Derivabilità e Continuità

• DERIVABILITÀ ⇒ CONTINUITÀ se f è derivabile in x_{0} allora risulta continua in x_{0}.

Per l’ipotesi di derivabilità lim_{x→x_{0}} \frac{f(x) − f(x_{0})}{x − x_{0}} = f′(x_{0}), passando al limite nell’uguaglianza

f(x) − f(x_{0}) = \frac{f(x) − f(x_{0})}{x − x_{0}} (x − x_{0})

si ricava la continuità in x_{0}

lim_{x→x_{o}}(f(x) − f(x_{0})) = f′(x_{0}) · 0 = 0 ⇒ lim_{x→x_{0}} f(x) = f(x_{0}).

• CONTINUITÀ ⇏ DERIVABILITÀ 1. y = |x| (punto angoloso)

2. y = ^{3} √x^{2} (punto cuspidale) tutte queste funzioni risultano continue, ma non derivabili, in x = 0.

Criterio di Monotonia 1

• CRITERIO DI MONOTONIA:

se y = f(x) è una funzione continua e derivabile in (a, b) , si ha: f′(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a, b) ⟺ f debolmente crescente in (a, b) f′(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a, b) ⟺ f debolmente decrescente in (a, b)

• NOTA: per quanto riguarda la monotonia stretta si può dimostrare che: f′(x) > 0 ∀ x ∈ (a, b) ⇒ f strettamente crescente in (a, b) f′(x) < 0 ∀ x ∈ (a, b) ⇒ f strettamente decrescente in (a, b)

non valgono le implicazioni inverse, basta considerare f(x) = x^{3} , che è strettamente crescente ma f′(0) = 0.

• ESEMPI: determinare gli intervalli in cui le seguenti funzioni risultano crescenti e quelli in cui risultano decrescenti.

1. f(x) = x^{2}. Studiando il segno della derivata: f′(x) = 2x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 si conclude che: f(x) è decrescente per x < 0 ed è crescente per x > 0.

2. g(x) = (x^{2} −3)e^{x}. Si ha: g′(x) = (x^{2} +2x−3)e^{x} ≥ 0 ⇔ x ≤ −3 oppure x ≥ 1 quindi: f(x) è decrescente per x ∈ (−3, 1) ed è crescente per x ∉ [−3, 1].

Criterio di Monotonia 2

• x < 0 f′(x) = 2x < 0 ⇒ f(x) decrescente

• x > 0 f′(x) = 2x > 0 ⇒ f(x) crescente

• x = 0 f′(0) = 0 punto di minimo relativo • x < 0 f′(x) = −1 < 0 ⇒ f(x) decrescente

• x > 0 f′(x) = +1 > 0 ⇒ f(x) crescente

• x = 0 ∄f′(0)

punto di minimo relativo

Funzioni Concave e Convesse 1

CONVESSITÀ SU UN INTERVALLO

f è convessa in (a, b) se

f(λ x_{1} + (1 − λ) x_{2}) ≤ λ f(x_{1}) + (1 − λ) f(x_{2}) per ogni x_{1}, x_{2} ∈ (a, b) e per ogni λ ∈ [0, 1] (presi comunque due punti sul grafico di f , il segmento che li congiunge sta sopra il grafico). f è concava in (a, b) se

f(λ x_{1} + (1 − λ) x_{2}) ≥ λ f(x_{1}) + (1 − λ) f(x_{2}) per ogni x_{1}, x_{2} ∈ (a, b) e per ogni λ ∈ [0, 1] (presi comunque due punti sul grafico di f , il segmento che li congiunge sta sotto il grafico).

