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Categoria VI - Modelli 2 e 4

Linee di curvatura su ellissoide ed iperboloide a due falde

[P], [HC], [MWC], [F]

Come descritto nella sezione generale di questa categoria, ogni quadrica è contenuta in una famiglia ad un parametro di quadriche confocali che può essere descritta da un'equazione di secondo grado ad un parametro. Per le quadriche a centro questa famiglia è un sistema triplamente ortogonale di superficie quadriche e, secondo un classico teorema di Dupin, le superficie di un sistema triplamente ortogonale si tagliano reciprocamente lungo linee di curvatura, cioè la curva intersezione di due superficie della famiglia è una linea di curvatura su entrambe le superficie.

[MWC] Teorema di Dupin: in un sistema triplamente ortogonale di superficie le linee di curvatura su ogni superficie del sistema sono le sue intersezioni con le altre superficie del sistema.

Abbiamo usato questo teorema per disegnare i modelli ruotabili VI-2 e VI-4.
Per il sistema di quadriche confocali a centro, formato da ellissoidi, iperboloidi ad una falda ed iperboloidi a due falde, l'equazione ad un parametro che descrive la famiglia è:

      con  a, b, c, d;

Fissato d, otteniamo l'equazione di un'ellissoide.
Fissato d, otteniamo l'equazione di un iperboloide ad una falda.
Fissato d, otteniamo l'equazione di un iperboloide a due falde.
Ovviamente abbiamo scelto il sistema di coordinate cartesiane in modo opportuno.
Possiamo riscrivere l'equazione eliminando i denominatori:

Per d = otteniamo il piano nel quale si trova l'ellisse confocale di equazione:

Per d = otteniamo il piano nel quale si trova l'iperbole confocale di equazione:

Per d = otteniamo il piano .

L'ellisse e l'iperbole confocali sono caratteristiche di una famiglia di quadriche confocali a centro, e sono tali che i vertici di una conica sono i fuochi dell'altra. Sono utilizzate per la costruzione di ognuna delle quadriche della famiglia usando un filo teso di lunghezza costante, ed hanno altre particolari proprietà, come descritto in [HC] alle pagine da 28 a 36.

Per trovare le linee di curvatura su di una quadrica si considera la sua intersezione con la famiglia di quadriche triplamente ortogonale a cui appartiene; essa sarà una famiglia di curve nello spazio, descritte al variare di un parametro. Per il teorema di Dupin queste sono le linee di curvatura sulla quadrica considerata.

Le linee di curvatura su un ellissoide hanno una particolare relazione con le geodetiche; infatti ogni linea geodetica su un dato ellissoide è interamente contenuta in una regione anulare limitata da due linee di curvatura, le quali vengono toccate alternativamente dalla geodetica.

•   Equazioni usate per i modelli virtuali

Per il modello ruotabile VI-2 abbiamo scelto di disegnare le linee di curvatura sull'ellissoide di equazione

(1)         cioè  a = 3, b = 2, c = 1

Esso appartiene al sistema di quadriche confocali a centro, formato da ellissoidi, iperboloidi ad una falda ed iperboloidi a due falde, di equazione:

(2)        con  d

e si ottiene ponendo d = 0.
Possiamo riscrivere l'equazione eliminando i denominatori:

Per d = otteniamo il piano nel quale si trova l'ellisse confocale di equazione:

;  in forma canonica è:

Per d = otteniamo il piano nel quale si trova l'iperbole confocale di equazione:

;  in forma canonica è:

Fissato d, otteniamo l'equazione di un iperboloide ad una falda. Noi abbiamo intersecato l'ellissoide (1) con sei iperboloidi ad una falda corrispondenti ai seguenti valori di d:

, ,  , , ,

ottenendo dodici linee di curvatura chiuse.
Fissato d, otteniamo l'equazione di un iperboloide a due falde. Noi abbiamo intersecato l'ellissoide (1) con otto iperboloidi a due falde, corrispondenti ai seguenti valori di d:

, ,  , , , , ,

ottenendo sedici linee di curvatura chiuse.
L'intersezione dell'ellissoide (1) con l'iperbole confocale identifica i quattro punti ombelicali dell'ellissoide, che sono:

= , = ,
= , =

Per il modello ruotabile VI-4  abbiamo scelto di disegnare le linee di curvatura sull'iperboloide a due falde di equazione

(3)   

Esso appartiene allo stesso sistema di quadriche confocali a centro a cui appartiene l'ellissoide (1), e la sua equazione si ottiene da (2)  ponendo d =

Fissato d, otteniamo l'equazione di un iperboloide ad una falda. Noi abbiamo intersecato l'iperboloide a due falde (3) con sei iperboloidi ad una falda corrispondenti ai seguenti valori di d:

, ,  , , ,

ottenendo dodici linee di curvatura non chiuse.
Fissato d, otteniamo l'equazione di un'ellissoide. Noi abbiamo intersecato l'iperboloide a due falde (3) con sette ellissoidi corrispondenti ai seguenti valori di d:

, ,  , , , ,

ottenendo quattordici linee di curvatura chiuse.
L'intersezione dell'iperboloide a due falde (3) con l'ellisse confocale identifica i quattro punti ombelicali dell'iperboloide a due falde, che sono:

= , = ,
= , =