CORSO DI ISTITUZIONI DI GEOMETRIA

Anno Accademico 2011-2012
 
Registro delle lezioni

Venerdi' 23/3/2012 11-13
Equazioni differenziali ordinarie. Esistenza e unicita' locale. Flusso di un campo di vettori variabile su una varieta' differenziabile.

Lunedi' 26/3/2012 11-13
Sistemi autonomi e gruppi ad un parametro di diffeomerfismi. Distribuzioni di rango k su una varieta' differenziabile. Sottovarieta' integrali. Foliazioni. Enunciato del teorema di Frobenius.

Martedi' 27/3/2012 9-11
Dimostrazione del teorema di Frobenius. Definizione di connessione affine.

Venerdi' 30/3/2012 11-13
Connessioni affini. Simboli di Christoffel. Campi di vettori tangenti a  M lungo un'applicazione differenziabile da una varieta' N in M. Campi di vettori tangenti lungo una curva. Trasporto parallelo.
 
Venerdi' 20/4/2012 11-13
Curvatura di una connessione. Proprieta': la curvatura e'  un tensore di tipo (1,3). Torsione di una connessione. Definizione di varieta' Riemanniana.
Esistenza di metriche Riemanniane. Esempi. Definizione di isometria.

Venerdi' 27/4/2012 11-13
Compatibilita' di una connessione con una metrica Riemanniana. Esistenza e unicita' della connessione di Levi Civita. Il trasporto parallelo lungo una curva rispetto alla connessione di Levi Civita e' un'isometria.

Venerdi' 4/5/2012 11-13
Connessione di Levi Civita di una sottovarieta' S di una varieta' Riemanniana (M,g) rispetto alla restrizione della metrica g su S.
Il quadritensore di curvatura di Riemann. Simmetrie della curvatura, identita'di Bianchi. Curvatura sezionale. Seconda forma fondamentale e formula di Gauss per la curvatura di una sottovarieta'. Esempi: superfici in R^3 e calcolo della curvatura sezionale di una sfera di raggio r.

Venerdi 11/5/2012 11-13
Geodetiche: definizione e equazione differenziale. Esistenza e unicita' locale. Lemma di omogeneita'. Mappa esponenziale. La mappa esponenziale e' un diffeomorfismo locale.

Venerdi' 18/5/2012 11-13
Esempi: geodetiche sulla sfera. Semipiano di Poincare': calcolo dei simboli di Christoffel e della curvatura sezionale. Geodetiche sul semipiano di Poincare'.

Mercoledi'  23/5/2012 11-13
 Curve differenziabili a tratti che congiungono due punti di una varieta' Riemanniana connessa.  Distanza geodetica. Variazione prima.Variazione della lunghezza. Le geodetiche sono i punti critici del funzionale lunghezza. Lemma di Gauss. 

Mercoledi' 30/5/2012 11-13
Proprieta' minimizzanti delle geodetiche. Le geodetiche minimizzano localmente la disstanza. Convessita' geodetica:enunciato del teorema di Whitehead. Definizione di completezza geodetica ed enunciato del teorema di Hopf-Rinow.

Venerdi' 1/6/2012 11-13
Completezza geodetica. Dimostrazione del teorema di Hopf-Rinow. Conseguenze: una varieta'compatta e' geodeticamante completa, sottovarieta' chiuse e connesse di varieta' geodeticamente complete sono geodeticamente complete (con la metrica indotta). Estendibilita'. Una varieta' completa  non e' estendibile.