CONVESSITÀ IN UN PUNTO

f è convessa in x_{0} se esiste δ > 0 tale che f(x) ≥ f(x_{0})+f′(x_{0}) (x−x_{0}) , ∀ x ∈ (x_{0}−δ, x_{0}+δ) (vicino al punto x_{0} il grafico sta tutto sopra la retta tangente). f è concava in x_{0} se esiste δ > 0 tale che f(x) ≤ f(x_{0})+f′(x_{0}) (x−x_{0}) , ∀ x ∈ (x_{0}−δ, x_{0}+δ) (vicino al punto x_{0} il grafico sta tutto sotto la retta tangente).

Criterio di Convessità

• NOTA: Sia y = f(x) una funzione derivabile.

f è convessa in (a, b) se e solo se è convessa in ogni punto di (a, b).

f è concava in (a, b) se e solo se è concava in ogni punto di (a, b).

• CRITERIO DI CONVESSITÀ:

se y = f(x) è una funzione derivabile due volte in (a, b) , si ha: f′′(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a, b) ⇒ f convessa in (a, b) f′′(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a, b) ⇒ f concava in (a, b).

• ESEMPI: determinare la convessità delle seguenti funzioni:

1. f(x) = x^{2}. Studiando il segno della derivata seconda: f′′(x) = 2 ≥ 0 , ∀ x. Si conclude che: f(x) è convessa per ogni x.

2. g(x) = e^{−x^{2}}.

Studiando il segno della derivata seconda:

g′′(x) = 2e^{−x^{2}}(2x^{2} − 1) ≥ 0 ⇒ x ≤ −\frac{1}{√2} oppure x ≥ \frac{1}{√2}

si conclude che:

f(x) è concava per x ∈ (\frac{−1}{√2}, \frac{1}{√2} ) ed è convessa per x ∉ [\frac{−1}{√2}, \frac{1}{√2} ] .

Problemi di Massimo e Minimo 1

PUNTI DI MASSIMO E MINIMO ASSOLUTI. Sia f : A → ℝ :

• x_{0} si dice punto di massimo assoluto se f(x_{0}) ≥ f(x) , per ogni x ∈ A

• x_{0} si dice punto di minimo assoluto se f(x_{0}) ≤ f(x) , per ogni x ∈ A.

TEOREMA DI WEIERSTRASS. Sia f una funzione definita e continua su un intervallo chiuso e limitato [a, b], allora esitono il massimo ed il minimo assoluti di f in [a, b].

CONTROESEMPI: osserviamo che le ipotesi sono tutte essenziali per la validità del teorema:

1. f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2} & per x ≠ 0 \\ 1 & per x = 0 \end{matrix} per x ∈ [−1, 1] e non ha minimo. La funzione non

è continua.

2. f(x) = \frac{1}{x} per x ∈ (0, 1] non ha massimo. L’intervallo non è chiuso.

3. f(x) = e^{x} per x ∈ (−∞, 0] non ha minimo. L’intervallo non è limitato.

Problemi di Massimo e Minimo 2

PUNTI DI MASSIMO E MINIMO LOCALI (RELATIVI). Sia f : A → ℝ :

• x_{0} si dice punto di massimo locale se esiste δ > 0 tale che f(x) ≤ f(x_{0}) , per ogni x ∈ (x_{0} − δ, x_{0} + δ)

• x_{0} si dice punto di minimo locale se esiste δ > 0 tale che f(x) ≥ f(x_{0}) , per ogni x ∈ (x_{0} − δ, x_{0} + δ).

TEOREMA DEI PUNTI CRITICI (FERMAT). Sia f una funzione definita su un intervallo [a, b] e sia x_{0} un punto di massimo o di minimo locale. Se x_{0} ∈ (a, b) e se f è derivabile in x_{0}, allora f′(x_{0}) = 0.

PUNTI CRITICI. I punti x_{0} in cui si annulla la derivata prima, tra cui vanno ricercati gli eventuali punti di massimo o di minimo locali interni, si dicono stazionari o critici.

