• Richiami di teoria degli insiemi: la nozione di insieme, appartenenza, inclusione.
• Operazioni sugli insiemi: unione, intersezione, complementazione e loro proprietà formali. Formule di De Morgan. Intersezioni e unioni infinite di insiemi: formule di complementazione, distributività dell'unione rispetto all'intersezione e dell'intersezione rispetto all'unione.
• Coppie ordinate. Relazioni. Esempi di relazioni. Relazioni di equivalenza. Partizioni. Partizione indotta da una relazione di equivalenza.
• La nozione di applicazione. Identità, restrizione. Composizione di applicazioni. Applicazioni iniettive, suriettive, biunivoche. Inversa di una applicazione biunivoca.
• Inversa destra e inversa sinistra di una applicazione. Criteri di iniettività e suriettività.
• Concetto di equipotenza tra insiemi. Insiemi finiti e numerabili. Insieme delle parti. Un insieme non è equipotente all'insieme delle sue parti. Non numerabilità dei numeri reali.
• Immagine e immagine inversa di un insieme tramite una applicazione; esempi e proprietà formali.

• La nozione di campo. Esempi: campi dei numeri razionali, reali, complessi. Prime proprietà dei campi. Proprietà di cancellazione. Esempio: interi modulo un primo. Richiami sul massimo comun divisore di interi. Cenni sui campi finiti.

• Vettori geometrici e operazioni sui medesimi; regola del parallelogramma. La nozione di spazio vettoriale. Prime proprietà degli spazi vettoriali. Esempi di spazi vettoriali: Kⁿ, spazi di funzioni reali, spazi di polinomi.
• La nozione di applicazione lineare. Isomorfismi di spazi vettoriali: linearità dell'inversa di un isomorfismo. Nucleo di un omomorfismo. Nucleo e iniettività di una applicazione lineare. Composizione di applicazioni lineari. Esempio: isomorfismo tra piano e R² dato da un sistema di coordinate cartesiane.
• Nozioni di combinazione lineare e dipendenza lineare. Transitività della dipendenza lineare. Sistemi di generatori. Basi. Spazi vettoriali finitamente generati. Esistenza di basi in spazi vettoriali finitamente generati. Ogni sistema di generatori contiene una base. Ogni sistema di vettori indipendenti è contenuto in una base. Due basi dello stesso spazio vettoriale hanno le stesso numero di elementi.
• Sottospazi vettoriali. Caratterizzazione dei sottospazi. Dimensione di un sottospazio. Formula di Grassmann per applicazioni lineari. Operazioni sui sottospazi: intersezione e somma. Formula di Grassmann. Sottospazio generato da un sottoinsieme.
• Matrice associata ad una applicazione lineare. Operazioni su applicazioni lineari e matrici: somma, prodotto per scalari, prodotto. Prodotto righe per colonne di matrici: esempi e proprietà formali. Matrice identità. Matrice di un cambio di base.
• duale e sua dimensione. Base duale e sue proprietà. Ortogonale di un elemento, di un insieme, di un sottospazio. Dimensione dell'ortogonale. Doppio duale e doppio ortogonale.
• Rango di una matrice e di una applicazione lineare. Trasposta di una matrice e sue proprietà formali. Trasposta di un prodotto. Aggiunta di una applicazione lineare e sua matrice. Uguaglianza tra il rango di una matrice e quello della trasposta.
• Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Rouché-Capelli. Operazioni elementari per righe e per colonne. Eliminazione Gaussiana e suo uso per il calcolo del rango e la risoluzione di sistemi di equazioni lineari. Numero dei parametri da cui dipende la soluzione di un sistema di equazioni lineari. Calcolo dell'inversa di una matrice tramite eliminazione gaussiana. Criteri per l'invertibilità di una applicazione lineare. Il rango di una composizione è minore o uguale di quello dei fattori; corollari.
• Definizione assiomatica del determinante di una matrice quadrata. Alternanza del determinante. Permutazioni. Segno di una permutazione. Segno di un prodotto e segno della permutazione inversa. Unicità del determinante. Esistenza del determinante. Formula di Laplace: sviluppo di un determinante secondo una riga o una colonna. Teorema di Binet e sue conseguenze. Regola di Cramer. Determinante della trasposta. Effetto delle operazioni elementari per riga e per colonna sul determinante. Determinante di una matrice triangolare. Calcolo del determinante tramite eliminazione Gaussiana. Relazione di similitudine tra matrici. Invarianza del determinante per similitudine. Determinante di una endomorfismo. Minori di una matrice. Caratterizazione del rango mediante i minori.
• Le nozioni di autovalore, autovettore e autospazio. Equazione caratteristica. Polinomio caratteristico di una matrice o di un endomorfismo. Traccia di una matrice o di un endomorfismo; cenno sugli altri coefficienti del polinomio caratteristico. Indipendenza di autovettori relativi ad autovalori distinti. Richiamo sui polinomi e sulla loro fattorizzazione. Matrici diagonalizzabili. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore; criteri di diagonalizzabilità e corollari. Triangolarizzazione di matrici quadrate.
• Polinomi di matrici. Teorema di Cayley-Hamilton. Polinomio minimo di una matrice quadrata. Divisione e fattorizzazione di polinomi; applicazioni al polinomio minimo. Gli autovalori sono le radici del polinomio minimo. Il polinomio minimo di una matrice diagonalizzabile ha radici semplici. Una matrice complessa il cui polinomio minimo ha radici semplici è diagonalizzabile.
• Nozione di prodotto scalare. Interpretazione geometrica e proprietà formali del prodotto scalare. Norma. Disuguaglianza di Schwarz nel caso reale. Prodotti scalari hermitiani. Disuguaglianza di Schwarz nel caso complesso. Disuguaglianza triangolare.
• Ortogonalità. Complemento ortogonale di un sottospazio. Proiezione ortogonale su un sottospazio. Basi ortogonali e ortonormali. Coefficienti di Fourier. Proiezione ortogonale in presenza di una base ortonormale. Esistenza di basi ortonormali. Procedimento di Gram-Schmidt.
• Teorema di rappresentazione di Riesz. Aggiunta di una applicazione lineare. Linearità dell'aggiunta. Matrice dell'aggiunta rispetto a una base ortonormale.
• Applicazioni e matrici normali. Teorema spettrale. Cambiamento di basi ortonormali. Matrici unitarie, ortogonali, hermitiane. Teorema spettrale reale. Matrici definite positive e semipositive e loro caratterizzazione in termini di forme associate.

• Rette e piani nello spazio. Rappresentazione parametrica di una retta. Sottospazi affini di uno spazio vettoriale e loro caratterizzazioni geometriche. Dimensione di un sottospazio affine. Rappresentazione parametrica e per equazioni di un sottospazio affine. Intersezione di sottospazi affini dati in forma parametrica o tramite equazioni. Passaggio da forma parametrica a equazioni affini e viceversa. Ortogonalità tra sottospazi affini. Proiezione ortogonale su un sottospazio affine.

Parti dei testi illustrate durante le lezioni:

- Serge Lang, Algebra Lineare. Capitoli 1 - 11: tutto tranne i paragrafi 11, 39, 40, 44.

- Note di algebra lineare. Note 1, 4, 5 fino alla Proposizione 5.5 esclusa, 6.

- G.P. Pirola, Dispense di algebra lineare. Capitoli 1, 2 tranne i par. 5 e 6, 3 tranne il par. 5, 4, 5, 7 tranne il par. 5, 8.