Geometria algebrica - anno 2008-09 - Diario del corso

1. 1 ottobre 2008, 9-11 (M). Introduzione al corso. Richiami su anelli, ideali, campi. Moduli su un anello commutativo. Moduli e anelli noetheriani. Criteri di noetherianità. Teorema della base di Hilbert (enunciato).
2. 3 ottobre 2008, 9-11 (C). Topologia di Zariski sullo spazio affine su un campo. Ideale associato a un sottoinsieme dello spazio affine. Nozione topologica di irriducibilità, spazi topologici noetheriani, scomposizione in irriducibili. Lo spazio affine è uno spazio topologico noetheriano.
3. 6 ottobre 2008, 11-13 (C).  Ideali radicali. Enunciati equivalenti del Nullstellensatz e applicazioni.
4. 8 ottobre 2008, 9-11 (M). Dimostrazione del teorema della base di Hilbert e del Nullstellensatz. Cenno ai morfismi di varietà affini.
5. 10 ottobre 2008, 9-11 (M). Funzioni regolari su un aperto di una varietà affine. Isomorfismo tra l'anello delle coordinate di una varietà affine e l'anello delle funzioni regolari. Anelli e moduli di quozienti. L'anello delle funzioni regolari su un aperto D_f come anello di quozienti.
6. 13 ottobre 2008, 11-13 (C).  Applicazioni regolari tra aperti di chiusi affini. Un'applicazione è regolare se e solo se lo sono le componenti. Pull-back di funzioni regolari. Morfismo tra chiusi affini definito da un omomorfismo tra gli anelli delle coordinate. Due chiusi affini sono isomorfi se e solo se lo sono gli anelli delle coordinate. Esempi. Un aperto D_f è sempre isomorfo a un chiuso affine.
7. 15 ottobre 2008, 9-11 (C). Prodotti di chiusi affini, irriducibilità e descrizione dell'ideale. Ideali omogenei, topologia di Zariski sullo spazio proiettivo, Nullstellensatz proiettivo.
8. 17 ottobre 2008, 9-11 (M). Anello delle coordinate proiettive di un chiuso nello spazio proiettivo. Funzioni regolari su sottinsiemi localmente chiusi dello spazio proiettivo. Descrizione algebrica dell'anello delle funzioni regolari su un aperto principale in termini dell'anello delle coordinate proiettive. Le funzioni regolari sullo spazio proiettivo sono costanti. Varietà algebriche astratte e morfismi tra le medesime.
9. 20 ottobre 2008, 9-11 (M). Ancora sulle varietà algebriche e i loro morfismi. Equivalenza tra la categoria delle varietà affini su k e quella delle k-algebre ridotte di tipo finito. Isomorfismo tra l'aperto D_f di una varietà affine con anello delle coordinate A e la varietà con anello delle coordinate A_f. La topologia di una varietà algebrica ha una base costituita da aperti affini.
10. 22 ottobre 2008, 9-11 (C). Un sottoinsieme localmente chiuso dello spazio proiettivo è una varietà algebrica. Una varietà algebrica è uno spazio topologico noetheriano, scomposizione in irriducibili. Un'applicazione da una varietà algebrica allo spazio affine è regolare se e solo se lo sono le componenti. Espressione locale di un morfismo tra varietà proiettive in termini di polinomi omogenei. Curve razionali normali. Proiettività, equivalenza proiettiva.
11. 27 ottobre 2008, 11-13 (C). Esempi di varietà proiettive: ipersuperfici, iperquadriche. Applicazione di Veronese di grado 2. Sottovarietà chiuse di una varietà algebrica, prodotti di varietà algebriche.
12. 29 ottobre 2008, 9-11 (M). La diagonale nel prodotto di X con sé stessa è una sottovarietà isomorfa a X. Varietà separate. Le sottovarietà di varietà separate sono separate. Esempi di varietà non separate. Le varietà affini e quasiproiettive sono separate. La mappa di Segre.
13. 31 ottobre 2008, 9-11 (M). Equazioni dell'immagine della mappa di Segre. Quadriche non degeneri nello spazio proiettivo come prodotto di due rette proiettive. Le mappe di Veronese. Basi di trascendenza; esistenza e indipendenza della loro cardinalità dalla scelta di base. Grado di trascendenza. Campo delle funzioni razionali su una varietà affine irriducibile. Dimensione di una varietà affine irriducibile.
14. 3 novembre 2008, 11-13 (C). Se X è una varietà proiettiva, per ogni varietà Y la proiezione da X x Y su Y è chiusa. Grafico di un morfismo. Un morfismo da una varietà proiettiva a una varietà separata è chiuso. Ogni morfismo da una varietà proiettiva connessa a una varietà affine è costante. Esempi di varietà quasi-proiettive che non sono affini ne' proiettive: il piano meno un punto, il prodotto di uno spazio affine con uno spazio proiettivo.
15. 5 novembre 2008, 9-11 (C). Grassmanniane: struttura di varietà algebrica e immersione di Plücker. 
16. 7 novembre 2008, 9-11 (M). Piattezza degli anelli di frazioni. Relazioni tra gli ideali di un anello commutativo A e quelli di S^--1A. Localizzato di un anello commutativo in un primo. L'anello locale di un punto di una varietà algebrica. Altezza di un ideale primo. Dimensione di un anello. Estensioni intere di anelli; caratterizzazioni equivalenti. Transitività della proprietà di essere intero.
