CORSO DI GEOMETRIA B

Anno Accademico 2007-2008
 
Testi consigliati.

M.P. Do Carmo: "Differential Geometry of curves and surfaces", Prentice-Hall.
 E. Sernesi: "Geometria 1-2", Bollati Boringhieri.
 C. Kosniowski: "Introduzione alla topologia algebrica", Zanichelli.
 
PROGRAMMA

1.Coniche, quadriche e geometria proiettiva.

Diagonalizzazione di forme quadratiche. Quadriche affini. Classificazione affine delle quadriche su R e su C.
Classificazione euclidea delle quadriche in R^n.
Spazi proiettivi, sottospazi proiettivi. Intersezione di sottospazi. Formula di Grassmann per spazi proiettivi. Isomorfismi tra spazi proiettivi, proiettivita`. Teorema fondamentale della geometria proiettiva.
Quadriche proiettive e loro classificazione.


2. Curve.

Curve parametrizzate di classe C^k regolari in R^3. Esempi. Retta tangente ad una curva in un suo punto.
Lunghezza d'arco e ascissa curvilinea.
Curvatura e torsione. Triedro di Frenet. Formule di Frenet.
Piano osculatore e suo significato geometrico. Cerchio osculatore. Teorema fondamentale della teoria locale delle curve.

3. Superfici.

Teorema della funzione inversa (senza dimostrazione). Teorema del rango. Teorema della funzone implicita (o teorema del Dini).
Esempi di curve regolari date come controimmagini di valori regolari di applicazioni differenziabili.
Definizione di superficie regolare in R^3. Esempio: la sfera unitaria. Grafici di funzioni differenziabili sono superfici regolari. Controimmagini di valori regolari di funzioni differenziabili sono superfici regolari. Ogni superficie regolare e` localmante il grafico di un'applicazione differenziabile. Esempi: il toro di rivoluzione. Cambiamento di parametrizzazione. Definizione di applicazioni differenziabili da una superficie regolare a valori in R e di applicazioni differenziabili tra due superfici regolari. Piano tangente ad una superficie in un punto. Definizione di differenziale di un'applicazione differenziabile tra due superfici regolari  e di un'applicazione differenziabile da una superficie a valori in R. Esempi. Superfici di rotazione. Prima forma fondamentale di una superficie. Area di un dominio chiuso regolare e limitato di una superficie. Area della sfera e del toro. Orientabilit\`a di una superficie. Esempi: controimmagini di valori regolari di applicazioni differenziabili da R^3 in R sono superfici regolari e orientabili. Il nastro di Moebius non e` orientabile. Mappa di Gauss e suo differenziale. Seconda forma fondamentale di una superficie. Curvatura normale di una curva su una superficie. Teorema di Meusnier. Curvature principali, direzioni principali di curvatura. Curvatura Gaussiana. Curvatura media. Punti ellittici, iperbolici, parabolici e planari. Direzioni asintotiche. Punti umbilicali. Una superficie regolare i cui punti sono tutti umbilicali e` contenuta in una sfera o in un piano. Indicatrice di Dupin. Espressione del differenziale della mappa di Gauss in coordinate locali. Seconda forma fondamentale in coordinate locali. Isometrie locali e globali. Simboli di Christoffel. Esempi: piano e cilindro sono localmente isometrici. Teorema Egregium di Gauss. Equazioni di Codazzi-Mainardi. Superfici rigate e superfici sviluppabili. Esempi. Derivata covariante di un campo di vettori rispetto ad un vettore tangente. Campi di vettori lungo una curva. Campi di vettori paralleli. Trasporto parallelo. Geodetiche parametrizzate. Geodetiche. Valore algebrico della derivata covariante. Curvatura geodetica. Esempi: geodetiche sul piano, cilindro, sfera e superfici di rotazione. Angolo tra due campi di vettori unitari lungo una curva ed espressione del valore algebrico della derivata covariante in termini dell'angolo.  Teorema di Gauss-Bonnet: forma locale. Teorema di Gauss sui triangoli geodetici. Teorema di Gauss-Bonnet: forma globale. Conseguenze: una superficie compatta orientata con curvatura positiva e` omeomorfa alla sfera.

4. Omotopia e gruppo fondamentale.

Omotopia tra funzioni continue tra spazi topologici. Spazi omotopicamente equivalenti. Spazi contraibili. Esempi. Retratti di deformazione e retratti di deformazione forte. Prodotto tra cammini. Indipendenza del prodotto dalla classe di omotopia. Associativita` del prodotto. Definizione di gruppo fondamentale \pi_1(X,x) di uno spazio toplogico X, dove x e` un punto in X. Se X e` connesso per archi e x,y sono in X allora \pi_1(X,x) e` (non canonicamente) isomorfo a \pi_1(X,y). Un'applicazione continua tra spazi topologici induce un omomorfismo a livello di gruppi fondamentali. Proprieta` funtoriali. Spazi omotopicamente equivalenti  hanno gruppi fondamentali isomorfi. Il gruppo fondamentale del prodotto di due spazi topologici e` isomorfo al prodotto diretto dei gruppi fondamentali degli spazi. Il gruppo fondamentale della circonferenza. Gruppo fondamentale del toro. Teorema fondamentale dell'algebra. Teorema di Van Kampen (versione semplificata). Gruppo fondamentale delle sfere. Teorema del punto fisso di Brouwer. Prodotto libero di gruppi. Teorema di Van Kampen (solo enunciato). Esempi.