MARZO 2 Introduzione al corso. Varie fonti di errore nel calcolo scientifico 2 Buona positura di un problema. Problemi diretti, inversi, di identificazione. Stabilita' e numero di condizionamento 3 Problema approssimato: consistenza, consistenza forte, stabilita', condizionamento, convergenza 3 Rapporti tra convergenza, consistenza, stabilita'. Rappresentazione dei numeri sul calcolatore. Sistema posizionale, rappresentazione fixed point 4 Rappresentazione dei numeri floating point. Aritmetica IEEE. Precisione semplice e doppia 4 Troncamenti e arrotondamenti. Introduzione al fenomeno della cancellazione 5 Gardini: esercitazioni 9 Gardini: laboratorio 9 Gardini: laboratorio 10 Propagazione degli errori (somma). Richiami su vettori e matrici 10 Decomposizione in valori singolari. Prodotto scalare. Norme di vettori, matrici. Norma di matrice indotta dalla norma di vettore 11 Esempi di norme di matrice. Raggio spettrale. Norma spettrale. Serie geometrica con ragione matriciale 11 Introduzione all'algebra lineare numerica. Numero di condizionamento. Analisi a priori della risoluzione di un sistema lineare 12 Gardini: esercitazioni 16 Gardini: laboratorio 16 Gardini: laboratorio 17 Metodi diretti e metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari. Matrici triangolari inferiori: il metodo delle sostituzioni in avanti 17 Algoritmo e complessita' computazionale del metodo delle sostituzioni in avanti. Algoritmo per colonne. Matrici triangolari superiori: il metodo delle sostituzioni all'indietro 18 Il metodo di elminazione di Gauss: esempi e algoritmo 18 Il metodo di elminazione di Gauss come fattorizzazione LU. Esempio su stabilita' dell'algoritmo e il concetto di pivoting. Pivot parziale e totale 19 Gardini: esercitazioni 23 Gardini: laboratorio 23 Gardini: laboratorio 24 Stabilita' dell'algoritmo di elminazione di Gauss e della fattorizzazione LU. Metodi di Crout e Doolittle. Fattorizzazione LDMt. Fattorizzazione di Cholesky 24 Stabilita' della fattorizzazione di Cholesky. Introduzione ai sistemi sovradeterminati. Sistema delle equazioni normali 25 La fattorizzazione QR. Metodo di Gram-Schmidt modificato 25 Matrici di Householder e fattorizzazione QR. Alcune considerazioni sulle matrici sparse 26 Gardini: esercitazioni 30 Gardini: laboratorio 30 Gardini: laboratorio 31 Introduzione ai metodi iterativi per sistemi lineari. Metodi iterativi lineari di ordine uno: costistenza, matrice iterazione, convergenza 31 Metodi di tipo splitting: Jacobi e Gauss-Seidel. Rilassamento: JOR e SOR APRILE 1 Proprieta' di convergenza dei metodi JOR e SOR 1 Metodi di Richardson stazionario: analisi della convergenza e del raggio spettrale della matrice di iterazione 8 Precondizionatori. Introduzione al medoto del gradiente 8 Metodo del gradiente (steepest descent) 9 Gardini: esercitazioni 13 Gardini: laboratorio 13 Gardini: laboratorio 14 Gardini: laboratorio 14 Gardini: laboratorio 15 Convergenza del metodo del gradiente. Introduzione al metodo del gradiente coniugato 15 Il metodo del gradiente coniugato 16 Criteri di arresto per metodi iterativi 20 Introduzione alla ricerca degli zeri di funzioni. Ordine di un metodo iterativo. Condizionamento del problema. Zeri multipli 20 Il metodo di bisezione. Metodi di tipo Newton (corde, secanti, regula falsi). Introduzione al metodo di Newton 21 Il metodo di Newton. Analisi di convergenza e ordine del metodo. Esempio di applicazione nel caso di radici multiple 21 Introduzione alle iterazioni di punto fisso. Il metodo di Newton come metodo di punto fisso. Il caso delle radici multiple 22 Gardini: laboratorio 22 Gardini: laboratorio 23 Gardini: esercitazioni 28 Gardini: esercitazioni 28 Gardini: esercitazioni MAGGIO 4 Metodo di punto fisso per contrazioni in spazi metrici completi: esistenza, unicita', stima a priori, stima a posteriori, velocita' di convergenza 4 Metodo di punto fisso: teorema di convergenza locale, ordine del metodo, propagazione degli errori. Test di arresto (residuo, confronto fra due iterate) 5 Gardini: laboratorio 5 Gardini: laboratorio 6 Il metodo di Newton per sistemi. Ricerca di radici di polinomi: formula di Horner e divisione sintetica (deflazione) 6 Introduzione all'approssimazione numerica di autovalori. Localizzazione, cerchi di Gershgorin. Stabilita' degli autovalori di matrici diagonalizzabili 7 Il metodo delle potenze. Potenze inverse e shift-invert. Cenni ai metodi di similitudine: il metodo QR 7 Introduzione all'approssimazione di funzioni e di dati. Interpolazione polinomiale. L'interpolazione di Lagrange 8 Errore di interpolazione. Il problema della miglior approssimazione. La costante di Lebesgue 8 Il fenomeno di Runge. I nodi di Chebishev. Stabilita' dell'interpolazione. Le differenze divise di Newton per il calcolo dell'interpolato 11 Le differenze divise di Newton 11 Introduzione all'interpolazione polinomiale a tratti. Esempi in due e tre dimensioni 12 Gardini: laboratorio 12 Gardini: laboratorio 13 Interplazione polinomiale a tratti in due e tre dimensioni: il caso dei quadrati e dei cubi. Introduzione alle funzioni spline 13 Le spline cubiche: costruzione 14 Proprieta' dell'energia delle spline cubiche. Proprieta' di approssimazione delle spline. Introduzione al problema della miglior approssimazione 14 Miglior approssimazione nella norma di L2 (minimi quadrati nel continuo). Sistema delle equazioni normali 14 Miglior approssimazione nella norma discreta pesata (minimi quadrati nel discreto). Introduzione all'integrazione numerica. Formule di Newton-Cotes: formula del punto medio e formula del trapezio 18 Gardini: esercitazioni 18 Gardini: esercitazioni 19 Gardini: laboratorio 19 Gardini: laboratorio 20 Gardini: esercitazioni 20 Gardini: esercitazioni 21 Gardini: esercitazioni 25 Grado di precisione di una formula di quadratura. Analisi della formula del punto medio. Formule composite. Formula di Cavalieri-Simpson 25 Adattivita': formula di Cavalieri-Simpson. Formule di Gauss. Il terema di Jacobi 26 Gardini: laboratorio 26 Gardini: laboratorio 27 Gardini: esercitazioni 27 Gardini: esercitazioni 28 Gardini: esercitazioni