Funzione Composta

1. Date le funzioni f(x) = e^{x} e g(x) = log_{e}(x − 2) • Dire quanto vale f(g(x)) e quale è il suo insieme di definizione;

• Dire quanto vale g(f(x)) e quale è il suo insieme di definizione.

2. Date le funzioni f(x) = −x^{3} e g(x) = log_{e}(x) • Dire quanto vale f(g(x)) e quale è il suo insieme di definizione;

• Dire quanto vale g(f(x)) e quale è il suo insieme di definizione.

Funzione Composta

1. Date le funzioni f(x) = e^{x} e g(x) = 2x + 1 • Dire quanto vale f(g(x)) e quale è il suo insieme di definizione;

• Dire quanto vale g(f(x)) e quale è il suo insieme di definizione. Soluzione f(g(x)) = e^{2x+1} , g(f(x)) = 2e^{x} + 1

2. Date le funzioni f(x) = x^{2} e g(x) = x + 1 • Dire quanto vale f(g(x)) e quale è il suo insieme di definizione;

• Dire quanto vale g(f(x)) e quale è il suo insieme di definizione. Soluzione: f(g(x)) = (x + 1)^{2}, g(f(x)) = x^{2} + 1

Funzione Inversa

1. Data la funzione R ⟶ R così definita: f(x) = −x + 3 dire se è invertibile e trovare la formula dell’inversa; Soluzione: la funzione è biunivoca e l’inversa è f^{−1}(y) = 3 − y cioè f^{−1}(x) = 3 − x

2. Data la funzione f(x) = x^{3} + 2 dire se è invertibile e trovare la formula dell’inversa; Soluzione: la funzione è biunivoca e l’inversa è f^{−1}(y) = (y − 2)^{\frac{1}{3}} cioè f^{−1}(x) = (x − 2)^{\frac{1}{3}}

3. Data la funzione f(x) = x^{2} + 2x + 1 dire se è invertibile e trovare la formula dell’inversa; Soluzione: la funzione nonè invertibile in quanto nonè ne iniettiva ne suriettiva. per renderla suriettiva basta pensarla a valori in R^{+} e per renderla iniettiva basta per esempio restringerla a [−1, +∞), dunque la funzione R^{+} ⟶ [−1, +∞) definita da f(x) = x^{2}+2x+1 è invertibile e la sua inversa è f^{−1}(y) = √y − 1.