Algebra 1 - anno 2011-12
- Prova scritta del 2-2-2012: Testo e soluzioni
- Prova scritta del 23-2-2012: Testo e soluzioni
- Prova scritta del 20-6-2012: Testo e soluzioni
- Prova scritta del 26-9-2012: Testo e soluzioni

- Descrizione del corso: Una introduzione alle strutture fondamentali dell'algebra: gruppi, anelli, campi.

- Programma del corso:
- I numeri interi. Divisione con resto di interi. Massimo comun divisore e algoritmo euclideo. Fattorizzazione unica degli interi. Congruenze.
- Gruppi: definizione ed esempi. Sottogruppi. Omomorfismi e isomorfismi di gruppi. Nucleo di un omomorfismo. Prodotti diretti di gruppi. Teorema di Lagrange. Sottogruppi normali. Gruppo quoziente. Gruppi simmetrici e teorema di Cayley. Teoremi di omomorfismo e di isomorfismo per gruppi.
- Anelli (commutativi e non), domini di integrità, anelli con divisione e campi. Omomorfismi di anelli. Ideali e operazioni sugli ideali. Anello quoziente modulo un ideale bilatero. Teoremi di omomorfismo e di isomorfismo per anelli. Ideali primi e massimali. Teorema cinese del resto. Domini euclidei, a ideali principali e a fattorizzazione unica. Campo delle frazioni di un dominio.
- Polinomi a coefficienti in un anello. Divisione di polinomi. Fattorizzazione di polinomi. Regola di Ruffini. Derivata di un polinomio. Radici multiple.
- Estensioni di campi. Grado di un'estensione; moltiplicatività del grado. Elementi algebrici e trascendenti. Transitività dell'algebricità. Aggiunzione simbolica di radici. Campo di spezzamento di un polinomio. Chiusura algebrica. Il "teorema fondamentale dell'algebra". Classificazione dei campi finiti. Sottogruppi finiti del gruppo moltiplicativo di un campo.

- modalità di esame:
- prova scritta di 2 ore + orale

- testi:
- I.N. Herstein, Algebra, terza edizione, Editori Riuniti, Roma 1993
- Note di R. Schoof e B. van Geemen, disponibili in forma elettronica all'indirizzo: http://mate.unipv.it/cornalba/notealgebra.pdf

- altri testi suggeriti:
- M. Artin, Algebra, Bollati Boringhieri, Torino 1997

- note:
- Quaternioni (pdf)
- Il teorema fondamentale sugli omomorfismi di gruppi (pdf)
- Il gruppo alterno An è semplice se n > 4 (pdf)
- Appunti di teoria degli insiemi (pdf)
- Primi negli interi Gaussiani (pdf)

- parti dei testi illustrate nelle lezioni:
- Schoof-van Geemen. Tutto tranne: - nota "Quaternioni": tutto
- nota "Il teorema fondamentale sugli omomorfismi di gruppi": tutto
- nota "Primi negli interi Gaussiani": Lemmi 5 e 6 e Corollario 1

- Herstein: - Diario del corso:

1 (4/10/2011): Introduzione al corso. I numeri interi. Massimo comun divisore e sue caratterizzazioni. Massimo comun divisore di a e b come combinazione lineare a coefficienti interi di a e b.

2 (4/10/2011): Minimo comune multiplo e sue caratterizzazioni. Algoritmo euclideo per la ricerca del massimo comun divisore.

3 (5/10/2011): Equivalenza di varie nozioni di numero primo. Decomposizione di un intero in fattori primi. Congruenze. Somma e prodotto di congruenze.

4 (6/10/2011): Teorema cinese del resto. Decomposizione in fattori primi e massimo comun divisore. Simmetrie di figure geometriche (poligoni regolari, fregi, poliedri regolari, pavimentazioni del piano).

5 (6/10/2011): Simmetrie (automorfismi) di enti algebrici (gli interi, spazi vettoriali, ecc.). Permutazioni.

6 (7/10/2011): Definizione di gruppo. Esempi: gruppi di simmetrie, gruppi simmetrici, gruppo lineare, gruppo ortogonale, gruppo additivo degli interi. Unicità dell'elemento neutro e dell'inverso. Proprietà di cancellazione e sue conseguenze.

7 (7/10/2011): Inverso di un prodotto. Altri esempi di gruppi: gruppi ciclici e gruppi diedrali finiti. Tabelle di moltiplicazione. Classificazione dei gruppi di ordine ≤ 4.

