispondenza biunivoca tra l'insieme degli omomorfismi da R/I a valori in un anello R' e l'insieme degli omomorfismi da R in R' il cui nucleo contiene I. Primo e secondo teorema di isomorfismo per anelli.

Martedi' 1/12/2020 9-11 (lezione solo online)
Terzo teorema di isomorfismo per anelli. Esempi e applicazioni dei teoremi di isomorfismo. Se I e' un ideale di R, allora (R/I)[X] e R[X]/I[X] sono isomorfi. Teorema cinese del resto per anelli commutativi. Formula della funzione di Eulero in termini della fattorizzazione dell'intero.

Mercoledi' 2/12/2020 14-16 (lezione solo online)
Esercizi sui quozienti di anelli per ideali e sui teoremi di isomorfismo.

Giovedi' 3/12/2020 9-11 (lezione solo online)
Divisione con resto dei polinomi a coefficienti in un anello. Esempi di divisione con resto. Se K e' un campo in K[X] tutti gli ideali sono principali. Se R e' un anello commutativo e a e' un elemento di R, l'applicazione F: R[X] --->R, F(g)= g(a) e' un omomorfismo di anelli suriettivo il cui nucleo e' l'ideale generato da X-a, quindi R[X]/(X-a) e' isomorfo a R. C'e' un isomorfismo di anelli tra l'anello dei numeri complessi e il quoziente dell'anello dei polinomi in una variabile a coefficienti reali per l'ideale generato da X^2+1. Zeri di polinomi. Se A e' un dominio e a_1,...,a_n sono zeri distinti di un polinomio f in A[X], allora (X-a_1)(X-a_2)...(X-a_n) divide f e quindi se f ha grado d>0, d e' maggiore o uguale a n. Esempi di polinomi di grado 2 a coefficienti in anelli commutativi che non sono domini che hanno piu' di due radici distinte.

Venerdi' 4/12/2020 11-12 (lezione solo online)
Esempi di polinomi a coefficienti nell'anello dei quaternioni con infinite radici. Radici multiple. Derivata di un polinomio a coefficienti in un anello commutativo. Derivata di un polinomio a coefficienti in un anello commutativo e sue proprieta'. Molteplicita' di una radice. Se A e' un dominio, una radice di un polinomio a coefficienti in A e' multipla se e solo se e' radice anche della sua derivata.

Giovedi' 10/12/2020 9-11 (lezione solo online)
Teorema di Wilson. Ideali primi in un anello commutativo, definizione ad esempi. Un ideale I e' primo se e solo se A/I e' un dominio. Ideali massimali in un anello commutativo A. I e' massimale se e solo se A/I e' un campo, quindi ogni ideale massimale e' primo (ma non viceversa). Esempi. Elementi irricucibili in un dominio di integrita'. Se A e' un dominio e a e' un elemento di A, allora se l'ideale (a) e' primo l'elemento a e' irriducibile. Se A e' un dominio di integrita' e a e' un elemento di A si ha: (a) massimale implica (a) primo, che implica a irriducibile. Vicersa e' falso in generale: esempio di un ideale (a) non primo con a irriducibile.

Venerdi' 11/12/2020 11-12 (lezione solo online)
Se I e' un ideale di A non uguale ad A, allora esiste un ideale massimale che contiene I. Esempi ed esercizi su ideali primi e massimali.

Martedi' 15/12/2020 9-11 (lezione solo online)
Domini ad ideali principali (PID). Se a e' un elemento diverso da zero in un PID A, si ha: (a) e' massimale se e solo se (a) e' primo se e solo se a e' irriducibile. Quindi in un PID ogni ideale primo e' massimale. Esempi. Anelli euclidei: definizione ed esempi. Ogni anello euclideo e' un PID. L'anello degloi interi di Gauss e' un anello euclideo. Esempi. Elementi associati in un anello commutativo. Domini a fattorizzazione unica (UFD). In un UFD un elemento e' irriducibile se e solo se l'ideale che genera e' primo.

Mercoledi' 16/12/2020 14-16 (lezione solo online)
Un dominio a ideali principali e' un dominio a fattorizzazione unica (ma non viceversa). Esempi. In un anello commutativo se due elementi sono associato generano lo stesso ideale. Viceversa e' vero in un dominio. Massimo comun divisore di elementi in un UFD: definizione e proprieta'. Contenuto di un polinomio non nullo a coefficienti in un UFD e polinomi primitivi. Sia A un UFD e K il suo campo dei quozienti. Ogni polinomio non nullo in K[X] si scrive in modo unico a meno di moltiplicazione per unita' come il prodotto di un elemento invertibile in K e di un polinomio primitivo in A[X]. Il prodotto di due polinomi primitivi e' primitivo.

Giovedi' 17/12/2020 9-11 (lezione solo online)
Se A e' un UFD, A[X] e' un UFD. Gli irriducibili in A[X] sono gli elementi irriducibili di A e i polinomi primitivi di A[X] che sono irriducibili in K[X] dove K e' il campo dei quozienti di A. Conseguenze: Z[X_1,...,X_n] e' un UFD, se K e' un campo, K[X_1,...,X_n] e' un campo. Esempi: l'anello Z[X] e' un UFD ma non un PID. Lo stesso vale per K[X,Y], dove K e' un campo. Se A e' un UFD e K e' il campo dei quozienti di A e f e' un polinomio di A[X], f = a_0 + a_1 X +...+ a_n X^n con a_0 e a_n diversi da zero e a=u/v e' una radice di f in K, con u, v elementi di A e v diverso da zero, allora u divide a_0 e v divide a_n. Esempi.

Venerdi' 18/12/2020 11-12 (lezione solo online)
Lemma di Gauss. Esempi di applicazioni del lemma di Gauss. Se f e' un polinomio monico a coefficienti in Z e esiste un primo p tale che f mod p sia irricucibile in Z/pZ[X], allora f e' irriducibile in Z[X] e in Q[X]. Esempi. Criterio di Eisenstein. Esempi. Definizione di campo algebricamente chiuso ed enunciato del teorema fondamentale dell'algebra.

Giovedi' 7/1/2020 9-11 (lezione solo online)
Esercizi su tutto il programma.

Venerdi' 8/1/2020 11-12 (lezione solo online)
Esercizi su tutto il programma.