\underline{Esercizio 1}

Date le funzioni f(x) = 2x − 5 e g(x) = log_{e}(x + 2)

• Dire quanto vale f(g(x)), quale è il suo insieme di definizione e quanto vale la sua derivata.

• Dire quanto vale g(f(x)), quale è il suo insieme di definizione e quanto vale la sua derivata.

• f(g(x)) =  f(g(x)) è definita per........  (f(g(x)))′ =
• g(f(x)) =  g(f(x)) è definita per........  (g(f(x)))′ =

Studiare le funzioni: f(x) = |x| e

g(x) = \{ \begin{matrix}|x + 1| & se x ≤ 0 \\ x^{2} + 1 & se x > 0 \end{matrix}

Date le funzioni f(x) = x^{2} e g(x) = 2x − 1

• Dire quanto vale f(g(x)), quale è il suo insieme di definizione e quanto vale la sua derivata.

• Dire quanto vale g(f(x)), quale è il suo insieme di definizione e quanto vale la sua derivata,

• Disegnare un grafico qualitativo delle due funzioni.

Dire per quale valore del parametro k la seguente funzione:

f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2} + 2x + k se x ≤ 0 \\ e^{x} − k se x > 0 \end{matrix}

è continua in tutto il suo insieme di definizione;

per tale valore del parametro disegnare il grafico della funzione;

trovare i punti di massimo (x_{M}) e minimo (x_{m}) assoluti con i rispettivi valori massimo (M) e minimo (m) della funzione nell’intervallo [−2, 2].

SOLUZIONE : La funzione è continua per k = 1 − k cioè per k = \frac{1}{2}. Per tale valore di k il limite del rapporto incrementale destro in 0 vale 1 mentre il limite del rapporto incrementale sinistro vale 2 quindi la funzione non è derivabile.

Per x < 0 la derivata della funzione vale 2x + 2 e quindi si annulla per x = −1, per x > 0 la derivata della funzione vale e^{x} che non si annulla mai. Quindi i candidati massimi e minimi nell’intervallo [−2, 2] sono:{−2, 2, −1, 0}. Calcoliamo i rispettivi valori: f(−2) = \frac{1}{2}, f(−1) = −\frac{1}{2}, f(0) = \frac{1}{2}, f(2) = e^{2} − \frac{1}{2} , quindi x_{M} = 2, x_{m} = −1, M = e^{2} − \frac{1}{2}, m = −\frac{1}{2}.

Date le funzioni f(x) = |x^{2} − 3x + 2| e g(x) = 2x − 1

• Dire quanto vale f(g(x)).

• Dire quanto vale g(f(x)),

• disegnare un grafico qualitativo di f(x), di g(x), di f(g(x)) e di g(f(x)) data la funzione: g(x) = \{ \begin{matrix}e^{x} & se x ≥ 0 \\ x^{2} + 1 & se x < 0 \end{matrix} Studiare derivabilità e continuità della funzione.

1)Calcolare il coefficiente angolare m_{1} della retta tangente al grafico della funzione f(x) = \frac{ln(x+1)}{cos x} nel punto x = 0.

SOLUZIONE: f′(x) = \frac{\frac{1}{x+1} · cos x + log_{e}(x + 1) · sin x}{(cos x)^{2}} . Si ha f′(0) = 1 2)Risolvere lo stesso problema calcolando il coefficiente angolare m_{2} della tangente al grafico della funzione g(x) = \frac{e^{x^{2}}}{x} nel punto x = 1.

SOLUZIONE: f′(x) = \frac{2x · e^{x^{2}} · x^{2} − e^{x^{2}} · 2x}{x^{2}} . Si ha f′(0) = 0

Matematica - slide Anna Torre anno accademico 2010-11

Calcolare le derivate prime delle seguenti funzioni: f(x) = e^{cos x}; g(x) = x^{3} sin x; h(x) = x^{4} − x^{3} + 7x.

Date le funzioni f(x) = \frac{1}{x} e g(x) = log_{e} |x|

• Dire quanto vale f(g(x)), quale è il suo insieme di definizione e disegnarne un grafico qualitativo.

• Dire quanto vale g(f(x)), quale è il suo insieme di definizione e quanto vale la sua derivata nel punto x = 3.

• f(g(x)) =  f(g(x)) è definita per........  =
• g(f(x)) =  g(f(x)) è definita per........  (g(f(3)))′ =

1)Calcolare il coefficiente angolare m_{1} della retta tangente al grafico della funzione f(x) = e^{2x−1} + cos x nel punto x = 0. 2)Risolvere lo stesso problema calcolando il coefficiente angolare m_{2} della tangente al grafico della funzione g(x) = \frac{x^{2}+1}{log (1+x)} nel punto x = 1.

1. m_{1}=

2. m_{2}=