Funzione Composta

Date due funzioni g : A → B e f : B → C si può definire la funzione composta: f ∘ g : A → C x ↦ g(x) ↦ f (g(x))

notazione funzionale y = f (g(x))

La composizione ha senso se il valore g(x) appartiene al dominio della funzione f. Il dominio della funzione composta è costituito dai soli valori di x per i quali la composizione funzionale ha senso. ESEMPI:

1. f(x) = √x , g(x) = x^{2} − 4 ⇒ f(g(x)) = √x^{2} − 4 , D = {x ≤ −2 o x ≥ 2}

2. f(x) = \frac{1}{x} , g(x) = x − 7 ⇒ f(g(x)) = \frac{1}{x − 7} , D = \{x ≠ 7\}

3. f(x) = \frac{1}{x} , g(x) = x^{2} + 1 ⇒ f(g(x)) = \frac{1}{x^{2} + 1} , D = ℝ

Matematica con Elementi di Statistica - prof. Anna Torre - 2010–11

Funzione Composta

1. Date le funzioni f(x) = e^{x} e g(x) = 2x + 1 • Dire quanto vale f(g(x)) e quale è il suo insieme di definizione;

• Dire quanto vale g(f(x)) e quale è il suo insieme di definizione. Soluzione f(g(x)) = e^{2x+1} , g(f(x)) = 2e^{x} + 1

2. Date le funzioni f(x) = x^{2} e g(x) = x + 1 • Dire quanto vale f(g(x)) e quale è il suo insieme di definizione;

• Dire quanto vale g(f(x)) e quale è il suo insieme di definizione. Soluzione: f(g(x)) = (x + 1)^{2}, g(f(x)) = x^{2} + 1

Funzione Inversa 1

• una funzione BIUNIVOCA si dice INVERTIBILE

• se f : A → B è invertibile si definisce la funzione inversa f^{−1}

come segue:

f^{−1} : B → A , x = f^{−1}(y)

∀ y ∈ B → x ∈ A tale che f(x) = y

un tale x esiste ed è unico perchè la funzione f è bunivoca.

• ESEMPI:

1. y = f(x) = 2x + 1 ; f : ℝ → ℝ x = f^{−1}(y) = \frac{1}{2}(y − 1) ; f^{−1} : ℝ → ℝ

2. y = f(x) = x^{2} ; f : (−∞, 0] → [0, +∞) x = f^{−1}(y) = −√y ; f^{−1} : [0, +∞) → (−∞, 0]

Funzione Inversa 2

• PROPRIETÀ: sia f : A → B invertibile e sia f^{−1} : B → A la sua funzione inversa. considero la funzione composta f^{−1} ∘ f ( y = f^{−1}(f(x)) con notazione funzionale)

f^{−1} ∘ f : x ∈ A → f(x) = y ∈ B → f^{−1}(y) = x ∈ A f^{−1} ∘ f : A → A , x → x funzione identità.

la stessa cosa vale per f ∘ f^{−1} f ∘ f^{−1} : y ∈ B → f^{−1}(y) = x ∈ A → f(x) = y ∈ B f ∘ f^{−1} : B → B , y → y funzione identità.

Funzione Inversa 3

il grafico di y = f^{−1}(x) si ottiene per simmetria rispetto a y = x.

ESEMPI:

Criterio di Invertibilità

• le funzioni strettamente monotone sono iniettive

• CRITERIO DI INVERTIBILITÀ se f è strettamente monotona e suriettiva allora f è invertibile

• se f : A → B è invertibile allora:

f crescente ⇔ f^{−1} crescente f decrescente ⇔ f^{−1} decrescente

\underline{Radici}

INVERTIBILITÀ DELLA POTENZA: consideriamo il problema dell’invertibilità della funzione potenza y = x^{n} con n ∈ ℕ − {0}

• se n = 0 la funzione y = x^{0} = 1 è costante dunque non invertibile.

• se n = 1 la funzione y = x è l‘identità, con inversa uguale a se stessa.

• se n = 2 y = x^{2} è invertibile in ℝ_{+}

• y = √x ℝ_{+} → ℝ_{+} è detta radice quadrata.