17. 10 novembre 2008, 11-13 (M). Lemma di normalizzazione di Noether. Relazioni tra gli ideali primi di un anello e quelli di una sua estensione intera. Teorema del going up. Teorema del going down (enunciato).
18. 12 novembre 2008, 9-11 (M). La dimensione di una varietà irriducibile X è uguale alla dimensione dell'anello delle coordinate di X, e anche alla dimensione dell'anello locale in ogni punto di X. Dimostrazione del teorema di going down (inizio).
19. 17 novembre 2008, 11-13 (C). Funzioni e applicazioni razionali tra varietà algebriche. Composizione di applicazioni razionali, applicazioni razionali dominanti, equivalenza birazionale. Pull-back di funzioni razionali associato ad un'applicazione razionale dominante. Applicazione razionale dominante definita da un omomorfismo tra i campi delle funzioni razionali.
20. 20 novembre 2008, 9-11 (C). Due varietà irriducibili sono birazionali se e solo se hanno due aperti isomorfi, se e solo se i campi delle funzioni razionali sono isomorfi su k. Esempi. Varietà razionali, esempi; le quadriche sono razionali.
21. 21 novembre 2008, 9-11 (M). Dimostrazione del teorema di going down (fine). Lemma di Nakayama. Sistemi di parametri in un anello locale. Anelli locali regolari e non. Esempi. Spazio tangente di Zariski. Spazio tangente a una varietà affine immersa e sue relazioni con lo spazio tangente di Zariski.
22. 24 novembre 2008, 11-13 (M). Differenziale di un morfismo di varietà algebriche. Dimensione degli spazi tangenti di Zariski di un chiuso affine e Jacobiano delle equazioni di definizione. Semicontinuità superiore della dimensione dello spazio tangente di Zariski. Punti lisci e punti singolari. Un punto generale di una varietà irriducibile è liscio. Gli anelli locali regolari sono UFD (solo enunciato). Uguaglianza tra dimensione in un punto di una varietà riducibile e dimensione dell'anello locale. Per un punto liscio passa una sola componente irriducibile.
23. 28 novembre 2008, 9-11 (C). Esercizi su punti singolari e spazio tangente. Spazio tangente proiettivo. Dimensione, spazio tangente e punti non singolari per un prodotto di varietà. Morfismi finiti tra varietà affini: ogni fibra è finita e non vuota; essere finito è una proprietà locale.
24. 1 dicembre 2008, 11-13 (C). Morfismi finiti. La proiezione di un chiuso proiettivo da un sottospazio lineare disgiunto è un morfismo finito sull'immagine. Applicazioni. Se X è un chiuso proiettivo irriducibile di dimensione n e V un'ipersuperficie non contenente X, ogni componente irriducibile dell'intersezione di X e V ha dimensione n-1.
25. 3 dicembre 2008, 9-11 (C). Dimensione del chiuso definito da r equazioni in una varietà, caso proiettivo e caso generale. L'immagine di un morfismo dominante tra varietà irriducibili contiene un aperto. Dimensione delle fibre di un morfismo.
26. 5 dicembre 2008, 9-11 (M). Dimensione delle fibre di un morfismo tra varietà irriducibili e sua semicontinuità. Criteri di irriducibilità del dominio di un morfismo. La varietà delle rette su una superficie in P³; studio tramite la relazione di incidenza.
27. 12 dicembre 2008, 9-11 (M). Ancora sui criteri di irriducibilità del dominio di un morfismo. Esistenza di rette su ogni superficie in P³ di grado < 4. Le sottovarietà di codimensione 1 di una varietà liscia sono localmente definite da una sola equazione. Luogo di indeterminazione di una mappa razionale. Il luogo di indeterminazione di una mappa razionale da una varietà liscia a uno spazio proiettivo ha codimensione > 1. Applicazioni alle curve ed esempi in dimensione superiore. Scoppiamento del piano affine in un punto.
28. 15 dicembre 2008, 11-13 (M). Le superfici riducibili di grado d in P³ formano un chiuso proprio nello spazio di tutte le superfici di grado d; idem per le superfici singolari. Teorema di Bézout nel piano (senza dimostrazione, salvo che nel caso in cui una delle due curve da intersecare sia una retta o una conica). Scoppiamento del piano in sei punti generali e superfici cubiche lisce. Le 27 rette su una superficie cubica liscia.
29. 17 dicembre 2008, 9-11 (C). Esercizi. Scoppiamento S del piano proiettivo in un punto, studio dei morfismi su P² e su P¹, S non è isomorfo a P¹xP¹.
30. 19 dicembre 2008, 9-11 (C). Esercizi. Proiezione di una quadrica liscia Q di P³ su un piano, da un punto esterno e da un punto di Q. Nel caso della proiezione da un punto di Q, risoluzione dell'applicazione birazionale da P² a Q tramite lo scoppiamento dei due punti di indeterminazione.
31. 9 gennaio 2009, 9-11 (M). Piano scoppiato in 6 punti, superfici cubiche lisce e 27 rette sulle medesime: completamento delle dimostrazioni.

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