MARZO 1 Introduzione al corso. Disastri attribuibili a cattiva analisi numerica 5 Varie fonti di errore nel calcolo scientifico. Buona positura di un problema. Problemi diretti, inversi, di identificazione. Stabilita' e numero di condizionamento 5 Problema discreto. Consistenza, consistenza forte. Stabilita' discreta. Convergenza 7 Legami tra stabilita', consistenza e convergenza. Richiami su rappresentazione dei numeri sul calcolatore 7 Il fenomeno della cancellazione. Analisi a priori all'indietro. Introduzione alla risoluzione di equazioni non lineari 12 Ordine di un metodo. Il condizionamento di un'equazione non lineare. Il metodo di bisezione 12 Metodi di tipo Newton. Corde, secanti, regula falsi. Metodo di Newton, esempi 14 Analisi della convergenza del metodo di Newton. Il metodo di Newton in presenza di radici multiple 14 Iterazioni di punto fisso. Teorema delle contrazioni: convergenza, stima a priori, stima a posteriori, ordine di convergenza. Punti fissi attrattivi e repulsivi 15 Iterazioni di punto fisso: convegenza locale. Il metodo di Newton come metodo di punto fisso; modifica nel caso di radici multiple 19 Propagazione degli errori nel metodo delle iterazioni di punto fisso. Il metodo di Newton per sistemi 19 La funzione logistica: discussione generale in vista del laboratorio di mercoledi' 21 21 Laboratorio: la funzione logistica 21 Laboratorio: la funzione logistica APRILE 4 Laboratorio: Newton per sistemi (frattale) 4 Laboratorio: Newton per sistemi (frattale) 5 Criteri di arresto per metodi iterativi. Polinomi: formula di Horner; divisione sintetica (deflazione) 9 Approssimazione di funzioni e di dati. Interpolazione polinomiale di Lagrange 9 Formula dell'errore nell'interpolazione di Lagrange. Fenomeno di Runge. Nodi di Chebyshev 11 Analisi delle dipendenza continua dai dati per l'interpolazione polinomiale. La costante di Lebesgue. Approssimazione in norma infinito 11 Le differenze divise di Newton 12 Interpolazione polinomiale in piu' dimensioni: triangoli e tetraedri 16 Interpolazione polinomiale a tratti. Interpolazione astratta: il problema generale dell'interpolazione lineare 16 Il concetto di unisolvenza. Esempi in piu' dimensioni: quadrati 18 Introduzione alle spline. Conto dei gradi di liberta' e unisolvenza 18 Le spline del terz'ordine. Costruzione. Proprieta' del minimo dell'energia 19 Approssimazione nel senso dei minimi quadrati. Sistema delle equazioni normali 23 Laboratorio: interpolazione, fenomeno di Runge 23 Laboratorio: costante di Lebesgue 26 Introduzione ai polinomi ortogonali. Formula ricorsiva. Esempi MAGGIO 2 Zeri dei polinomi ortogonali. Polinomi di Legendre 2 Polinomi di Chebyshev 3 Introduzione all'integrazione numerica. Formule del trapezio, del punto medio, di Cavalieri-Simpson (semplici) e formula dell'errore. Formule di Newton-Cotes e grado di precisione 7 Formule composite. Analisi dell'errore. Analisi a posteriori e schema adattativo per la formula di Cavalieri-Simpson 7 Introduzione alle formule di Gauss. Formula a due nodi 9 Laboratorio: formule di quadratura 9 Laboratorio: formule di quadratura 10 Le formule di Gauss. Il teorema di Jacobi e sue conseguenze 14 Considerazioni conclusive sulle formule di quadratura: stabilita' (pesi positivi), formule di Gauss-Lobatto 14 Introduzione all'approssimazione delle equazioni differenziali ordinarie. Richiami sulla stabilita' alla Liapunov. Introduzione al metodo di Eulero esplicito 16 Analisi del metodo di Eulero esplicito. Propagazione degli errori per il metodo di Eulero esplicito 16 Metodi a un passo. Consistenza. 0-stabilita'. Consistenza e 0-stabilita' implicano la convergenza 17 Il metodo di Eulero implicito. Regioni di assoluta stabilita'. Definizione di metodo assolutamente stabile 21 Considerazioni su assoluta stabilita'. Il theta-metodo. Metodo di Crank-Nicolson 21 Analisi della consistenza per il metodo di Crank-Nicolson. Assoluta stabilita' per il theta-metodo. Il metodo di Heun (predictor-corrector) 22 I metodi Runge-Kutta 22 Metodi Runge-Kutta-Fehlberg. Introduzione ai metodi multistep 23 Laboratorio: equazioni differenziali (assoluta stabilita') 23 Laboratorio: equazioni stiff 24 Metodi multistep: discorso generale. I metodi BDF 28 I metodi di Adams. Adams-Bashforth e Adams-Moulton 28 Analisi della consistenza dei metodi a piu' passi. Introduzione alle equazioni alle differenze 30 Laboratorio: sistemi dinamici 30 Laboratorio: sistemi dinamici 31 Struttura delle soluzioni di un'equazione alle differenze. Condizione delle radici e 0-stabilita' 31 Analisi del metodo del punto medio (midpoint). Problemi ai limiti