8 (11/10/2011): Varianti equivalenti degli assiomi di gruppo. Potenze di un elemento. Legge delle potenze. Gruppo degli interi modulo n. Dizionario tra notazione moltiplicativa e notazione additiva.

9 (11/10/2011): Omomorfismi, isomorfismi, automorfismi di gruppi. Proprietà elementari degli omomorfismi; composizione dei medesimi. Gruppo degli automorfismi di un gruppo. Esempi di omomorfismi: da Z a un gruppo qualsiasi tramite elevamento a potenza di un elemento, dal gruppo diedrale Dn al gruppo simmetrico Sn.

10 (13/10/2011): Gruppo moltiplicativo di Z/(n). Funzione di Eulero. Esempi di omomorfismo: determinante, omomorfismi da Z al gruppo delle radici n-esime dell'unità, isomorfismi tra Z/(n) e il gruppo delle radici n-esime dell'unità.

11 (13/10/2011): Gli interi come gruppo ciclico infinito. La nozione di sottogruppo. Esempi. Criteri per decidere se un sottoinsieme di un gruppo è un sottogruppo.

12 (18/10/2011): Sottogruppo di un gruppo generato da un elemento. Classificazione dei sottogruppi di Z. Intersezione di sottogruppi. Prodotto di sottogruppi. Un prodotto di sottogruppi è un sottogruppo se e solo se i fattori commutano.

13 (18/10/2011): Sottogruppo generato da un insieme X di elementi e sua descrizione esplicita. Descrizione per generatori e relazioni dei gruppi diedrali.

14 (20/10/2011): Prodotto di gruppi. Nucleo di un omomorfismo. Criterio di iniettività per omomorfismi. Immagine e immagine inversa di un sottogruppo.

15 (20/10/2011): Corrispondenza tra sottogruppi dell'immagine di un omomorfismo e sottogruppi del dominio contenenti il nucleo. Omomorfismi in un prodotto di gruppi. Esempio: Z/(ab) → Z/(a) × Z/(b).

16 (25/10/2011): Gruppi ciclici. Ordine di un elemento di un gruppo. Ordine di un elemento come ordine del sottogruppo generato. Tutti i gruppi ciclici sono isomorfi a Z o a Z/(d) per qualche d.

17 (25/10/2011): Il prodotto di due gruppi ciclici è ciclico se e solo se gli ordini dei fattori sono primi fra loro. Classi laterali. Le classi laterali formano una partizione. Indice di un sottogruppo. Teorema di Lagrange. I gruppi di ordine primo sono ciclici.

18 (3/11/2011): Piccolo teorema di Fermat e sue prime conseguenze. Classificazione dei sottogruppi di gruppi ciclici. Descrizione dei medesimi per generatori o come nuclei di elevamenti a potenza.

19 (3/11/2011): I quaternioni. I gruppi di ordine 8.

20 (4/11/2011): Numeri reali e complessi come sottocampi dei quaternioni. Teorema di omomorfismo per gruppi.

21 (4/11/2011): Coniugio. Il coniugio come relazione di equivalenza. Sottogruppi normali; esempi. Caratterizzazioni equivalenti dei sottogruppi normali. I sottogruppi di indice due sono normali.

22 (8/11/2011): Gruppo quoziente modulo un sottogruppo normale. Esempi di sottogruppi normali: il caso abeliano, centro, gruppo dei commutatori.

23 (8/11/2011): Primo, secondo e terzo teorema di isomorfismo per gruppi. Segno di una permutazione. Gruppo alterno. Cicli. Cicli disgiunti commutano.

24 (15/11/2011): Esistenza e unicità della decomposizione di una permutazione come prodotto cicli disgiunti.

25 (15/11/2011): Esempi di decomposizione di una permutazione come prodotto di cicli disgiunti. Teorema di Cayley: ogni gruppo è isomorfo a un sottogruppo di un gruppo di permutazioni. Varianti del teorema di Cayley.

26 (17/11/2011): Anelli, omomorfismi di anelli, sottoanelli. Unicità di 1. Moltiplicazione per 0. Esempi: Z, Q, R, C, H, matrici quadrate, anelli di funzioni, Z/(n). Anello nullo e sua caratterizzazione. Non validità della proprietà di cancellazione rispetto al prodotto.

27 (17/11/2011): Anelli con divisione e campi. Cancellazione nei medesimi. Sottoanello generato da un sottinsieme: esistenza. L'anello A[b].

28 (18/11/2011): Interi Gaussiani. Unità. Gruppo delle unità; esempi. Divisori di zero. Domini di integrità. Ogni dominio finito è un campo. Cenno al teorema di Wedderburn. Z/(n) è un dominio se e solo se n è primo.