CRITERIO DELLA DERIVATA SECONDA. Sia f una funzione derivabile due volte nell’intervallo (a, b) e sia x_{0} un punto critico:

1. se f′′(x_{0}) > 0 allora x_{0} è un punto di minimo locale

2. se f′′(x_{0}) < 0 allora x_{0} è un punto di massimo locale.

Funzioni definite su un intervallo chiuso e limitato

1. Vedere se la funzione è continua e trovare gli eventuali punti di discontinuità;

2. Vedere se la funzione è derivabile e trovare gli eventuali punti in cui non è derivabile;

3. Se la funzione è continua essa ha certamente massimi e minimi (vedi teorema di Weierstrass);

4. I candidati punti di massimo di una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] sono i seguenti:

• estremi dell’intervallo: a, b;

• valori z ∈]a, b[ in cui la funzione non è derivabile, indichiamo con A = {z : ∄f′(z)};

• valori x̄ ∈]a, b[ in cui la funzione è derivabile e f′(x̄) = 0, indichiamo con B = {x̄ : f′(x̄) = 0}

Funzioni definite su un intervallo chiuso e limitato

• Il valore massimo (assoluto) è il massimo di questo insieme: {f(a), f(b), f(z), f(x̄) | z ∈ A, x̄ ∈ B}

• I punti di massimo sono i valori di x tali che f(x) vale il valore massimo.

• Il valore massimo è unico

• I punti di massimo non sono necessariamente unici

Teoremi dell’ Hôpital 1

• TEOREMA DELL’HÔPITAL: Siano f, g due funzioni derivabili nell’intervallo aperto (a, b) , escluso al più il punto x_{0} , tali che:

lim_{x→x_{0}} f(x) = lim_{x→x_{0}} g(x) = 0.

Se esiste il limite  lim_{x→x_{0}} \frac{f′(x)}{g′(x)} ( g′(x) ≠ 0 per x ≠ x_{0} )

allora esiste anche il limite:

lim_{x→x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x→x_{0}} \frac{f′(x)}{g′(x)} .

• ESTENSIONE:

il teorema continua a valere, con le dovute modifiche, anche per x → ±∞ e per le forme indeterminate \frac{∞}{∞}.

Teoremi dell’ Hôpital 2

• ESEMPI:

1. lim_{x→0} \frac{e^{x} − 1}{sin 2x} = lim_{x→0} \frac{e^{x}}{2 cos 2x} = \frac{1}{2}

2. lim_{x→+∞} \frac{log x}{x^{5}} = lim_{x→+∞} \frac{1}{5 x^{5}} = 0.

3. lim_{x→+∞} \frac{e^{x}}{x^{2}} = lim_{x→+∞} \frac{e^{x}}{2x} = lim_{x→+∞} \frac{e^{x}}{2} = +∞.

• ATTENZIONE: i teoremi dell’Hôpital servono quando il limite f′/g′ esiste, in caso contrario non sono di alcuna utilità.

ad esempio : lim_{x→+∞} \frac{3x + cos x}{2x + 1} = \frac{3}{2} mentre ∄ lim_{x→+∞} \frac{3 + sin x}{2} .

Matematica - prof. Anna Torre- anno accademico 20010-11

Il teorema dei due carabinieri

Sono date tre funzioni f(x), g(x), h(x) definite in un intorno del punto x_{0} ∈ R tali che in un intorno di x_{0} f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), e tali che lim_{x→x_{0}} f(x) = lim_{x→x_{0}} h(x) = l, allora si può dimostrare che lim_{x→x_{0}} g(x) = l. ESEMPIO: vogliamo calcolare lim_{x→+∞} \frac{cos x}{x}. Si ha \frac{−1}{x} ≤ \frac{cos x}{x} ≤ \frac{1}{x} e poichè lim_{x→+∞} \frac{−1}{x} = lim_{x→+∞} \frac{1}{x} = 0 anche lim_{x→+∞} \frac{cos x}{x} = 0

Matematica - prof. Anna Torre- anno accademico 20010-11