• se n = 3 y = x^{3} è invertibile su tutto ℝ • y = ^{3} √x ℝ → ℝ è detta radice cubica.

In generale se n è pari si ragiona come per n = 2 e la funzione y = x^{n} risulta invertibile su ℝ_{+} y = ^{n} √x ℝ_{+} → ℝ_{+} radice n − sima

Viceversa se n è dispari si ragiona come per n = 3 e la funzione y = x^{n} risulta invertibile su tutto ℝ . y = ^{n} √x ℝ → ℝ radice n − sima

Funzione Logaritmo

• y = a^{x} ℝ → ℝ_{+} strettamente monotona ⇒ invertibile

• f^{−1} : y ∈ ℝ_{+} ↦ x ∈ ℝ / a^{x} = y ; x = f^{−1}(y) = log_{a} y (logaritmo in base a di y)

y = log_{a} x ℝ_{+} → ℝ per a > 1  y = log_{a} x ℝ_{+} → ℝ per 0 < a < 1

POPRIETÀ DEI LOGARITMI:

• log_{a}(x_{1}x_{2}) = log_{a} x_{1} + log_{a} x_{2} log_{a} (\frac{x_{1}}{x_{2}}) = log_{a} x_{1} − log_{a} x_{2}

• log_{a}(x^{b}) = b log_{a} x log_{b} x = \frac{log_{a} x}{log_{a} b} (cambio di base)

Matematica con Elementi di Statistica - prof. Anna Torre - 2010–11

Esercizi Funzione Composta 1

ESERCIZIO - [(A)] Date le funzioni f(x) = e^{x} e g(x) = log_{e}(x − 2)

1. Dire quanto vale f(g(x)) e quale è il suo insieme di definizione.

2. Dire quanto vale g(f(x)) e quale è il suo insieme di definizione.

SOLUZIONE :

1. La funzione compostaè f(g(x)) = e^{log_{e}(x−2)} = x−2 . L’insieme di definizione è x > 2, poichè g(x) è definita per x > 2.

2. La funzione composta è g(f(x)) = log_{e}(e^{x} − 2) . L’insieme di definizione si ottiene ponendo: e^{x} − 2 > 0 da cui segue x > log_{e} 2.

Esercizi Funzione Composta 2

ESERCIZIO 2 - Date le funzioni f(x) = −x^{3} e g(x) = log_{e} x

1. Dire quanto vale f(g(x)) e quale è il suo insieme di definizione.

2. Dire quanto vale g(f(x)) e quale è il suo insieme di definizione.

SOLUZIONE :

1. La funzione composta è f(g(x)) = −(log_{e} x)^{3} .

L’insieme di definizione è x > 0, poichè g(x) è definita per x > 0.

2. La funzione composta è g(f(x)) = log_{e} (−x^{3}) .

L’insieme di definizione è −x^{3} > 0 da cui segue x < 0.

Funzione Inversa

1. Data la funzione R ⟶ R così definita: f(x) = −x + 3 dire se è invertibile e trovare la formula dell’inversa; Soluzione: la funzione è biunivoca e l’inversa è f^{−1}(y) = 3 − y cioè f^{−1}(x) = 3 − x

2. Data la funzione f(x) = x^{3} + 2 dire se è invertibile e trovare la formula dell’inversa; Soluzione: la funzione è biunivoca e l’inversa è f^{−1}(y) = (y − 2)^{\frac{1}{3}} cioè f^{−1}(x) = (x − 2)^{\frac{1}{3}}

3. Data la funzione f(x) = x^{2} + 2x + 1 dire se è invertibile e trovare la formula dell’inversa; Soluzione: la funzione nonè invertibile in quanto nonè ne iniettiva ne suriettiva. per renderla suriettiva basta pensarla a valori in R^{+} e per renderla iniettiva basta per esempio restringerla a [−1, +∞), dunque la funzione R^{+} ⟶ [−1, +∞) definita da f(x) = x^{2}+2x+1 è invertibile e la sua inversa è f^{−1}(y) = √y − 1.