MARZO 4 Introduzione al corso. Disastri attribuibili a cattiva analisi numerica 4 Varie fonti di errore nel calcolo scientifico. Buona positura di un problema. Problemi diretti, inversi, di identificazione. Stabilita' e numero di condizionamento 5 Problema discreto. Consistenza, consistenza forte. Stabilita' discreta. Convergenza. Legami tra stabilita', consistenza e convergenza 5 Introduzione alla soluzione di equazioni non lineari. Condizionamento del problema. Ordine di un metodo. Il metodo di bisezione 7 Test di arresto per il metodo di bisezione. Introduzione al metodo di Newton. Convergenza locale del metodo di Newton 11 Ulteriori considerazioni sul metodo di Newton. Metodi quasi-Newton (corde, secanti, regula falsi). Il metodo di Newton come iterazione di punto fisso 11 Iterazioni di punto fisso. Teorema generale (esistenza, unicita', convergenza, stima a priori e a posteriori, velocita' di convergenza) 12 Iterazioni di punto fisso (caso con derivate nulle della funzione di iterazione). Il metodo di Newton in presenza di radici multiple 12 Stabilita' dell'algoritmo delle iterazioni di punto fisso. Introduzione alla funzione logistica 14 Biforcazioni della funzione logistica. Metodo di Newton per sistemi. Esempio della ricerca delle radici di z^3=1 18 Criteri di arresto per metodi iterativi. Zeri di polinomi: metodo di Horner e divisione sintetica 18 Introduzione all'approssimazione di funzioni e di dati. Interpolazione polinomiale di Lagrange. Teorema di esistenza e unicita'. Stima dell'errore 19 Laboratorio: punti fissi e funzione logistica 19 Laboratorio: punti fissi e funzione logistica 25 La costante di Lebesgue. Legami tra interpolazione e migliore approssimazione. Il fenomeno di Runge. Nodi di Chebyshev 25 La costante di Lebesgue e la stabilita' dell'interpolazione. Introduzione alle differenze divise di Newton 26 Laboratorio: punti fissi e funzione logistica 26 Laboratorio: metodo di Newton e ricerca delle radici dell'unita' (frattale) APRILE 1 Le differenze divise di Newton 1 Introduzione all'interpolazione polinomiale a tratti. Interpolazione P1 a tratti 8 Introduzione alle spline 8 Le spline del terz'ordine. La proprieta' di minimo dell'energia per le spline del terz'ordine 11 Proprieta' di approssimazone delle spline del terz'ordine. Interpolazione polinomiale a tratti su simplessi (2D e generalizzazioni) 16 Problema generale dell'interpolazione lineare. Determinante di Haar e matrice di Vandermonde 16 Approssimazione nel sendo dei minimi quadrati. Introduzione ai polinomi ortogonali. Polinomi di Legendre 29 Polinomi orgogonali. Polinomi di Chebyshev 29 Proprieta' di min-max. Introduzione all'integrazione numerica. Formula del punto medio 30 Formula del punto medio composita. Formule di Newton-Cotes (aperte e chiuse). Formula del trapezio 30 Estrapolazione e formula di Cavalieri-Simpson. Grado di precisione e ordine di convergenza MAGGIO 2 Analisi a posteriori e adattivita' per la formula di Cavalieri-Simpson 6 Formula di integrazione di Gauss a due punti. Formule di Gauss. Il teorema di Jacobi 6 Introduzione all'approssimazione di equazioni differenziali. Introduzione al metodo di Eulero esplicito 7 Metodo di Eulero esplicito: stima a priori e convergenza 7 Metodo di Eulero esplicito: propagazione degli errori. Metodo di Eulero esplicito: scelta adattiva del passo 9 Richiami su lemma di Grownwall e stabilita' alla Liapunov. Consistenza e 0-stabilita' dei metodi a un passo. I metodi a un passo sono 0-stabili 13 Studio della convergenza dei metodi a un passo. Metodo di Eulero implicito e theta-metodo. Regioni di assoluta stabilita' 13 Calcolo delle regioni di assoluta stabilita' per il theta-metodo: il metodo di Crank-Nicolson. Assoluta stabilita' e metodi A-stabili 14 Laboratorio: integrazione numerica 14 Laboratorio: integrazione numerica 20 Laboratorio: integrazione numerica 20 Laboratorio: integrazione numerica 21 Ulteriori considerazioni su assoluta stabilita' 21 I metodi Runge Kutta 22 Metodo di Runge-Kutta-Fehlberg. Introduzione ai metodi multistep lineari. Metodo del punto medio 23 Backward differentiation formulae (BDF). Metodi di Adams 23 Esempi di metodi Adams-Bashforth e Adams-Moulton. Condizione di consistenza per i metodi multistep lineari 27 Laboratorio: equazioni differenziali 27 Laboratorio: equazioni differenziali 28 Laboratorio: equazioni differenziali 28 Laboratorio: equazioni differenziali 30 Equazioni alle differenze lineari: soluzione generale. Esempio: formula del mid-point 30 Condizione delle radici e 0-stabilita' per metodi a piu' passi lineari GIUGNO 3 Barriera di Dahlquist. Esempio di metodo a piu' passi che non soddisfa la 0-stabilita' 3 Introduzione alle differenze finite e agli elementi finiti