29 (22/11/2011): Abelianizzato di un gruppo e sua proprietà universale. Teorema di omomorfismo per anelli. Omomorfismo naturale dagli interi a un anello e sottoanello minimo.

30 (22/11/2011): Caratteristica di un dominio. Prodotto di anelli. Ideali destri, sinistri e bilateri. Il nucleo di un omomorfismo di anelli è un ideale bilatero. Somma, intersezione e prodotto di ideali. Ideale generato da un sottinsieme di un anello.

31 (24/11/2011): Ideali principali. Domini a ideali principali. Ideali in Z. Significato di somma, intersezione, prodotto per ideali in Z. Ideali propri. Un ideale è proprio se e solo se non contiene 1.

32 (24/11/2011): Quoziente di un anello modulo un ideale bilatero. Teoremi di isomorfismi per anelli. Ideali coprimi. Teorema cinese del resto per anelli commutativi.

33 (25/11/2011): Teorema cinese del resto (fine). Ideali primi e ideali massimali. Esempio: ideali primi e massimali negli interi. Un ideale I è primo (massimale) se e solo se il quoziente modulo I è un dominio (un campo).

34 (29/11/2011): Ordinamenti parziali, maggioranti e minoranti, elementi massimali, catene. Assioma della scelta e lemma di Zorn. Esempi.

35 (29/11/2011): Esistenza di ideali massimali. La nozione di indeterminata. Esistenza e unicità dell'omomorfismo di sostituzione.

36 (1/12/2011): Costruzione di anelli di polinomi. Principio di identità dei polinomi.

37 (1/12/2011): Grado e coefficiente dominante di un polinomio. Grado di una somma e di un prodotto di polinomi. Divisione con resto di polinomi. Domini euclidei. Esempi: Z, K[X], Z[i]. Ogni dominio euclideo è un PID.

38 (6/12/2011): Esempi di domini euclidei. Z[X] non è un PID. Radici di polinomi. Regola di Ruffini. Un polinomio di grado n a coefficienti in un dominio ha al più n radici nel dominio stesso.

39 (6/12/2011): Elementi associati. Elementi irriducibili. In un dominio ogni elemento primo è irriducibile; in un PID vale il viceversa, anzi ogni elemento irriducibile genera un ideale massimale. Ogni PID è un dominio a fattorizzazione unica.

40 (13/12/2011): Domini a fattorizzazione unica (UFD). In un UFD ogni elemento irriducibile è primo. Esistenza e forma esplicita del massimo comun divisore in un UFD. Esempi di domini che non sono UFD: Z[√-p], con p dispari e ≥ 3.

41 (13/12/2011): Derivata di un polinomio e sue proprietà formali. Radici multiple. Una radice di un polinomio P è multipla se e solo se è radice anche di P'. Estensioni di campi. Elementi algebrici e trascendenti. Se α è algebrico su K, K[α] è un campo. Polinomio minimo di un elemento algebrico su un campo.

42 (15/12/2011): Caratterizzazioni del polinomio minimo. Aggiunzione simbolica. Costruzione di un campo di spezzamento di un polinomio. Grado di una estensione. Grado di una estensione semplice come grado del polinomio minimo.

43 (15/12/2011): Moltiplicatività del grado. Ogni estensione di grado finito è algebrica. Transitività della dipendenza algebrica.

44 (19/12/2011): Chiusura algebrica di un campo in una estensione. Esempi. Ancora sul campo di spezzamento di un polinomio; unicità a meno di isomorfismo del medesimo (cenno). Esempi. Omomorfismo di Frobenius.

45 (20/12/2011): Ancora sul Frobenius. Costruzione di un campo con pn elementi; unicità del medesimo a meno di isomorfismo. Teorema di Wilson. Campi algebricamente chiusi. Chiusura algebrica di un campo (senza dimostrazioni).

46 (20/12/2011): Teorema fondamentale dell'algebra (senza dimostrazione). Esempi di chiusura algebrica. Costruzione del campo delle frazioni di un dominio.

47 (22/12/2011): Proprietà universale e unicità del campo delle frazioni di un dominio. Unicità a meno di isomorfismo del campo di spezzamento di un polinomio.

48 (22/12/2011): I sottogruppi finiti del gruppo moltiplicativo di un dominio sono ciclici. Applicazioni: gruppi moltiplicativi dei campi finiti, gruppi di radici dell'unità. Radici dell'unità in caratteristica positiva.