- Argomenti illustrati nel corso:

• La nozione di spazio vettoriale. Esempi: Kⁿ, il piano e lo spazio euclidei, spazi di funzioni. Dipendenza lineare, sistemi di generatori, basi. Spazi vettoriali di dimensione finita. Esistenza di basi. Dimensione di uno spazio vettoriale. Sottospazivettoriali di uno spazio vettoriale. Operazioni sui sottospazi vettoriali: somma e intersezione. Formula di Grassmann. Somme dirette di spazi
  
• Applicazioni lineari; nucleo e immagine di una applicazione lineare. Rango di una applicazione lineare. Relazione tra rango e dimensione del nucleo di una applicazione lineare. Criteri di iniettività e suriettività per applicazioni lineari. Rango di un prodotto di applicazioni lineari. Matrici. Matrice associata a una applicazione lineare rispetto a basi assegnate; effetto del cambio di basi sulla matrice di una applicazione lineare. Prodotto di matrici e composizione di applicazioni lineari. Trasposta di una matrice. Proprietà formali delle operazioni su matrici.
  
• Operazioni elementari per righe e per colonne su matrici. Eliminazione gaussiana. Rango per righe e rango per colonne di una matrice; loro uguaglianza. Applicazioni ai sistemi di equazioni lineari; teorema di Rouché-Capelli.
• Definizione assiomatica di determinante di una matrice quadrata. Permutazioni; segno di una permutazione, segno di un prodotto, trasposizioni. Formula esplicita per il determinante; unicità del medesimo. Determinante della matrice trasposta. Esistenza del determinante. Formule di Laplace. Determinante di un prodotto; teorema di Binet. Determinante di un endomorfismo. Calcolo pratico di determinanti. Calcolo dell'inversa di una matrice tramite le formule di Laplace. Calcolo dell'inversa di una matrice mediante eliminazione gaussiana.
• Autovalori, autovettori, autospazi. La nozione di diagonalizzazione. Polinomio caratteristico. Traccia e sue proprietà. Molteplicità di un autovalore. Diagonalizzabilità delle matrici complesse n per n con n autovalori distinti. Ogni matrice complessa quadrata è simile a una matrice triangolare. Polinomi di matrici. Il teorema di Cayley-Hamilton. Polinomio minimo di una matrice; criteri di diagonalizzabilità. Cenni sulla forma canonica di Jordan di una matrice complessa quadrata.
  
• Spazi affini: definizione, operazioni, esempi; dimensione, trasformazioni affini, sistemi di riferimento. Sottospazi, equazioni cartesiane e parametriche di un sottospazio, giacitura, parallelismo. Posizioni relative di due sottospazi: casi particolari per dimensione 2 e 3.
• Spazi euclidei: prodotto scalare euclideo, lunghezza (norma) di un vettore, distanza tra due punti, ortogonalità, vettore normale a un iperpiano. Distanza punto-retta nel piano, punto-piano nello spazio, punto-retta nello spazio; circonferenza e sfera, posizioni relative retta-circonferenza, piano-sfera. Fasci e stelle di piani e di rette nel piano e nello spazio, prodotto vettore nello spazio.

Solo per il corso di Algebra lineare e geometria:

• Applicazioni bilineari: definizione ed esempi; forme bilineari: non degenericità, simmetria; matrici associate a forme bilineari; forme quadratiche e matrici associate (relazione di congruenza). Teorema di Lagrange; ortogonalità rispetto ad un'applicazione bilineare. Applicazioni bilineari definite positive (negative e semidefinite). Segnatura. Teorema di Sylvester. Criteri per il calcolo della segnatura ed esempi.
• Prodotto scalare: definizione e esempi (prodotto scalare standard e non); ortogonalità, basi ortonormali e complemento ortogonale; procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Forme hermitiane e forme quadratiche: definizione, esempi, matrici associate, confronto e rilettura del caso reale; prodotto hermitiano (standard e non). Teoremi sulle applicazioni hermitiane. Operatori unitari e operatori aggiunti: definizione e principali proprietà.
• Diagonalizzazione di operatori simmetrici, teorema spettrale reale (per operatori). Operatori normali. Teorema spettrale complesso.